2章偏微分 - Biglobe

新微分積分 II
2 章偏微分 § 1 偏微分法 (p.39∼p.40)
練習問題 1-A
（ 2 ） zx = y sin(x − y) + xy · 1 · cos(x − y)
= y sin(x − y) + xy cos(x − y)
1. fx (0, 0) = lim
h→0
f (0 + h, 0) − f (0, 0)
h
= x sin(x − y) − xy cos(x − y)
h3 − 0 − 0
2
= lim h + 0
h
h→0
よって
3
h
2
= lim h
h→0 h
= lim h = 1
h→0 h
f (0, 0 + h) − f (0, 0)
fy (0, 0) = lim
h
h→0
0 − h3 − 0
2
= lim 0 + h
h
h→0
2x(x − 3y) − x2 y · 1
(x − 3y)2
=
xy(x − 6y)
x2 y − 6xy 2
=
(x − 3y)2
(x − 3y)2
x2 (x − 3y) − x2 y · (−3)
(x − 3y)2
x3 − 3x2 y + 3x2 y
(x − 3y)2
（ 3 ） zx = cos(x + y) zy = cos(x + y)
= e−xy − xye−xy
= (1 − xy)e−xy
zy = x · (−xe−xy )
= −x2 e−xy
1
· {− sin(x − 2y) · 1}
cos(x − 2y)
sin(x − 2y)
= − tan(x − 2y)
cos(x − 2y)
1
zy =
· {− sin(x − 2y) · (−2)}
cos(x − 2y)
=−
2 sin(x − 2y)
= 2 tan(x − 2y)
cos(x − 2y)
（ 4 ） zx = 2 sin(x + y) cos(x + y) · 1 − 2 sin x cos x
= sin 2(x + y) − sin 2x （倍角の公式により）
zy = 2 sin(x + y) cos(x + y) · 1 − 2 sin y cos y
= sin 2(x + y) − sin 2y （倍角の公式により）
=−
y
− 1 zy = 1 + x2
y
x
x2
y
x2 + y 2
x2 y
よって，dz = −
1
· (−2x)
3 − x2 − y 2
x
=−p
3 − x2 − y 2
1
zy = p
· (−2y)
3 − x2 − y 2
y
=−p
3 − x2 − y 2
よって，点 (1, 1, 1) における接平面の方程式は
1
1
z −1 = − √
(x−1)− √
(y −1)
3 − 12 − 12
3 − 12 − 12
z − 1 = −(x − 1) − (y − 1)
p
2
すなわち，x + y + z = 3
（ 2 ） zx = 1 · e−xy + x · (−ye−xy )
3. （ 1 ） zx = −
z − 25 = 8 · (−2)(x + 2) + 18 · (−1)(y + 1)
z − 1 = −x + 1 − y + 1
x3
=
(x − 3y)2
=
よって，点 (−2, − 1, 25) における接平面の方程式は
（ 2 ） zx =
2x2 y − 6xy 2 − x2 y
(x − 3y)2
（ 3 ） zx =
4. （ 1 ） zx = 8x zy = 18y
すなわち，16x + 18y + z = −25
=
=
+{x sin(x − y) − xy cos(x − y)}dy
z − 25 = −16x − 32 − 18y − 18
−h
2
= lim h
h
h→0
−h
= lim
= −1
h→0 h
zy =
dz = {y sin(x − y) + xy cos(x − y)}dx
z − 25 = −16(x + 2) − 18(y + 1)
3
2. （ 1 ） zx =
zy = x sin(x − y) + xy · (−1) · cos(x − y)
=
x2 + y 2
xy 2
π , y = π のとき
2³
2´
π
π
z = sin
= sin π = 0 であるから，点
+
2
2
³
´
π , π , 0 における接平面の方程式は
2 2
³
´³
´
³
´³
´
z − 0 = cos π + π x − π + cos π + π y − π
2
2
³2
´ 2
³ 2 ´2
π
π
+ cos π y −
z = cos π x −
2
³
´2 ³
´
π
π
z =− x−
− y−
2
2
すなわち，x + y + z = π
また，x =
dy
5. （ 1 ） dz = ∂z dx + ∂z
dt
∂x dt
∂y dt
= cos x cos y · et + sin x · (− sin y) · 1
t
1
= et cos(et ) cos(log t) −
sin(et ) sin(log t)
t
（ 2 ） z = sin(et ) cos(log t)
dz = {sin(et )}0 cos(log t) + sin(et ){cos(log t)}0
dt
= cos(et ) · et cos(log t) + sin(et ) · {− sin(log t)} · 1
t
1
sin(et ) sin(log t)
= et cos(et ) cos(log t) −
t
x2 + y 2
x2 + y 2
dx +
dy
2
x y
xy 2
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3. ∂z = − 12 f (u) +
∂x
x
= − 12 f (u) −
x
∂z
1
d f (u) ·
=
∂y
x du
= 12 d f (u)
x du
6. zu = zx xu + zy yu
2
= 2x · 1 − x2 · 2
y
y
2x(y − x)
2xy − 2x2
=
2
y
y2
zv = zx xv + zy yv
=
2
= 2x · (−2) − x2 · 1
y
y
よって
練習問題 1-B
1. f (x, y) が点 (0, 0) で連続であるための条件は， lim
f (x, y)
(x,y)→(0,0)
が存在し
lim
f (x, y) = f (0, 0)
(x,y)→(0,0)
となることである．
ここで，
lim
µ
f (x, y) =
(x,y)→(0,0)
lim
(x,y)→(0,0)
3
3
cos−1
x3 + y 3
2x2 + 2y 2
¶
を
x +y
2
2 を考える．
(x,y)→(0,0) 2x + 2y
x = r cos θ, y = r sin θ とおくと，(x, y) → (0, 0) のとき，
lim
調べるために，まず
³
´
1 f (u) − y d f (u) + y · 1 d f (u) + z
x2
x3 du
x2 du
y
y
= − 1 f (u) − 2 d f (u) + 2 d f (u) + 1 f (u)
x
x
x du
x du
= 0 = 右辺
r
4. T = 2π l より
g
r
∂T
1
= 2π 1 · √
∂l
g 2 l
= √π
gl
µ
¶
√
∂T
1
= 2π l · − √
∂g
2g g
r
l
=−π
g
g
∂T ∆l + ∂T ∆g
よって， ∆T ;
∂l
∂g
r
π
π
l ∆g
= √ ∆l −
g
g
gl
左辺 = x −
x(4y + x)
−4xy − x2
=−
y2
y2
=
³
´
1 d f (u) · − y
x du
x2
y d
f (u)
x3 du
1
x
r → 0 であるから
(r cos θ)3 + (r sin θ)3
x3 + y 3
lim
lim
2
2 = r→0
(x,y)→(0,0) 2x + 2y
2(r cos θ)2 + 2(r sin θ)2
r3 (cos3 θ + sin3 θ)
r→0 2r 2 (cos2 θ + sin2 θ)
= lim
r3 (cos3 θ + sin3 θ)
r→0
2r2
= lim
r(cos3 θ + sin3 θ)
r→0
2
= lim
したがって
∆T ;
T
µ
√π ∆l − π
g
gl
r
¶
l ∆g ×
g
1
r
2π
l
g
r
¶ r
g
1
1
l
√ ∆l −
∆g ×
g
g
l
gl
µ
¶
∆g
= 1 ∆l −
2
l
g
µ
¶
∆g
1
∆T
∆l
;
−
すなわち，
T
2
l
g
= 1
2
µ
3
3
0<
= cos θ + sin θ <
= 1 より
r(cos3 θ + sin3 θ) < r
r
= 2 = 2
2
3
3
r = 0 であるから， lim r(cos θ + sin θ) = 0
ここで， lim
r→0 2
r→0
2
0 <
=
以上より
¶
x3 + y 3
= cos−1 0 = π
2
(x,y)→(0,0)
2x2 + 2y 2
π
であれば，f (x, y) は，点 (0, 0) で
したがって，f (0, 0) =
2
π
連続となる．よって，k =
2
lim
µ
cos−1
〔別解〕
r
l の両辺の対数をとると
g
µ r ¶
l
log T = log 2π
g
√
√
= log 2π + log l − log g
T = 2π
= log 2π + 1 log l − 1 log g
2
2
両辺の全微分をとると
dT = 1 dl − 1 dg
T
2 l
2 g
∆l, ∆g は微小であるから
µ
¶
∆g
∆g
1
∆l
1
1
∆l
∆T
;
−
=
−
T
2 l
2 g
2
l
g
2. （ 1 ） zx = 2ax + by,
zy = bx + 2cy
よって
左辺 = x(2ax + by) + y(bx + 2cy)
= 2ax2 + bxy + bxy + 2cy 2
= 2(ax2 + bxy + cy 2 )
= 2z = 右辺
（ 2 ）与えられた等式の両辺を t で偏微分すると
∂ (tx) + f (tx, ty) ∂ (ty) = ntn−1 f (x, y)
y
∂t
∂t
xfx (tx, ty) + yfy (tx, ty) = ntn−1 f (x, y)
fx (tx, ty)
であるから，ここで，t = 1 とおけば
xfx (x, y) + yfy (x, y) = nf (x, y)
すなわち，xzx + yzy = nz
f (0 + h, y) − f (0, y)
h
hy − 0 · y
= lim
h
h→0
hy
= lim
h→0 h
\ 0 より，hy =
\ 0 であるから，この極限値は存在しな
xy =
5. （ 1 ） fx (0, y) = lim
h→0
い．
f (x, 0 + h) − f (x, 0)
h
xh − x · 0
= lim
h
h→0
xh
= lim
h→0 h
fy (x, 0) = lim
h→0
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新微分積分 II
\ 0 より，xh =
\ 0 であるから，この極限値は存在しな
xy =
い．
f (0 + h, 0) − f (0, 0)
h
h·0 − 0·0
= lim
h
h→0
0
= lim
=0
h→0 h
f (0, 0 + h) − f (0, 0)
fy (0, 0) = lim
h
h→0
0·h − 0·0
= lim
h
h→0
0
= lim
=0
h→0 h
よって，点 (0, 0) における偏微分係数はいずれも存在し，
（ 2 ） fx (0, 0) = lim
h→0
その値は 0 である．
∆z = f (0 + ∆x, 0 + ∆y) − f (0, 0)
= fx (0, 0)∆x + fy (0, 0)∆y + ε とすると
∆x ∆y − 0 = 0 · ∆x + 0 · ∆y + ε より，ε = ∆x ∆y
ε
について調べる．
(∆x)2 + (∆y)2
∆x = r cos θ, ∆y = r sin θ とおくと，(∆x, ∆y) → (0, 0)
lim
ここで，
(∆x,∆y)→(0,0)
p
のとき，r → 0 であるから
lim
p
ε
(∆x)2 + (∆y)2
lim
p
∆x ∆y
(∆x)2 + (∆y)2
(∆x,∆y)→(0,0)
=
(∆x,∆y)→(0,0)
r cos θ · r sin θ
(r cos θ)2 + (r sin θ)2
= lim p
r→0
r2 cos θ sin θ
= lim p
r→0
r cos2 θ + sin2 θ
= lim r cos θ sin θ
r→0
sin 2θ < 1 より
= 2
2
r
0 <
= 2
= r cos θ sin θ <
r
ここで， lim
= 0 であるから， lim r cos θ sin θ = 0
r→0 2
r→0
ε
p
すなわち，
lim
= 0 となるの
(∆x,∆y)→(0,0)
(∆x)2 + (∆y)2
で，f (x, y) は，(0, 0) で全微分可能である．
0<
= cos θ sin θ =
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