2S 数学演習 III・IV 標準 H006 担当教員 : 浜中 真志 研究室 : A327 E-mail:[email protected] 線形写像 (基底の表現行列, 像と核, 次元定理) 作成日 : May 26, 2012 実施日 : May 29, 2012 Updated : May 28, 2012 Version : 1.0 基底の表現行列, 基底変換 [表現行列] T を線形空間 U から V への線形写像とし, U の基底 ⃗u1 , · · · , ⃗un と V の基底 ⃗v1 , · · · , ⃗vm を決めておく. T (⃗u1 ), · · · , T (⃗un ) は V のベクトルであるから, ⃗v1 , · · · , ⃗vm の 1 次結合で次のように書ける： (T (⃗u1 ), · · · , T (⃗un )) = (⃗v1 , · · · , ⃗vm )B, ただし B は m × n 行列. このとき行列 B を U の基底 ⃗u1 , · · · , ⃗un , V の基底 ⃗v1 , · · · , ⃗vm に関する T の表現行列であるという. 特に U = V とし, (T (⃗u1 ), · · · , T (⃗un )) = (⃗u1 , · · · , ⃗un )B, が成り立つとき, n × n 行列 B を基底 ⃗u1 , · · · , ⃗un に関する表現行列という. ( 問題 1. (基底の表現行列：1 年の復習？) R2 の線形変換 T はベクトル ⃗e1 = ( ) ( ) ( ) 0 7 −6 をそれぞれ, , に写す. 1 3 −2 ) 1 0 , ⃗e2 = (1) 標準基底 ⃗e1 , ⃗e2 に関する T の表現行列 A を求めよ. ( ) ( ) 2 1 , ⃗u2 = をとる. このとき以下を満たす基底変 (2) R2 の基底として, ⃗u1 = 1 1 換の表現行列 P を求めよ：(⃗u1 , ⃗u2 ) = (⃗e1 , ⃗e2 )P. (3) 基底 ⃗u1 , ⃗u2 に関する T の表現行列 B を求めよ. 問題 2. (基底変換：1 年の復習？) U = R3 , V = R2 とし, U から V への線形写像を以下 のように定義する： ( ) 2 4 1 T (⃗v ) = ⃗v , ⃗v ∈ U 1 −1 0 (1) U の標準基底 ⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 , V の標準基底 ⃗e1′ , ⃗e2′ に関する T の表現行列 A を求めよ. 1 0 2 3 (2) R の基底として, ⃗u1 = 0 , ⃗u2 = 1 , ⃗u3 = 0 をとる. このとき以下を 1 1 3 満たす基底変換の表現行列 P を求めよ：(⃗u1 , ⃗u2 , ⃗u3 ) = (⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 )P. 標準 H0-2S12-06 難易度 : C 名古屋大学・理学部・数理学科 2S 数学演習 III・IV 標準 H006 担当教員 : 浜中 真志 研究室 : A327 E-mail:[email protected] ( ) ( ) 1 2 (3) R2 の基底として, ⃗v1 = , ⃗v2 = をとる. このとき以下を満たす基底変 1 3 換の表現行列 Q を求めよ：(⃗v1 , ⃗v2 ) = (⃗e1′ , ⃗e2′ )Q. (4) 基底 ⃗u1 , ⃗u2 , ⃗u3 , 基底 ⃗v1 , ⃗v2 に関する T の表現行列 B を求めよ. 問題 3. (基底の表現行列：数ベクトル空間の場合：1 年の復習？) 次のように定義される 線形写像 1 −1 0 T (⃗v ) = A⃗v = 1 −2 1 ⃗v , ⃗v ∈ R3 −2 4 3 0 1 2 の基底 ⃗u1 = 1 , ⃗u2 = 0 , ⃗u3 = 1 に関する T の表現行列 B を求めよ. 0 1 1 問題 4. (基底の表現行列：関数空間の場合) 2 次以下の実係数多項式全体のなすベクトル 空間 P2 (R) := {a0 x2 + a1 x + a2 | a0 , a1 , a2 ∈ R} を考える. 次式で定義される P2 (R) の線 形変換 T の, 基底 1, x, x2 に関する表現行列 A を求めよ. T (f (x)) = ex d −x (e f (x)) dx 像と核, 次元定理 問題 5. (ウォーミング・アップ) 次の連立方程式が解を持つための a, b, c に関する条件を 求めよ. またそのときの解を求めよ. x+y =a x + 2y + z = b 3y + 3z = c 問題 6. (線形写像の単射条件) U, V を体 K 上の線形空間として, T : U → V を線形写像 とする. このとき次の命題を証明せよ：T が単射 ⇔ Ker T = {⃗0} 問題 7. (像と核 ) 1 1 0 行列 A = 1 2 1 で表される線形写像 TA : R3 → R3 について以下の問いに答 0 3 3 えよ. (1) A の逆行列があれば求め, なければ階数を求めよ. 標準 H0-2S12-06 難易度 : C 名古屋大学・理学部・数理学科 2S 数学演習 III・IV 標準 H006 担当教員 : 浜中 真志 研究室 : A327 E-mail:[email protected] (2) 像 Im TA を求めよ. (方程式を用いた表現および基底を用いた表現を両方書け.) (3) 核 Ker TA を求めよ. (方程式を用いた表現および基底を用いた表現を両方書け.) (4) A の固有値, 固有ベクトルを求めよ. 問題 8. (線形写像の全射・単射条件) U, V を体 K 上の線形空間として, T : U → V を線 形写像とする. また, ベクトルの組 ⃗u1 , ⃗u2 , · · · , ⃗um を U の基底とする. このとき次の命題 を証明せよ. (1) T が単射 ⇔ T (⃗u1 ), T (⃗u2 ), · · · , T (⃗um ) が１次独立 (2) T が全射 ⇔ W = ⟨T (⃗u1 ), T (⃗u2 ), · · · , T (⃗um )⟩ (3) T が単射のとき, および全射のとき, 線形空間の次元 m = dim U と n = dim V に対 して成り立つ条件をそれぞれ求めよ. 今週の宿題 (提出期限は 6 月 5 日 (火) 演習開始時です) 問題 9. (像と核 ) 1 1 −2 行列 A = 2 −1 −1 で表される線形写像 TA : R3 → R3 について以下の問いに 1 −5 4 答えよ. (1) A の逆行列があれば求め, なければ階数を求めよ. (2) 像 Im TA を求めよ. (方程式を用いた表現および基底を用いた表現を両方書け.) (3) 核 Ker TA を求めよ. (方程式を用いた表現および基底を用いた表現を両方書け.) (4) TA は全射か？また, TA は単射か？(答えのみでよい) 問題 10. (平行移動演算子の行列表示) 2 次以下の実係数多項式全体のなすベクトル空間 P2 (R) := {a0 x2 + a1 x + a2 | a0 , a1 , a2 ∈ R} を考える. (1) 基底 1, x, x2 から 1, x + 2, (x + 2)2 への変換行列 P を求め, 1, x + 2, (x + 2)2 は P2 (R) の基底であることを示せ. (2) φ(f (x)) = f (x + a) で定義される線形変換 φ の基底 1, x, x2 に関する表現行列 Ta を 求めよ. (3) ψ(f (x)) = 書くと d f (x) で定義される線形変換 ψ の基底 1, x, x2 に関する表現行列を D と dx Ta = E + 1 1 aD + (aD)2 1! 2! が成り立つことを示せ. (E は単位行列) 標準 H0-2S12-06 難易度 : C 名古屋大学・理学部・数理学科 2S 数学演習 III・IV 標準 H006 担当教員 : 浜中 真志 研究室 : A327 E-mail:[email protected] (4) (2),(3) の議論を n 次以下の実係数多項式全体のなすベクトル空間 Pn (R) := {a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an | a0 , a1 , · · · , an ∈ R} に適用し, Ta = E + 1 1 1 aD + (aD)2 + · · · + (aD)n 1! 2! n! が成り立つことを示せ. また n → ∞ のときこの関係式はどのようになるか, 行列の ∞ ∑ 1 n 指数関数 exp(A) = A を用いて書き表せ. (答えのみでよい.) n! n=0 ボーナス問題 (提出期限は 6 月 5 日 (火) 演習開始時です) 問題 11. (像と核 ) x+y+z x x−y−z A y = 2x z 3x + y + z いに答えよ. により定まる線形写像 TA : R3 → R4 について以下の問 (1) 像 Im TA を求めよ. (方程式を用いた表現および基底を用いた表現を両方書け.) (2) 核 Ker TA を求めよ. (方程式を用いた表現および基底を用いた表現を両方書け.) (3) 次元定理を, R3 , R4 , Im TA , Ker TA などの言葉で書き表せ. 標準 H0-2S12-06 難易度 : C 名古屋大学・理学部・数理学科
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