ZUDILIN’S THEOREM
素数 T シャツ
1978 年 6 月, 一人の老兵が世界に衝撃を与えた.
Theorem 1 (Apéry (1978)). ζ(3) は無理数である.
37 年が経過した今日においても 5 以上の奇数 k に対して ζ(k) が無理数
であることが証明されたものは一つもない. 次世代の Apéry の出現が切
望される中, 二十一世紀初めにいくつかの進展があった.
Theorem 2 (Rivoal (2000)). ζ(3), ζ(5), ζ(7), . . . の中に無数に無理数が
存在する.
Theorem 3 (Zudilin (2001)). ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) の中に少なくとも一
つは無理数が存在する.
Apéry の定理の証明には大きく分けても三通りの証明が存在し, 日本語
も含めて多くの優れた解説が既に存在する (第 2 回関西数学徒のつどいで
も取り上げられている). Zudilin の定理を初めて見た人は「一体どうやっ
て証明するんだ？」とぎょっとすると思われるが, 本講演では Zudilin の
定理の証明の仕組みを紹介する (その論法により Rivoal の定理の別証明
も得られる).
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