ノート6：表現行列

ノート 6：表現行列
6-1. n 次元線形空間と K n の関係
E = {v 1 , . . . , v n }
を K 上の
 n 次元線形空間 V の基底とする．V の元 x(= x1 v 1 +· · ·+xn v n )
x1


 x2 
n

に対し，ϕ(x) = 
 ..  とすることで V から K への写像 ϕ を定義することができ，ϕ
 . 
xn
は V から K の上への同型写像となることが知られている（レポート参照）．このように
V の基底 E を一つ選べば，E に対応する V から K n への同型写像 ϕ を決めることができ
る．以下便宜上 (E; ϕ) も基底と呼ぶことにする．


x1


 x2 

補足 6-1：
 ..  を基底 E に関する x の座標という．
 . 
n
xn
6-2. 表現行列
線形空間 V, V 0 （それぞれ n, m 次元）に対し，V から V 0 への線形写像 f をある m × n 行
列で表現することを考える．
(E; ϕ), (E 0 ; ϕ0 ) をそれぞれ V と V 0 の基底とする．このとき，K n から K m への線形写像
ϕ0 ◦ f ◦ ϕ−1 を考えることができる（レポート参照）．ここで，ϕ0 ◦ f ◦ ϕ−1 はある m × n 行列
A によって表すことができる（ノート 4 の例 4-5 参照）．この行列 A を基底 (E; ϕ), (E 0 ; ϕ0 )
（もしくは E, E 0 ）に関する f の表現行列という．特に，E = E 0 のとき，A を基底 E に関
する f の表現行列という．
E = {v 1 , . . . , v n }, E 0 = {w1 , . . . , wm } をそれぞれ V, V 0 の基底とする．このとき，x ∈ V
に対し，x = x1 v 1 + · · · + xn v n , f (x) = y1 w1 + · · · + ym wm とすると，






x1
x1
y1
 . 
 . 
 .. 
 .  = ϕ0 (f (x)) = ϕ0 ◦ f ◦ ϕ−1 ( .. ) = A  .. ，
ym



y1

 .. 
すなわち， .  = A 
ym

xn
xn
x1
..  となる．
. 
xn
補足 6-2：f の表現行列 A が分かれば，V から V 0 への対応を f を経由せずに考えること
ができることが分かる．このことから，基底 E, E 0 をうまくとることにより，表現行列を
扱いやすい形にすることが重要になってくる（この問題はノート 7 で扱う）．
表現行列の求め方
次に A の求め方を考える．ここで {e1 , e2 . . . , en } を K n の標準基底とする．
A = (aij ) = (a1 , . . . , an ) とおくと，Aei = ai となるので，


f (v 1 ) = a11 w1 + a21 w2 · · · + am1 wm



 f (v 2 ) = a12 w1 + a22 w2 · · · + am2 wm
..

.



 f (v ) = a w + a w · · · + a w
n
1n
1
2n
2
mn
m
となる．
この式は，(f (v 1 ), f (v 2 ), . . . , f (v n )) = (w1 , w2 , . . . , wm )A と（形式上）書くこともできる．
注 6-1：基底 E に関する v i の座標は ei ．基底 E 0 に関する f (v i ) の座標は ai = Aei ．
例 6-1：教科書 P.85 問 4.13
(
)
(
)
( )
(
)
x1
x1 + x2
1
−1
例 6-2：f :
7→
, a1 =
, a2 =
に対して，R2 の基底
x2
x1 − x2
2
−1
{a1 , a2 } に関する f の表現行列 A を求めよ．
解答：
提出課題 6：
問 6-1. 教科書 P.104, [A] 8

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