微分方程式を解くための積分例題（略解）

微分方程式を解くための積分例題（略解）
谷澤俊弘
2015 年 7 月 28 日
1
置換積分
1.1 例題
∫
1 4
sin x + C
4
∫
1
2.
(4x + 3) 5 dx =
(4x + 3) 6 + C
24
∫
3.
(1 + sin x) 3 dx
1.
sin3 x cos xdx =
【解法】
∫
∫ (
)
1 + 3 sin x + 3 sin2 x + sin3 x dx
∫ (
∫ (
)
)
=
1 + 3 sin2 x dx +
3 sin x + sin3 x dx
∫
∫ (
)
2
= x+3
sin xdx +
3 + sin2 x sin xdx
∫ (
∫
)
1 − cos 2x
dx +
3 + 1 − cos2 x sin xdx
= x+3
2
} ∫ (
{
)
1
1
= x+3
x − sin 2x +
4 − cos2 x sin xdx
2
4
(1 + sin x) dx =
3
この最後の不定積分は t = cos x と置くと，dt = − sin xdx より，
∫ (
4−t
2
)
(−dt) =
∫ (
以上より，
与式 =
4.
5.
6.
7.
8.
)
1
1
t 2 − 4 dt = t 3 − 4t + C = cos3 x − 4 cos x + C
3
3
3
1
5
x − sin 2x − 4 cos x + cos3 x + C
2
4
3
∫ √
2
3x + 1dx = (3x + 1) 3/2 + C
9
∫
(
)4
)5
1 ( 2
2
x x + 1 dx =
x +1 +C
10
∫
1 x2
x2
x e dx = e + C
2∫
∫
1
cos x
dx =
dx = log | sin x| + C
tan
x
sin x
∫
x
(
)
e
dx = log e x + 1 + C
ex + 1
1
∫
(
)
1
x
2
dx
=
log
x
+
1
+C
2
2
∫ x +1
1
10.
dx = log | log x| + C
x log x
9.
2
部分積分
2.1 例題
∫
1.
2.
3.
∫
∫
∫
x sin xdx = −x cos x + sin x + C
x e x dx = (x − 1) e x + C
log xdx = x log x − x + C
1 2
1
x log x − x 2 + C
2
4
∫
1 3
1
2
5.
x log xdx = x log x − x 3 + C
3
9
∫
(
)
2 −x
2
6.
x e dx = − x + 2x + 2 e−x + C
∫
7.
x 2 sin xdx = −x 2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C
∫
(
)
(
)
log x 2 dx = x log x 2 − 2x log x + 2x + C
8.
x log xdx =
4.
3
応用
3.1 例題
∫
1
3
(2x + 3) 7 −
(2x + 3) 6 + C [ t = 2x + 3 ]
28
24
∫
√
√
2
4
x2
dx = (x − 1) 5/2 + (x − 1) 3/2 + 2 x − 1 + C [ t = x − 1 ]
2.
√
5∫
3∫
x−1
∫
[
2
x
1
1
(x−2)+2
x
dx = log |x−2|−
3.
dx =
dx+2
+C (x−2)
2 = (x−2) 2 =
2
2
x
−
2
x
−
2
(x
−
2)
(x
−
2)
∫
√
√
2
12
4.
x 2 x + 3dx = (x + 3) 7/2 −
(x + 3) 5/2 + 6 (x + 3) 3/2 + C [ t = x + 3 ]
7
5
∫
1
1
8
7
(2x − 1) 9 + C
5.
4x (2x − 1) dx = x (2x − 1) −
4
72
【解法】
f (x) = 4x, g ′ (x) = (2x − 1) 7 として部分積分
∫
1 2x
6.
e2x cos 3xdx =
e (3 sin 3x + 2 cos 3x) + C
13
【解法】与式を I と置き， f (x) = e3x , g ′ (x) = cos 3x として部分積分を行うと，
∫
1
1
I = e2x sin 3x −
2e2x · sin 3xdx
3
3
∫
2
1 2x
e2x sin 3xdx.
= e sin 3x −
3
3
1.
x (2x + 3) 5 dx =
2
1
x−2
+
2
(x−2) 2
]
第 2 項を f (x) = e2x , g ′ (x) = sin 3x として部分積分して
1
I = e2x sin 3x −
3
1
= e2x sin 3x +
3
{
( )
}
∫
2
1 2x
1
2x
− e cos 3x −
2e
− cos 3xdx
3
3
3
∫
2 2x
4
e cos 3x −
e2x cos 3xdx.
9
9
この最後の不定積分は求めるべき I であるから
(
1+
)
4
2
1
I = e2x sin 3x + e2x cos 3x + C
9
3
9
1 2x
e (3 sin 3x + 2 cos 3x) + C.
I=
13
C
∫ は不定定数である。
x3
dx
7.
x−1
【解法】
x3
1
=
+ x2 + x + 1
x−1 x−1
であるから，
∫
∫
8.
x3
dx =
x−1
∫ (
)
1
1
1
2
+ x + x + 1 dx = log |x − 1| + x 3 + x 2 + x + C.
x−1
3
2
x
dx
(x + 1)(x + 2)
【解法】
a
b
x
=
+
(x + 1)(x + 2)
x+1 x+2
と置くと，分子は
x = a (x + 2) + b (x + 1)
x = −1 として a を， x = −2 として b を決めると，
x
2
1
=
−
.
(x + 1)(x + 2)
x+2 x+1
∫ (
したがって，
与式 =
∫
9.
)
1
2
−
dx = 2 log |x + 2| − log |x + 1| + C.
x+2 x+1
2x + 1
dx
(x − 4)(x + 1)
【解法】前問と同様に被積分関数を部分分数に分けると，
2x + 1
9
1
1
1
= ·
+ ·
.
(x − 4) (x + 1) 5 x − 4 5 x + 1
したがって，
1
与式 =
5
∫ (
)
9
1
9
1
+
dx = log |x − 4| + log |x + 1| + C.
x−4 x+1
5
5
3
∫
10.
1
dx
x 2 (x − 1)
【解法】この被積分関数を部分分数に分ける。
1
ax + b
c
=
+
x−1
x 2 (x − 1)
x2
と置く。第 1 項では分母が 2 次なので分子を 1 次式で置いていることに注意しよう。通分後の両辺の
分子は
1 = (ax + b) (x − 1) + cx 2
となる。これを満たすように a, b, c を決めて，
1
−x − 1
1
1
1
1
=
+
=− − 2 +
x−1
x x
x−1
x 2 (x − 1)
x2
より，
∫ (
与式 =
−
∫
11.
)
1
1 1
1
1
1
− 2+
dx = − log |x| + + log |x − 1| + C = log 1 − + + C.
x x
x−1
x
x x
sin 5x cos 4xdx
【解法】三角関数の和積変換公式
sin x cos y =
を用いて
与式 =
∫
12.
1
2
1
{sin (x + y) + sin (x − y)}
2
∫
(sin 9x + sin x) dx = −
1
1
cos 9x − cos x + C.
18
2
1
dx
cos x
∫
【解法】
与式 =
cos x
dx =
cos2 x
∫
cos x
dx
1 − sin2 x
この積分は t = sin x と置くと，dt = cos xdx より，
∫
)
1
1
+
dt
1−t 1+t
1
1
= − log |1 − t| + log |1 + t| + C
2
2
1 + sin x 1
+ C.
= log 2
1 − sin x 1
1
dt =
2
2
1−t
∫
13.
∫ (
cos 4x sin 3xdx
【解法】
∫
∫
1
与式 =
2
∫
(sin 7x − sin x) dx = −
1
1
cos 7x + cos x + C.
14
2
1
1
1 − cos 2x
dx = x − sin 2x + C
2
2
∫
∫
∫ ( 4
)
1
3
2
15.
sin xdx =
sin x sin xdx =
1 − cos2 x sin xdx = cos3 x − cos x + C
3
14.
sin2 xdx =
4

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