2 2 次関数

1 次：計算技能対策
2 次関数
2
講義のポイント
・2 次関数の頂点は公式の導出までできるように！
・共有点の個数では判別式の意味を理解しよう！
・2 次不等式はグラフで解をチェック！
■2 次関数の頂点
2 次関数の頂点は，公式を覚えるだけでなく，公式の導出ができるようにしておくことが
重要である．以下に平方完成を用いた頂点導出を示すので，自力で求められるようにして
おこう。
2 次関数 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 の頂点の座標は
(−
𝒃
𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
，−
)
𝟐𝒂
𝟒𝒂
(証明)
𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑏
= 𝑎 (𝑥 2 + 𝑥) + 𝑐
𝑎
= 𝑎 {(𝑥 +
𝑏 2
𝑏 2
) −( ) }+𝑐
2𝑎
2𝑎
= 𝑎 (𝑥 +
𝑏 2 𝑏2
) −
+𝑐
2𝑎
4𝑎
= 𝒂 (𝒙 +
𝒃 𝟐 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
) −
𝟐𝒂
𝟒𝒂
■2 次関数のグラフと 𝒙 軸の共有点の個数
2 次関数のグラフと 𝑥 軸の共有点を求めることは， 𝑥 軸，つまり直線 𝒚 = 𝟎 との共有点を
求めることと同じである。2 式を結び，その式の判別式の符号を見ることで，共有点の個数
を判断することができる。
この判別式は，頂点の 𝒚 座標の値と 𝒙 軸との位置関係，または，解の根号内部の符号を
判別していると考えられる。
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1 次：計算技能対策
2 次関数 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 について，𝒙 軸との共有点は 𝒚 = 𝟎 を考えて，
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
この判別式 𝑫 = 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 について，
𝑫 > 𝟎 のとき，𝒙 軸との共有点は 2 個
𝑫 = 𝟎 のとき，𝒙 軸との共有点は 1 個(接する)
𝑫 < 𝟎 のとき，𝒙 軸との共有点は 0 個
(判別式の意味)
①
頂点の 𝑦 座標と 𝑥 軸との関係
2 次関数 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝒂 > 𝟎) について，
頂点の座標は
(−
𝑏
𝑏2 − 4𝑎𝑐
，−
)
2𝑎
4𝑎
であるから，この 𝑦 座標について，
(i) −
𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
< 𝟎 ⇔ 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 > 𝟎 のとき
𝟒𝒂
𝑦 座標が 𝑥 軸より下方に位置するので，共有点を 2 個持つ。
(ii) −
𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
= 𝟎 ⇔ 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 = 𝟎 のとき
𝟒𝒂
𝑦 座標が 𝑥 軸と一致するので，グラフは 𝑥 軸に接し，共有点(重解)を 1 個持つ。
(iii) −
𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
> 𝟎 ⇔ 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 < 𝟎 のとき
𝟒𝒂
𝑦 座標が 𝑥 軸より上方に位置するので，共有点を持たない。
これらのことは，𝒂 < 𝟎 の場合も同様である。
②
解の根号内部の符号
2 次関数 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 について，𝑦 = 0 とおいたとき，解の公式より 𝑥 軸との
共有点の座標は，
𝑥=
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
ここで，解の根号内部について，
(i) 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 > 𝟎 のとき
根号は正負の 2 種類存在するため，2 次関数は共有点を 2 個持つ。
(ii) 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 = 𝟎 のとき
根号は 1 種類になるため，2 次関数は共有点を 1 個持つ。
(iii) 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 < 𝟎 のとき
根号は実数値を取らないので，2 次関数は共有点を持たない。
5
1 次：計算技能対策
■2 次関数のグラフと直線の共有点の個数
2 次関数のグラフと直線の共有点の個数は，𝑥 軸との共有点の求め方と同様に行えば良い。
2 次関数 𝒚 = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 について，𝒚 = 𝒑𝒙 + 𝒒との共有点は
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝒑𝒙 + 𝒒
⇔ 𝒂𝒙𝟐 + (𝒃 − 𝒑)𝒙 + 𝒄 − 𝒒 = 𝟎
となるので，この判別式 𝑫 = (𝒃 − 𝒑)𝟐 − 𝟒𝒂(𝒄 − 𝒒) について，
𝑫 > 𝟎 のとき，𝒙 軸との共有点は 2 個
𝑫 = 𝟎 のとき，𝒙 軸との共有点は 1 個(接する)
𝑫 < 𝟎 のとき，𝒙 軸との共有点は 0 個
■2 次不等式
不等式内の変数に値を代入したとき，正しい評価を与えるものを不等式の解といい，不
等式を解くことは，その解をすべて求めることである。今回は 2 次項を不等式内に含む 2
次方程式の解を扱う。
𝒑 < 𝒒，𝒂 > 𝟎 のとき，
2 次不等式 𝒂(𝒙 − 𝒑)(𝒙 − 𝒒) < 𝟎 の解は，𝒑 < 𝒙 < 𝒒
2 次不等式 𝒂(𝒙 − 𝒑)(𝒙 − 𝒒) > 𝟎 の解は，𝒙 < 𝒑，𝒒 < 𝒙
■解と係数の関係
2 次方程式の解は，因数分解や解の公式を用いなくても，方程式の係数を見ることで，大
まかな予想をすることができる。以下が解と係数の関係であり，導出までしっかりと理解
しておくことが重要である。
2 次方程式 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 の 2 つの解を 𝛂，𝜷 とすると
𝒃
𝒄
𝜶 + 𝜷 = − ，𝜶𝜷 =
𝒂
𝒂
(証明)
①
因数分解からの証明
2 次方程式 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 の 2 解を 𝛼，𝛽 とすると，
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝛼)(𝑥 − 𝛽)
𝑏
𝑐
⇔ 𝑎 (𝑥 2 + 𝑥 + ) = 𝑎{𝑥 2 − (𝛼 + 𝛽)𝑥 + 𝛼𝛽}
𝑎
𝑎
となり，係数を比較すると，
𝜶+𝜷=−
𝜶𝜷 =
𝒃
𝒂
𝒄
𝒂
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1 次：計算技能対策
②
解の公式からの証明
2 次方程式 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 の 2 解を 𝛼，𝛽 (𝛼 < 𝛽)とすると，解の公式から
𝛼=
−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝛽=
−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
であり，
𝜶+𝜷=
=
−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐 −𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐
+
2𝑎
2𝑎
−2𝑏
2𝑎
=−
𝒃
𝒂
−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐
−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐
𝜶𝜷 = (
)∙(
)
2𝑎
2𝑎
2
(−𝑏)2 − (√𝑏2 − 4𝑎𝑐)
=
4𝑎2
=
𝑏2 − 𝑏2 + 4𝑎𝑐
4𝑎2
=
𝒄
𝒂
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1 次：計算技能対策
●練習問題●
1
□
2 次関数の頂点
次の 2 次関数の頂点の座標を求めなさい。
(1) 𝑦 = 2(𝑥 + 1)2
(2) 𝑦 = 2𝑥 2 + 4𝑥 − 1
(3) 𝑦 = −𝑥 2 + 4
1
7
(4) 𝑦 = 𝑥 2 − 3𝑥 −
2
2
2
□
2 次関数のグラフと直線の共有点の個数
(1) 放物線 𝑦 = 𝑥 2 + 2(2 − 𝑘)𝑥 + 𝑘 が 𝑥 軸に接するように，定数 𝑘 の値を定めなさい。
(2) 放物線 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 𝑘 と 𝑥 軸の共有点の個数は，定数 𝑘 の値によってどのように
変わるか調べなさい。それぞれの場合について，𝑘 の範囲を数直線上に図示しなさい。
(3) 放物線 𝑦 = −𝑥 2 と直線 𝑦 = −2𝑥 + 𝑘 の共有点の個数を調べなさい。ただし，𝑘 は定数
とする。
(4) 放物線 𝑦 = −𝑥 2 + 2(𝑘 + 1)𝑥 − 2𝑘 2 が直線 𝑦 = 4𝑥 − 2 と共有点をもつような定数 𝑘 の
範囲を求めなさい。
3
□
2 次不等式・解と係数の関係
次の 2 次不等式を解きなさい。
(1) 𝑥 2 − 𝑥 − 6 < 0
(2) 6𝑥 2 − 𝑥 − 1 ≥ 0
(3) 5𝑥 > 3(4𝑥 2 − 1)
(4) − 𝑥 2 + 2𝑥 +
1
≥0
3
次の 2 次方程式の解を 𝛼，𝛽 とするとき，𝛼 + 𝛽，𝛼𝛽 の値を求めなさい。
(5) 𝑥 2 + 4𝑥 − 5 = 0
(6) − 2𝑥 2 + 𝑥 + 4 = 0
(7) 3𝑥 2 − 4 = 0
(8) 4𝑥 2 + 4𝑥 − 1 = 0
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