フーリエ級数フーリエ級数の練習問題

物理数学 II
補足資料の解答 [2015/11]
■ フーリエ級数
あ： 2π,
い： a,
う： 2L,
え： 0,
お 0,
か： 0
, き： L, く： 0, け： L, こ： 0,
∫
∫
( nπx )
( nπx )
1 L
1 L
さ： am L, し：
f (x) cos
f (x) sin
dx, す：
dx, せ： 0, そ： 0,
L −L
L
L −L
L
∞
4 ∑ sin[(2n + 1)x]
π
4
, て：
, と： ,
た：奇関数, ち： 0, つ：
nπ
π n=0
2n + 1
4
n
(−1)
な：
, に：偶関数, ぬ：奇関数, ね：偶関数, の： 0,
2n + 1
π
は： 0, ひ： 2, ふ： 0, へ： 0, ほ：
, ま： 0
2N
■ フーリエ級数の練習問題
(1) 周期は 2π 。f (x) は偶関数なので、bn = 0。また a0 = 4/π, a1 = 0, n ≥ 2 のとき
∫
∫
2 π
2 1 + (−1)n
1 π
| sin x| cos(nx)dx =
sin x cos(nx) = − ·
an =
π −π
π 0
π
n2 − 1
より、
∞
2
4 ∑ cos(2nx)
˜
f (x) = −
.
π π n=1 (2n)2 − 1
（実は周期を短くとることが可能。(−π/2, π/2) の範囲にとれる。）
(2) 周期は 2π 。f (x) は奇関数なので、an = 0。
(
)
∞
∑
sin 2x sin 3x
(−1)n+1 sin(nx)
˜
f (x) = 2 sin x −
+
+ ··· = 2
2
3
n
n=1
(3), (4) は各自で解こう！
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