4STEP 数学Ⅲ（新課程）を解いてみた 関数
微分法 3
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いろいろな関数の導関数
281
(1)
¢
y ¢ = (sin 3 x ) × 2 sin 3x
= 3 cos 3 x × 2 sin 3x
= 3 × 2 sin 3x cos 3x
= 3 sin 6 x
(2)
(
)
¢
¢
y ¢ = sin 5 x cos 5 x + sin 5 x(cos 5 x )
¢
= (sin x ) × 5 sin 4 x cos 5 x + sin 5 x × 5 × (- sin 5 x )
= cos x × 5 sin 4 x cos 5 x - 5 sin 5 x sin 5 x
= 5 sin 4 x(cos x cos 5 x - sin x sin 5 x )
= 5 sin 4 x cos 6 x
(3)
(
y ¢ = sin 4 x cos 4 x
{
)¢
= (sin x cos x )4
}¢
¢
4
ìïæ 1
ö üï
= íç sin 2 x ÷ ý
ø þï
ïîè 2
¢
1
sin 4 2 x
=
16
1
¢
= (sin 2 x ) 4 sin 3 2 x
16
1
= × 2 cos 2 x sin 3 2 x
4
1
= cos 2 x sin 3 2 x
2
1
= (sin 2 x cos 2 x ) sin 2 2 x
2
1 1
= × sin 4 x sin 2 2 x
2 2
1
= sin 4 x sin 2 2 x
4
(
)
1
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(4)
(
)
¢ 1
= (1 + sin x ) × (1 + sin x )
2
y ¢ = 1 + sin 2 x
1
2
2
2
= 2 sin x cos x ×
=
-
1
2
1
2 1 + sin 2 x
sin 2 x
2 1 + sin 2 x
(5)
¢
1ü
ìï
ï
2
2
¢
y = ísin x + x + 1 ý
ïî
þï
¢
1ü
1
ìï 2
ï
2
= í x + x + 1 ý cos x 2 + x + 1 2
ïî
þï
(
)
(
)
(
(
) (
)
)
1
¢ 1
= x 2 + x + 1 × x 2 + x + 1 2 cos x 2 + x + 1
2
=
(2 x + 1) cos
x2 + x + 1
2 x2 + x +1
(6)
tan x +
(
)
1
1
cos x
1
1
2
=
×
=
=
tan 2 x + 1 =
より，
2
tan x tan x
sin x cos x sin x cos x sin 2 x
¢
ìïæ 2 ö 2 üï
y ¢ = íç
÷ ý
ïîè sin 2 x ø þï
¢
æ 4 ö
=ç 2
÷
è sin 2 x ø
¢
- 4 sin 2 2 x
=
sin 4 2 x
×¢
- 4 × (sin 2 x ) 2 sin 2 x
=
sin 4 x
- 4 × 2 cos 2 x × 2 sin 2 x
=
sin 4 2 x
16 cos 2 x
=sin 3 2 x
(
)
2
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(7)
cos x
cos x(1 + sin x )
cos x(1 + sin x ) cos x(1 + sin x ) 1 + sin x
より，
=
=
=
=
1 - sin x (1 - sin x )(1 + sin x )
cos x
1 - sin 2 x
cos 2 x
æ cos x ö
y¢ = ç
÷
è 1 - sin x ø
=
=
=
=
¢
¢
- sin x(1 - sin x ) - cos x(1 - sin x )
(1 - sin x )2
- sin x + sin 2 x + cos 2 x
(1 - sin x )2
1 - sin x
(1 - sin x )2
1
1 - sin x
(8)
¢
æ 1 - sin x ö
y¢ = ç
÷
è 1 + cos x ø
(1 - sin x )¢ (1 + cos x ) - (1 - sin x )(1 + cos x )¢
=
(1 + cos x )2
- cos x(1 + cos x ) + (1 - sin x ) sin x
=
(1 + cos x )2
=
=
(
sin x - cos x - sin 2 x + cos 2 x
(1 + cos x )
)
2
sin x - cos x - 1
(1 + cos x )2
282
(1)
sin (x + a ) cos(x - a ) =
1
[sin{(x + a ) + (x - a )} + sin{(x + a ) - (x - a )}] = 1 (sin 2 x + sin 2a ) より，
2
2
¢
ü
ì1
y ¢ = í (sin 2 x + sin 2a )ý = cos 2 x
þ
î2
3
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(2)
1ü
ìï
ï
y ¢ = í a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x 2 ý
ïî
þï
¢
(
)
(
) (
)
1
¢ 1
= a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x × a 2 cos 2 x + b 2 sin 2 x 2
2
1
2
2
= - a sin x cos x + b sin x cos x ×
2
2
a cos x + b 2 sin 2 x
(
=
)
(b
2
2
)
- a 2 sin x cos x
2
a cos x + b 2 sin 2 x
283
(1)
ì sin x - sin a
x-a ü
sin x - sin a
×
= lim í
ý
x ® a sin ( x - a )
x® a î
x-a
sin (x - a ) þ
lim
ここで，
lim
x® a
sin x - sin a
について
x-a
f (x ) = sin x とおくと，
f (x ) - f (a )
sin x - sin a
= lim
= f ¢(a )
x® a
x®a
x-a
x-a
lim
sin x - sin a
= cos a
x®a
x-a
これと f ¢(x ) = cos x より， lim
x-a
について
x ® a sin ( x - a )
lim
x - a = t とおくと， x ® a のとき t ® 0 だから，
lim
x® a
x-a
t
= lim
=1
sin (x - a ) t ®0 sin t
よって，
sin x - sin a
sin x - sin a
x-a
= lim
× lim
x ® a sin (x - a )
x ®a
x ® a sin ( x - a )
x-a
= cos a × 1
lim
= cos a
4
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(2)
解法 1
(
)
x 2 sin a - a 2 sin x
sin a x 2 - a 2 - a 2 (sin x - sin a )
= lim
x®a
x ®a
x-a
x-a
2
ì
x - a2
sin x - sin a ü
- a2 ×
= lim ísin a ×
ý
x ®a
x-a þ
x-a
î
lim
ここで，
lim
x®a
x2 - a2
について
x-a
f (x ) = x 2 とおくと， lim
x®a
f (x ) - f (a )
x2 - a2
= lim
= f ¢(a )
x®a
x-a
x-a
これと f ¢(x ) = 2 x より， lim
x® a
x2 - a2
= 2a
x-a
sin x - sin a
について
x® a
x-a
lim
f (x ) = sin x とおくと，
lim
x® a
f (x ) - f (a )
sin x - sin a
= lim
= f ¢(a )
x
a
®
x-a
x-a
これと f ¢(x ) = cos x より， lim
x®a
sin x - sin a
= cos a
x-a
よって，
sin x - sin a
x2 - a2
x 2 sin a - a 2 sin x
- a 2 lim
= sin a lim
®
®
x®a
x
a
x
a
x-a
x-a
x-a
2
= 2a sin a - a cos a
lim
解法 2
f (x ) = x 2 sin a - a 2 sin x とおくと， f (a ) = 0 より，
f (x ) - f (a )
x 2 sin a - a 2 sin x
= lim
x®a
x®a
x-a
x-a
¢
= f (a )
lim
これと f ¢(x ) = 2 x sin a - a 2 cos x より， f ¢(a ) = 2a sin a - a 2 cos a
よって，
lim
x® a
x 2 sin a - a 2 sin x
= 2a sin a - a 2 cos a
x-a
5
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284
(1)
( )
¢
¢
y ¢ = e - 2 x sin 2 x + e - 2 x (sin 2 x )
= -2e - 2 x sin 2 x + e - 2 x × 2 cos 2 x
= 2e - 2 x (cos 2 x - sin 2 x )
(2)
解法 1： q = e log q を利用
10 sin x = e log 10
sin x
(
y ¢ = e sin x log 10
= e sin x log 10 より，
)¢
¢
= (sin x log 10 ) e sin x log 10
= cos x log 10 × 10 sin x
= 10 sin x cos x log 10
補足： 10 sin x = e log 10
sin x
= e sin x log 10 について
p = log q Û q = e p
これと p = log q より， q = e log q
q に 10 sin x を代入すると， 10 sin x = e log 10
sin x
= e sin x log 10
補足の補足
p = log a q Û q = a p
これと p = log a q より， q = a log a q
q を q = e log q や q = a log a q とするテクニックは積分の計算を楽にする上で重要であるから，
覚えておくべきである。
解法 2：対数微分法
両辺の自然対数をとると， log y = sin x log 10
両辺を x で微分すると，
ここで左辺 =
d log y
dx
1 dy
×
= cos x log 10
y dx
=
d log y
dx
=
d sin x
× log 10
dx
d log y dy 1 dy
d sin x
×
= ×
，右辺 =
× log 10 = cos x log 10 より，
dy
dx y dx
dx
\
これと y = 10 sin x より，
dy
= y cos x log 10
dx
dy
= 10 sin x cos x log 10
dx
6
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( )¢ = a
解法 3：公式 a x
(10 )¢ = (sin x )¢10
sin x
x
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log a を利用
sin x
log 10 = 10 sin x cos x log 10
(3)
æ log a ö
÷÷
y ¢ = çç
è log x ø
=
¢
¢
- log a(log x )
=-
(log x )2
log a
x(log x )
2
(4)
¢
y ¢ = {log(log x )}
(log x )¢
=
log x
1
=
x log x
(5)
ì log(sin x ) ü
y¢ = í
ý
î log a þ
(sin x )¢
= sin x
log a
cos x
=
(log a ) sin x
¢
(6)
y¢ =
(1 - cos x )¢
1 - cos x
sin x
=
1 - cos x
7
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(7)
ì logæ x + x 2 - a 2
ï èç
y¢ = í
log a
ï
î
æç x + x 2 - a 2 ö÷
è
ø
¢
ö÷ ü
øï
ý =
ï
þ
x + x2 - a2
log a
1+
=
=
¢
x
2
x - a2
æç x + x 2 - a 2 ö÷ log a
è
ø
1
x 2 - a 2 log a
(8)
ì
x2 -bü
y ¢ = ílog 2
ý
x +bþ
î
¢
{ ( )
( ) (
(
= log x 2 - b - log x 2 + b
¢
¢
x2 -b
x2 + b
- 2
= 2
x -b
x +b
2x
2x
= 2
x -b x2 + b
2x x 2 + b - x 2 - b
=
x2 -b x2 + b
4bx
= 2
x -b x2 + b
{(
(
(
)
)}¢
) ( )}
)( )
)(
)
285
(1)
log y = 2 log x + 1 - 3 log x + 2 - 4 log x + 3
\
1
2
3
4
× y¢ =
y
x +1 x + 2 x + 3
ゆえに，
3
4 ö
æ 2
y ¢ = yç
÷
è x +1 x + 2 x + 3ø
(x + 1)2
2(x + 2)(x + 3) - 3(x + 1)(x + 3) - 4(x + 1)(x + 2)
×
3
4
(x + 1)(x + 2)(x + 3)
( x + 2 ) ( x + 3)
2
(x + 1)(5x + 14 x + 5)
= (x + 2)4 (x + 3)5
=
8
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(2)
log y = 3 log 1 + x + log 1 - 2 x - log 1 - x - 3 log 1 + 2 x より，
y¢
3
2
1
6
=
+
y x + 1 2x - 1 x - 1 2x + 1
3
1
2
6
=
+
x + 1 x - 1 2x - 1 2x + 1
2x - 4 - 8x + 8
= 2
+
x - 1 4x 2 - 1
(2 x - 4) 4 x 2 - 1 - (8x - 8) x 2 - 1
=
x 2 - 1 4x 2 - 1
(
)
( )(
2(4 x - 3x + 2)
=(x - 1)(4 x - 1)
)
(
)
2
2
2
よって，
(1 + x )3 (1 - 2 x ) ì- 2(4 x 2 - 3x + 2) ü
í
ý
(1 - x )(1 + 2 x )3 î (x 2 - 1)(4 x 2 - 1)þ
2
2(x + 1) (4 x 2 - 3x + 2)
=(x - 1)2 (2 x + 1)4
y¢ =
(3)
log y =
(
)
1
log x + 1 + log x 2 + 2 より，
4
y¢ 1 æ 1
2x ö
= ç
+
÷
y 4 è x +1 x2 + 2 ø
=
3x 2 + 2 x + 2
(
)
(
)
4(x + 1) x 2 + 2
よって，
y ¢ = 4 (x + 1) x 2 + 2 ×
=
=
3x 2 + 2 x + 2
×4
4
(
(x + 1)(x
(x + 1) (x
(
)
+ 2)
+ 2)
4(x + 1) x 2 + 2
3x 2 + 2 x + 2
44 (x + 1) x 2 + 2
3
3x 2 + 2x + 2
4
2
2
4
)
3
9
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(4)
log y = log x -
3
log x 2 + a 2 より，
2
y¢ 1 3
2x
= - ×
y x 2 x2 + a2
=
a 2 - 2x 2
(
x x2 + a2
)
よって，
y¢ =
=
(a
x
2
+ x2
)
3
×
a 2 - 2x 2
(
x x2 + a2
)
a 2 - 2x 2
(a
2
+ x2
)
5
286
(1)
条件より x > 0 だから y > 0 ，したがって，両辺の自然対数をとると， log y = sin x log x
y¢
¢
¢
= (sin x ) log x + sin x(log x )
y
sin x
= cos x log x +
x
\
sin x ö
æ
よって， y ¢ = x sin x ç cos x log x +
÷
x ø
è
(2)
条件より x > 0 だから y > 0 ，したがって，両辺の自然対数をとると， log y = e x log x
( )
¢
y¢
¢
= e x log x + e x (log x )
y
ex
x
1ö
æ
= e x ç log x + ÷
xø
è
= e x log x +
x
1ö
æ
よって， y ¢ = x e e x ç log x + ÷
xø
è
10
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(3)
条件より x > 0 だから y > 0 ，
したがって，両辺の自然対数をとると， log y = log x × log x = (log x )2
y¢
¢
= 2(log x ) log x
y
2 log x
=
x
よって，
2 log x
x
log x -1
= 2x
log x
y ¢ = x log x ×
(4)
条件より x > 0 だから y > 0 ，したがって，両辺の自然対数をとると， log y =
log x
x
1
× x - log x × x ¢
y¢ x
=
y
x2
1 - log x
=
x2
よって，
1
y¢ = x x ×
1 - log x
1
-2
= xx
x2
(1 - log x )
(5)
条件より sin x > 0 だから y > 0 ，したがって，両辺の自然対数をとると，log y = x log(sin x )
y¢
¢
= x ¢ log(sin x ) + x(log sin x )
y
x cos x
= log(sin x ) +
sin x
x cos x ü
xì
よって， y ¢ = (sin x ) ílog(sin x ) +
ý
sin x þ
î
11
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(6)
条件より log x > 0 だから y > 0 ，したがって，両辺の自然対数をとると，log y = x log(log x )
y¢
¢
= x ¢ log(log x ) + x{log(log x )}
y
(log x )¢
= log(log x ) + x ×
log x
1
= log(log x ) +
log x
ì
1 ü
よって， y ¢ = (log x ) x ílog(log x ) +
ý
log x þ
î
287
(1)
1
log(1 + x )
= lim log(1 + x ) x
x®0
x ®0
x
= log e
=1
lim
補足
x ® 0 だから， x << 1 の場合を扱う。したがって， 1 + x > 0
よって， log 1 + x とする必要がない。
(2)
x
æ
ö
x
ç
÷
1
æ x ö
÷
lim ç
÷ = lim ç
x ® ¥è x + 1 ø
x ®¥ç x + 1 ÷
ç
÷
è x ø
1
= lim
x
x ®¥
1ö
æ
ç1 + ÷
xø
è
1
=
e
(3)
2 x = t とおくと， x ® 0 のとき t ® 0 だから，
1
2
lim (1 + 2 x ) x = lim(1 + t ) t
x®0
t ®0
1ü
ì
= lim í(1 + t ) t ý
t ®0 î
þ
2
= e2
12
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(4)
x
ì æ 2 öü
2ö
æ
lim ç1 - ÷ = lim í1 + ç - ÷ý
x ® ¥è
x®¥
xø
î è x øþ
ここで， t = -
x
2
とおくと， x ® ¥ のとき t ® -0 だから，
x
x
2
2ö
æ
lim ç1 - ÷ = lim {1 + t} t
x ® ¥è
t ® -0
xø
1ü
ì
= lim í(1 + t ) t ý
t ® -0 î
þ
-2
= e -2
1
= 2
e
13
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e 関連の極限公式の導き方の流れ
e は主に次の 4 つの形で表現できる。
1
lim (1 + h ) h = e
h®0
h
1ö
æ
lim ç1 + ÷ = e
h ® ±¥ è
hø
eh - 1
=1
h ®0
h
lim
lim
h ®0
log(1 + h )
=1
h
これらは以下に示すように相互変換できる。
1
lim (1 + x ) x = e から始める場合
x ®¥
1
lim(1 + x ) x = e
x ®0
1
= t とおく
x
自然対数をとる
1
log lim(1 + x ) x = log e
t
æ 1ö
limç1 + ÷ = e
t ®¥
è tø
x ®0
1
lim log(1 + x ) x = 1
x ®0
log(1 + x )
=1
x ®0
x
lim
log(1 + x ) = u とおくと，
1 + x = e u より，
x = e u - 1 だから
u
=1
u ®o e - 1
eu - 1
lim
=1
u ®0
u
lim
14
u
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ex -1
= 1 から始める場合
x ®0
x
lim
ex -1
=1
x ®0
x
lim
e x - 1 = t とおく
t
=1
t ®0 log(1 + t )
lim
よって，
lim
t ®0
log(1 + t )
=1
t
また，
右辺 = lim
t ®0
log(1 + t )
t
1
= lim log(1 + t ) t
t ®0
1
= log lim(1 + t ) t
t ®0
左辺 = 1 = log e より，
1
lim(1 + t ) t = e
t ®0
1
= u とおく
t
u
1ö
æ
lim ç1 + ÷ = e
u ® ¥è
uø
補足
x
(a > 0, a ¹ 1) において，
指数関数 y = f ( x ) = a e は次のように定義される。
y = f (x ) = a x (a > 0, a ¹ 1) のうち，
x = 0 における接線の傾きが 1 であるものを y = e x とする。
よって，
ex -1
= 1 より，
x ®0 x - 0
f ¢(0 ) = lim
ex -1
=1
x ®0
x
lim
15
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