微分積分プリント (置換積分と部分積分法) 置換積分 × ′ に変形できないときは置き換える． 1 ⃝ 2 により積分する t = ( 置き換えする x の式 ) と置き ⃝ 置換積分 ∫ 1 f (x), y を t の式に変形する ⃝ ∫ f (x) dx ( t の式) dt =⇒ 2 dx を dt に置き換える ⃝ dx = ⇔ dx = dt dt x についての積分 t についての積分 部分積分法 ∫ ∫ ′ f (x) g (x) dx = f (x) g(x) − 積の積分 f ′ (x) g(x) dx は図式で計算する． 部分積分法 +) f (x) ↓ ↘ −) f ′ (x) g ′ (x) ⇓ → g(x) → − ∫ f ′ (x) g(x) dx ↘ f (x) g(x) 1 積になっている２つの関数を並べる ⃝ 2 ↓ は微分，⇓ は積分する ⃝ 3 → に現れる積分計算が可能になる ⃝ 1⃝ 2 を繰り返す まで⃝ 3 符号を左に上から +) −) +) · · · ⃝ と交互につける 4 ⃝ が部分積分の結果となる 例 1. 基本形 ∫ +) x ex ↓ ↘ ⇓ −) 1 → ex → − ↘ x ex dx = x ex − ex の計算 ∫ x ex ex dx +) x ex ↓ ↘ ⇓ −) 1 → ex ↓ ↘ ⇓ ↘ x ex 積分計算不要 +) 0 → ex → 0 ↘ − ex 例 2. 積と見て計算する ∫ log x dx = x log x − x の計算 +) log x 1 ↓ ↘ ⇓ 1 −) → x → x ↘ − ∫ dx = −x x log x 例 3. 同じ積分があらわれる ∫ ex cos x dx = ∫ 1 x e ( sin x + cos x ) の計算 2 ex cos x dx = I とおく +) ex ↓ ↘ −) ex → ↓ ↘ cos x ⇓ sin x ⇓ ↘ +) ex → − cos x → ↘ ex sin x − ∫ ex cos x dx = −I ex cos x よって I = es sin x + ex cos x − I ∴ I= 1 x e ( sin x + cos x ) 2
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