面積と体積 ６／２２加藤 ュ ー ク リ ッ ド は 、 「 面 積 が 等 し い 」 と い う 概 念 を 定 義 して い な い 。 「 面 積 が 等 し い 」 と い う こ と を 、 次 の ６ つ の 性 質 を 満 た す 無 定 義 概 念 と 考 えて い る 。 （ １ ） （ ２ ） 合同な図形は「等しい」 「等しい」図形の和は「等しい」 （ ３ ） 「等しい」図形の差は「等しい」 （ ４ ） 「等しい」図形の半分は「等しい」 （ ５ ） 全体は部分よりも大きい 定理１ 三角錐の体積は、同じ底面、 同じ高さの三角柱の体積の１に等しい 羅証明 三 角 柱 を ３ つ の 三 角 錐 ４ ・こ 分 解 す る こ と で 証 明 す る ． Ｂ Ｃ Ａ Ｆ Ｄ （ Ｉ ） 三 角 錐 Ｅ Ａ Ｆ Ｃ と 三 角 錐 Ｅ Ａ Ｆ Ｄ に つ いて Ｃ Ｆ Ｄ ＯＡＣＦＤは平行四辺形である． よって ＡＤ＝ＣＦ‥‥‥（１） ＡＣ＝ＤＦ‥‥‥（２） 次に，△ＡＦＣと△ＡＦＤについて考える． （１），（２）とＡＦが共通であることより △ＡＦＣ △ＡＦＤ（７三角形の合同条件） が成り立ち △ＡＦＣの面積＝△ＡＦＤの面積‥‥・（３） となる． 口ＡＣＦＤを底面とする四角錐ＥＡＦＣＤは△ＥＡＦで三角錐ＥＡＦＣと三角錐ＥＡＦＤ に ２ 分 割 さ れ る ． （ ３ ） よ り 底 面 が 面 積 の 等 し い 三 角 形 に 分 割 さ れて い る の で 三角錐ＥＡＦＣの体積＝三角錐Ｅ＝ＡＦＤの体積‥‥‥（４） が 成 り 立 つ． （ Ⅱ ） 三 角 錐 Ａ Ｃ Ｂ Ｅ と 三 角 錐 Ａ Ｅ Ｃ Ｆ に つ いて Ｂ Ｃ Ａ Ｆ □ＢＣＦＥは平行四辺形である． ■証明 半径ｒの円に内接する正ｎ角形を考える。 中 心 と 正 ｎ 角 形 の 各 頂 点 を 結 んで 、 ｎ 個 の 合 同 な 三 角 形 に 分 割 す る 。 １つの三角形を７．としヽこの二等辺三角形の底辺の長さをゐ。ヽ高さをカ。と する。 ７ Ｚ バ１ ７｀の面積はー ２ ろ ｙ １ ＝ ７ ｊ カ ２ ｊ £であるから、円に内接する正ｎ角形の面積をｙ１．とすると ７ ｊ ２ が成り立つ。 ｎを限りなく大きくすると、すなわち、円に内接する正多角形の辺の数を限り な く 増 や して い く と ヽ ． ４ ． は 半 径 Ｉ ゛ の 円 の 面 積 Ｉ Ｉ 丿 に 近 づ く ． ￣方ヽ１１ゐｊま正１１角形の周の長さであるからヽ１１を大きくするとヽ限りなく 半径ｒの円周の長さｃに近づく。 またヽカｊま円の半径りこ近づくのでヽ上式の右辺は限りなく呈に近づく． し た が っ て、 π Γ ２ ＝ 壁 、 す な わ ち 、 ｃ ＝ ２ π ｒ
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