第10回自習シート解説

2015/6/18/No.10
解析学序論 I・自習シート
定義
学籍番号
名前
微分して f (x) になる関数を f (x) の原始関数といい
∫
f (x)dx
とかく. 一般に F (x) を f (x) の原始関数の 1 つとすると, 定数 C を加えた関数も f (x)
の原始関数となり
∫
f (x)dx = F (x) + C
とかける.
問 1 次の計算をせよ.
∫
√
5
(1)
x dx
∫
√
5
x dx =
=
∫
(2)
∫
1
x 5 dx
5 6
x5 + C
6
(以下, C は積分定数)
sin3 x cos x dx
置換積分
g = g(x) とおくとき, g が C 1 級ならば
∫
∫
0
f (g(x))g (x)dx = f (g)dg
実際, f (g) の原始関数の一つを F (g) とおくと, F 0 (g) = f (g) で, F (g(x)) を x に
ついて微分すれば,
d
dF
dg
F (g(x)) =
(g(x)) (x)
dx
dg
dx
0
= f (g(x))g (x)
よって,
∫
∫
∫
dg
0
f (g(x))g (x)dx = f (g(x)) (x)dx = F (g(x)) = F (g) = f (g)dg
dx
g = sin x とおくと, g 0 = dg/dx = cos x で
∫
∫
dg
3
sin x cos x dx =
g 3 dx
dx
∫
=
g 3 dg
1 4
g +C
4
1 4
=
sin x + C
4
=
提出する場合は、解答例を参考にして自分で採点をしておくこと。提出しなくても試験で 60 点以上取れば合格です。
∫
(3)
√
2x x2 + 1 dx
g = x2 + 1 とおくと, g 0 = dg/dx = 2x で
∫
∫
√
√ dg
g
2x x2 + 1 dx =
dx
dx
∫
1
=
g 2 dg
2 3
g2 + C
3
√
2 2
=
(x + 1) x2 + 1 + C
3
=
∫
(4)
x2 e2x dx
∫
部分積分
∫
0
f (x)g (x)dx = f (x)g(x) −
f 0 (x)g(x)dx
実際, {f (x)g(x)}0 = f 0 (x)g(x) − f (x)g 0 (x) より
∫
f (x)g(x) =
{f (x)g(x)}0 dx
∫
∫
0
=
f (x)g(x)dx − f (x)g 0 (x)dx
よって,
∫
∫
0
f (x)g (x)dx = f (x)g(x) −
∫
∫
2 2x
xe
dx =
=
=
=
=
=
=
f 0 (x)g(x)dx
1
x2 ( e2x )0 dx
2
∫
2x
1
2e
x
− (x2 )0 e2x dx
2
2
∫
2 2x
xe
− xe2x dx
2
∫
x2 e2x
1
− x( e2x )0 dx
2
2
{ 2x ∫
}
2 2x
e
xe
0 1 2x
− x
− (x) e dx
2
2
2
∫
2 2x
2x
xe
xe
1 2x
−
+
e dx
2
2
2
e2x
(2x2 − 2x + 1)
4
∫
(5)
tan x dx
g = cos x とおくと, g 0 = dg/dx = − sin x で
∫
∫
sin x
tan x dx =
dx
cos x
∫
−1
=
(− sin x)dx
cos x
∫
−1 dg
dx
=
g dx
∫
1
= −
dg
g
= − log |g| + C
= − log | cos x| + C
∫
f 0 (x)
dx = log |f (x)| + C
f (x)
∫
(6)
1
dx
1 − x2
1
1
1
1
2
2
=
=
+
より
1 − x2
(1 + x)(1 − x)
1+x 1−x
∫
∫
1
1
1
2
2
dx
=
+
dx
1 − x2
1+x 1−x
∫
∫
1
1
1
1
=
dx +
dx
2
1+x
2
1−x
1
1
=
log |1 + x| − log |1 − x| + C
2
2
1 + x
1
+C
=
log 2
1 − x
∫
(7)
log x dx
∫
∫
(x)0 log x
∫
= x log x −
∫
= x log x −
∫
= x log x −
log x dx =
dx
x(log x)0 dx
1
x dx
x
dx
= x log x − x + C
一般に F (x) が f (x) の原始関数ならば, C 0 = 0 より F (x) + C も f (x) の原始関数とな
る. しかし f (x) の原始関数が F (x) + C で全て網羅されているかどうかはまだ分からな
い. y = cos x の原始関数は y = sin x + C だけだろうか. y = sin x + C とは全く異なる, ま
だ我々の知らない何か別の関数があって, 微分したら y = cos x になるかもしれない. しか
し, そのようなことはなく, f (x) の原始関数どうしの違いは定数だけであることを示して
いく.
問 2 f : [a, b] → R, f は (a, b) 上で微分可能とする. このとき f 0 (x) = 0 (∀ x ∈ (a, b)) なら
ば f は定数関数であること示せ∗ .
∀
x ∈ (a, b] とする. Cauchy の平均値の定理を f (x) と g(x) = x について [a, x] 上で利
用すると, g 0 (x) = 1 より ∃ c ∈ (a, x) s.t.
証明
f 0 (c)
f (x) − f (a)
=
.
x−a
1
よって, 常に f 0 (x) = 0 ならば f 0 (c) = 0 より
f (x) − f (a) = 0,
f (x) = f (a).
一方 x = a のときにはすでに f (x) = f (a) であるので, 以上により
f (x) = f (a) (∀ x ∈ [a, b]).
2
これは f は定数関数であることを意味する.
問 3 F1 (x) と F2 (x) をそれぞれ f (x) の任意の原始関数とする. このとき F1 と F2 の差は
高々定数である† ことを示せ.
証明
F1 − F2 が定数関数であることを示す. 原始関数の定義より
F10 (x) = f (x),
F20 (x) = f (x) (∀ x ∈ [a, b]),
であるので
{F1 (x) − F2 (x)}0 = F10 (x) − F20 (x) = f (x) − f (x) = 0 (∀ x ∈ [a, b]).
よって問 1 より関数 F1 − F2 は定数関数である, すなわち ∃ C ∈ R s.t.
F1 (x) − F2 (x) = C,
F1 (x) = F2 (x) + C
(∀ x ∈ [a, b]).
つまり F1 と F2 の差は高々定数である.
2
これにより先の問題は解決される. すなわち y = cos x の原始関数の 1 つが y = sin x であ
る以上, 他の原始関数は形は違うかもしれないが本質的には y = sin x + C だけである. つ
まり, もし何か謎の関数 y = X(x) を微分すると, X 0 (x) = cos x となったならば, y = X(x)
の表現がどのようになっているかに関わらず, それは X(x) = sin x + C とかけることが証
明された.
∗∀ x
∈ [a, b] について, Cauchy の平均値の定理を f (x) と g(x) = x について [a, x] 上で利用せよ.
† 違いがあってもその差は定数という意味.

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