問3：極座標の単位ベクトル

問３：極座標の単位ベクトル
物理の問題では考えている系が持っている対称性と同じ対称性を持つ座
標系を用いると見通しが良くなります。特に円柱座標系と極座標系はよ
く使われます。これらの座標系はデカルト座標と同じ直交座標系ですが、
単位ベクトルが座標に依存して変化することに注意して下さい。
(1) 極座標の定義により
er = sin θ cos φ i + sin θ sin φ j + cos θ k
eφ = − sin φ i + cos φ j
また極座標は直交座標であるから、
eθ = eφ × er
= (− sin φ i + cos φ j) × (sin θ cos φ i + sin θ sin φ j + cos θ k)
= − sin θ sin2 φ i × j − cos θ sin φ i × k
+ sin θ cos2 φ j × i + cos θ cos φ j × k
= cos θ cos φ j × k + cos θ sin φ k × i − sin θ(sin2 φ + cos2 φ)i × j
= cos θ cos φ i + cos θ sin φ j − sin θ k
(2) A-1 の結果を用いてそれぞれの微分を実行すると
∂
er = 0
∂r
∂
er = cos θ cos φ i + cos θ sin φ j − sin θ k = eθ
∂θ
∂
er = − sin θ sin φ i + sin θ cos φ j = sin θ eφ
∂φ
(3) r による偏微分は明らかにゼロ。
∂
eθ
∂θ
∂
eθ
∂φ
∂
eφ
∂θ
∂
eφ
∂φ
= − sin θ cos φ i − sin θ sin φ j − cos θ k = −er
= − cos θ sin φ i + cos θ cos φ j = cos θ eφ
= 0
= − cos φ i − sin φ j = − sin θer − cos θeθ
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結果が求まったら、頭の中で変数を動かした時に単位ベクトルがど
う変化するか想像して結果が直感と一致するか必ず確認して下さい。
df
をドット f˙ で表す。前問の結果を用いて順
dt
番に微分を実行すると
(4) 簡単のため時間微分
∂er
∂er
∂er
+ θ̇
+ φ̇
∂r
∂θ
∂φ
θ̇eθ + φ̇ sin θeφ
∂eθ
∂eθ
∂eθ
ṙ
+ θ̇
+ φ̇
∂r
∂θ
∂φ
−θ̇er + φ̇ cos θeφ
∂eφ
∂eφ
∂eφ
ṙ
+ θ̇
+ φ̇
∂r
∂θ
∂φ
−φ̇(sin θer + cos θeθ )
e˙r = ṙ
=
e˙θ =
=
e˙φ =
=
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問 4：グラディエントの極座標表示
手法の第２章１節、第６章１節と付録 E を読み返してください。
グラディエントの極座標表示はデカルト座標の単位ベクトルや偏微分を
変数変換を使って地道に書き換えれば求めることが出来ますが、計算は
大変煩雑です。ここでは直交座標系の性質を用いて比較的簡単に導き出
す方法を示します。
(1) 前問 (3) の結果を使うと
dr = d(r er )
= dr er + rder
∂
∂
= dr er + rdθ er + rdφ er
∂θ
∂φ
= dr er + rdθ eθ + r sin θdφ eφ
(2)
∇ϕ = er A + eθ B + eφ C
と置くと (1) の結果より
dr · ∇ϕ = drA + rdθB + r sin θdφC
これが任意の微小変位に対して
dϕ = dr
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
+ dθ
+ dφ
∂r
∂θ
∂φ
に等しいから
A=
∂ϕ
,
∂r
B=
従って
∇ϕ = er
1 ∂ϕ
,
r ∂θ
C=
1 ∂ϕ
r sin θ ∂φ
∂ϕ
1 ∂ϕ
1 ∂ϕ
+ eθ
+ eφ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
ϕ は任意の関数であるから
∇ = er
1 ∂
1
∂
∂
+ eθ
+ eφ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
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(3) 運動方程式の右辺は前問により、
(右辺) = −er
∂V
1 ∂V
1 ∂V
− eθ
− eφ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
(1)
左辺を求めるために、問３の結果を使って座標ベクトルの二階微分
を求めると、
ṙ = (re˙ r )
= ṙer + re˙r
(
)
= ṙer + r θ̇eθ + φ̇ sin θeφ
¨r)
r̈ = (re
= r̈er + 2ṙe˙r + re¨r
(
)
= r̈er + 2ṙ θ̇eθ + φ̇ sin θeφ
(
)
+r θ̈eθ + (φ̈ sin θ + φ̇θ̇ cos θ)eφ + θ̇e˙θ + φ̇ sin θe˙φ
(
)
= r̈er + 2ṙ θ̇eθ + φ̇ sin θeφ
{
+r θ̈eθ + (φ̈ sin θ + φ̇θ̇ cos θ)eφ + θ̇(−θ̇er + φ̇ cos θeφ )
}
− φ̇2 sin θ(sin θer + cos θeθ )
(
)
= r̈ − rθ̇2 − rφ̇2 sin2 θ er
(
)
+ 2ṙθ̇ + rθ̈ − rφ̇2 sin θ cos θ eθ
(
)
+ 2ṙφ̇ sin θ + rφ̈ sin θ + 2rθ̇φ̇ cos θ eφ
従って、運動方程式の各成分は、
(
)
∂V
m r̈ − rθ̇2 − rφ̇2 sin2 θ = −
∂r
(
)
1
∂V
m 2ṙθ̇ + rθ̈ − rφ̇2 sin θ cos θ = −
r ∂θ
(
)
1 ∂V
m 2ṙφ̇ sin θ + rφ̈ sin θ + 2rθ̇φ̇ cos θ = −
r sin θ ∂φ
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