201 5 年度数学基礎考究2 (落合) 中間テスト (12/10) 学籍番号氏名

２０１ 5 年度数学基礎考究２ (落合) 中間テスト (12/10)
学籍番号氏名
証明を求められている問題以外は答えだけでよい.
[1] 知っている体 K の具体例を 3 つ以上挙げよ (6 点).
答え
[2] 次のベクトル空間 V に対して, 基底を具体的に記せ (8 点).
(1) 実数体 R 上のベクトル空間としての複素数体 C.
答え
(2) K 係数の n 次正方行列のなすベクトル空間 Mn (K).
答え
(3) Mn (K) の中の K 係数の交代行列全体のなすベクトル空間.
答え
(4) K 係数の 1 変数多項式の空間 K[X].
答え
[3] K ベクトル空間 V の空でない部分集合 W が K 部分空間であるこ
との定義を簡潔に過不足なく述べよ (5 点).
答え
[4] m 次元 K ベクトル空間 U , n 次元 K ベクトル空間 V , K 線型写像
f : U −→ V に対して, dim Kerf , dim Imf の間に成り立つ等式を記せ
(5 点).
答え
[5] M (2, R) を 2 次実正方行列全体のなす R 線型空間とし, 部分空間
V = {X ∈ M (2, R)|trX = 0} を考える. このとき以下の問に答えよ (10
点).
(1) R ベクトル空間 V は
(
)
(
)
(
)
1 0
0 1
0 0
E1 =
, E2 =
, E3 =
0 −1
0 0
1 0
を基底に持つことを証明せよ.
証明
(
)
0 1
(2) A =
∈ M (2, R) とする. X ∈ V に対して fA (X) = AX −
1 0
XA と定めるとき, R 線型写像 fA の表現行列を求めよ.
答え
[6] 次を計算せよ (答えだけ見ますので検算することを推奨します) (15
点)


1
1
0 −1
−1 1
1
0


(1) A = 
 の階数 rankA を求めよ.
 0 −2 −1 1 
1
3
2
0
答え rankA =

2
3
1
0
1
4

(2) B = 
 2 −2 1
−1 3 −1

2
0

 の行列式 detB を求めよ.
1
1
答え detB =


3 1 2


(3) C = 4 1 2 の逆行列 C −1 を計算して求めよ.
1 1 1
答え C −1 =
[7] 行列 A ∈ Mn (K) が対角化可能であることの定義を述べよ (5 点).
答え
[8] f : V −→ V を K ベクトル空間の自己準同型とする. 次の問いに答
えよ (10 点).
(1) λ ∈ K とするとき, λ に属する f の固有ベクトルの定義を述べよ.
答え
(2) λ ∈ K が f の固有値であることの定義を述べよ.
答え
[9] V を有限次元 K ベクトル空間, W ⊂ V を K 部分空間とする. 次の
問いに答えよ (10 点).
(1) v 1 , . . . , v n を V /W の基底とし, 1 ≤ i ≤ n なる各 i で v i ∈ V を
v i ∈ V /W の代表元とするとき, v 1 , . . . , v n は一次独立であることを示
せ.
証明
(2) w1 , . . . , wm を W の基底とするとき, w1 , . . . , wm , v 1 , . . . , v n は一
次独立であることを示せ.
証明
[10] 有限次元 K ベクトル空間の間の全射 K 線型写像 p : V −→ W に
対して, p∗ : W ∗ −→ V ∗ , f 7→ f ◦ p が単射になることを示せ (5 点).
証明
[11] 2 × 2 行列 A ∈ M2 (R) で最小多項式 φA (X) と固有多項式 ΦA (X)
が異なるものを挙げよ (5 点).
答え A =
(
(2) 2 × 2 行列 A =
よ (5 点).
答え v =
0 1
−1 2
)
∈ M2 (R) の固有ベクトル v ∈ R2 を求め
(
)
λ
0
[12] λ ̸= λ′ なる実数たちに対して, A =
∈ M2 (R) は丁度二つ
0 λ′
の固有ベクトルを持つことを示せ (6 点).
証明
[13] K ベクトル空間 V の自己準同型 f : V −→ V が与えられていると
する. K 部分空間 W ⊂ V が f 安定部分空間であることの定義を述べ
よ (5 点).
答え
[14] 感想, 要望などあればお願いします (5 点).

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