新 微分積分 II 2 章 偏微分 § 1 偏微分法 (p.39∼p.40) 練習問題 1-A ( 2 ) zx = y sin(x − y) + xy · 1 · cos(x − y) = y sin(x − y) + xy cos(x − y) 1. fx (0, 0) = lim h→0 f (0 + h, 0) − f (0, 0) h = x sin(x − y) − xy cos(x − y) h3 − 0 − 0 2 = lim h + 0 h h→0 よって 3 h 2 = lim h h→0 h = lim h = 1 h→0 h f (0, 0 + h) − f (0, 0) fy (0, 0) = lim h h→0 0 − h3 − 0 2 = lim 0 + h h h→0 2x(x − 3y) − x2 y · 1 (x − 3y)2 = xy(x − 6y) x2 y − 6xy 2 = (x − 3y)2 (x − 3y)2 x2 (x − 3y) − x2 y · (−3) (x − 3y)2 x3 − 3x2 y + 3x2 y (x − 3y)2 ( 3 ) zx = cos(x + y) zy = cos(x + y) = e−xy − xye−xy = (1 − xy)e−xy zy = x · (−xe−xy ) = −x2 e−xy 1 · {− sin(x − 2y) · 1} cos(x − 2y) sin(x − 2y) = − tan(x − 2y) cos(x − 2y) 1 zy = · {− sin(x − 2y) · (−2)} cos(x − 2y) =− 2 sin(x − 2y) = 2 tan(x − 2y) cos(x − 2y) ( 4 ) zx = 2 sin(x + y) cos(x + y) · 1 − 2 sin x cos x = sin 2(x + y) − sin 2x (倍角の公式により) zy = 2 sin(x + y) cos(x + y) · 1 − 2 sin y cos y = sin 2(x + y) − sin 2y (倍角の公式により) =− y − 1 zy = 1 + x2 y x x2 y x2 + y 2 x2 y よって,dz = − 1 · (−2x) 3 − x2 − y 2 x =−p 3 − x2 − y 2 1 zy = p · (−2y) 3 − x2 − y 2 y =−p 3 − x2 − y 2 よって,点 (1, 1, 1) における接平面の方程式は 1 1 z −1 = − √ (x−1)− √ (y −1) 3 − 12 − 12 3 − 12 − 12 z − 1 = −(x − 1) − (y − 1) p 2 すなわち,x + y + z = 3 ( 2 ) zx = 1 · e−xy + x · (−ye−xy ) 3. ( 1 ) zx = − z − 25 = 8 · (−2)(x + 2) + 18 · (−1)(y + 1) z − 1 = −x + 1 − y + 1 x3 = (x − 3y)2 = よって,点 (−2, − 1, 25) における接平面の方程式は ( 2 ) zx = 2x2 y − 6xy 2 − x2 y (x − 3y)2 ( 3 ) zx = 4. ( 1 ) zx = 8x zy = 18y すなわち,16x + 18y + z = −25 = = +{x sin(x − y) − xy cos(x − y)}dy z − 25 = −16x − 32 − 18y − 18 −h 2 = lim h h h→0 −h = lim = −1 h→0 h zy = dz = {y sin(x − y) + xy cos(x − y)}dx z − 25 = −16(x + 2) − 18(y + 1) 3 2. ( 1 ) zx = zy = x sin(x − y) + xy · (−1) · cos(x − y) = x2 + y 2 xy 2 π , y = π のとき 2³ 2´ π π z = sin = sin π = 0 で あ る か ら ,点 + 2 2 ³ ´ π , π , 0 における接平面の方程式は 2 2 ³ ´³ ´ ³ ´³ ´ z − 0 = cos π + π x − π + cos π + π y − π 2 2 ³2 ´ 2 ³ 2 ´2 π π + cos π y − z = cos π x − 2 ³ ´2 ³ ´ π π z =− x− − y− 2 2 すなわち,x + y + z = π また,x = dy 5. ( 1 ) dz = ∂z dx + ∂z dt ∂x dt ∂y dt = cos x cos y · et + sin x · (− sin y) · 1 t 1 = et cos(et ) cos(log t) − sin(et ) sin(log t) t ( 2 ) z = sin(et ) cos(log t) dz = {sin(et )}0 cos(log t) + sin(et ){cos(log t)}0 dt = cos(et ) · et cos(log t) + sin(et ) · {− sin(log t)} · 1 t 1 sin(et ) sin(log t) = et cos(et ) cos(log t) − t x2 + y 2 x2 + y 2 dx + dy 2 x y xy 2 とどろき英数塾 新 微分積分 II 3. ∂z = − 12 f (u) + ∂x x = − 12 f (u) − x ∂z 1 d f (u) · = ∂y x du = 12 d f (u) x du 6. zu = zx xu + zy yu 2 = 2x · 1 − x2 · 2 y y 2x(y − x) 2xy − 2x2 = 2 y y2 zv = zx xv + zy yv = 2 = 2x · (−2) − x2 · 1 y y よって 練習問題 1-B 1. f (x, y) が点 (0, 0) で連続であるための条件は, lim f (x, y) (x,y)→(0,0) が存在し lim f (x, y) = f (0, 0) (x,y)→(0,0) となることである. ここで, lim µ f (x, y) = (x,y)→(0,0) lim (x,y)→(0,0) 3 3 cos−1 x3 + y 3 2x2 + 2y 2 ¶ を x +y 2 2 を考える. (x,y)→(0,0) 2x + 2y x = r cos θ, y = r sin θ とおくと,(x, y) → (0, 0) のとき, lim 調べるために,まず ³ ´ 1 f (u) − y d f (u) + y · 1 d f (u) + z x2 x3 du x2 du y y = − 1 f (u) − 2 d f (u) + 2 d f (u) + 1 f (u) x x x du x du = 0 = 右辺 r 4. T = 2π l より g r ∂T 1 = 2π 1 · √ ∂l g 2 l = √π gl µ ¶ √ ∂T 1 = 2π l · − √ ∂g 2g g r l =−π g g ∂T ∆l + ∂T ∆g よって, ∆T ; ∂l ∂g r π π l ∆g = √ ∆l − g g gl 左辺 = x − x(4y + x) −4xy − x2 =− y2 y2 = ³ ´ 1 d f (u) · − y x du x2 y d f (u) x3 du 1 x r → 0 であるから (r cos θ)3 + (r sin θ)3 x3 + y 3 lim lim 2 2 = r→0 (x,y)→(0,0) 2x + 2y 2(r cos θ)2 + 2(r sin θ)2 r3 (cos3 θ + sin3 θ) r→0 2r 2 (cos2 θ + sin2 θ) = lim r3 (cos3 θ + sin3 θ) r→0 2r2 = lim r(cos3 θ + sin3 θ) r→0 2 = lim したがって ∆T ; T µ √π ∆l − π g gl r ¶ l ∆g × g 1 r 2π l g r ¶ r g 1 1 l √ ∆l − ∆g × g g l gl µ ¶ ∆g = 1 ∆l − 2 l g µ ¶ ∆g 1 ∆T ∆l ; − すなわち, T 2 l g = 1 2 µ 3 3 0< = cos θ + sin θ < = 1 より r(cos3 θ + sin3 θ) < r r = 2 = 2 2 3 3 r = 0 であるから, lim r(cos θ + sin θ) = 0 ここで, lim r→0 2 r→0 2 0 < = 以上より ¶ x3 + y 3 = cos−1 0 = π 2 (x,y)→(0,0) 2x2 + 2y 2 π であれば,f (x, y) は,点 (0, 0) で したがって,f (0, 0) = 2 π 連続となる.よって,k = 2 lim µ cos−1 〔別解〕 r l の両辺の対数をとると g µ r ¶ l log T = log 2π g √ √ = log 2π + log l − log g T = 2π = log 2π + 1 log l − 1 log g 2 2 両辺の全微分をとると dT = 1 dl − 1 dg T 2 l 2 g ∆l, ∆g は微小であるから µ ¶ ∆g ∆g 1 ∆l 1 1 ∆l ∆T ; − = − T 2 l 2 g 2 l g 2. ( 1 ) zx = 2ax + by, zy = bx + 2cy よって 左辺 = x(2ax + by) + y(bx + 2cy) = 2ax2 + bxy + bxy + 2cy 2 = 2(ax2 + bxy + cy 2 ) = 2z = 右辺 ( 2 )与えられた等式の両辺を t で偏微分すると ∂ (tx) + f (tx, ty) ∂ (ty) = ntn−1 f (x, y) y ∂t ∂t xfx (tx, ty) + yfy (tx, ty) = ntn−1 f (x, y) fx (tx, ty) であるから,ここで,t = 1 とおけば xfx (x, y) + yfy (x, y) = nf (x, y) すなわち,xzx + yzy = nz f (0 + h, y) − f (0, y) h hy − 0 · y = lim h h→0 hy = lim h→0 h \ 0 より,hy = \ 0 であるから,この極限値は存在しな xy = 5. ( 1 ) fx (0, y) = lim h→0 い. f (x, 0 + h) − f (x, 0) h xh − x · 0 = lim h h→0 xh = lim h→0 h fy (x, 0) = lim h→0 とどろき英数塾 新 微分積分 II \ 0 より,xh = \ 0 であるから,この極限値は存在しな xy = い. f (0 + h, 0) − f (0, 0) h h·0 − 0·0 = lim h h→0 0 = lim =0 h→0 h f (0, 0 + h) − f (0, 0) fy (0, 0) = lim h h→0 0·h − 0·0 = lim h h→0 0 = lim =0 h→0 h よって,点 (0, 0) における偏微分係数はいずれも存在し, ( 2 ) fx (0, 0) = lim h→0 その値は 0 である. ∆z = f (0 + ∆x, 0 + ∆y) − f (0, 0) = fx (0, 0)∆x + fy (0, 0)∆y + ε とすると ∆x ∆y − 0 = 0 · ∆x + 0 · ∆y + ε より,ε = ∆x ∆y ε について調べる. (∆x)2 + (∆y)2 ∆x = r cos θ, ∆y = r sin θ とおくと,(∆x, ∆y) → (0, 0) lim ここで, (∆x,∆y)→(0,0) p のとき,r → 0 であるから lim p ε (∆x)2 + (∆y)2 lim p ∆x ∆y (∆x)2 + (∆y)2 (∆x,∆y)→(0,0) = (∆x,∆y)→(0,0) r cos θ · r sin θ (r cos θ)2 + (r sin θ)2 = lim p r→0 r2 cos θ sin θ = lim p r→0 r cos2 θ + sin2 θ = lim r cos θ sin θ r→0 sin 2θ < 1 より = 2 2 r 0 < = 2 = r cos θ sin θ < r ここで, lim = 0 であるから, lim r cos θ sin θ = 0 r→0 2 r→0 ε p すなわち, lim = 0 となるの (∆x,∆y)→(0,0) (∆x)2 + (∆y)2 で,f (x, y) は,(0, 0) で全微分可能である. 0< = cos θ sin θ = とどろき英数塾
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