後期期末試験問題

数学基礎 B2 期末試験問題
実施日：2015 年 2 月 12 日
注意事項
1. 特に指示のない限り，答を出すまでの過程をはっきり書くこと．
2. 解答終了後，問題用紙を持って退室すること．
1 次の文章の中でイ ∼ ヌの欄にあてはまる数値または式をそれぞれの解
答欄に記入せよ（結果のみで良い）．
(1) 楕円
x2 y2
+ = 1 の接線の方程式で傾きが 1 であるものは y = イまたは y =
3
5
ロである．
(2) 2015 を 13 で割ると商はハだから，2015 を素因数分解するとニである．
よって，2015 の約数の総和はホである．
(3) 1 から 10 までの整数から異なる 3 つを選ぶ方法は全部でヘ通りある．そのう
ち選んだ 3 つの整数の積が 3 の倍数となる場合はト通りである．よって，1 から
10 までの整数から異なる 3 つをでたらめに選ぶとき，それらの積が 3 の倍数となる確率
はチである．
(4) 赤玉 3 個，白玉 2 個，青玉 2 個を一列に並べる方法はリ通りである．
(5) (2x + y)7 を展開したとき， x2 y5 の係数はヌである．
2 次の連立不等式が表す領域 ⃝
A について次の問いに答えよ．



 x2 + y ≦ 0


x − y − 2 ≦ 0
···⃝
1
···⃝
2
(1) ⃝
A を図示せよ．
(2) ⃝
A 内の (x, y) に対して 3x + y の最大値と最小値を求めよ．
(3) ⃝
A 内の (x, y) に対して x + y の最大値と最小値を求めよ．
√
(4) ⃝
A 内の (x, y) に対して (7 − 3 3)x + y の最大値と最小値を求めよ．
（問題は裏面に続く）
3 k, o, u, s, e, n の 6 文字について次の方法で並べる場合の数は何通りか．
(1) k, o, u, s, e, n の中から異なる 3 文字を選んで一列に並べる方法．
(2) k, o, u, s, e, n の中から異なる 4 文字を選ぶ方法．
(3) k, o, u, s, e, n の 6 文字を両端が母音になるように一列に並べる方法．
(4) k, o, u, s, e, n の 6 文字を円周上に並べる方法．ただし，文字を回転させて並べ方が一
致するものは同一と見なす．
(5) k, o, u, s, e, n の 6 文字をそれぞれ穴のあいた玉に一つずつ書いてじゅずつなぎにする
方法．ただし，じゅずを回転または反転させて並べ方が一致するものは同一と見なす．
4 初項が 32，公差が −3 の等差数列を {an } とし，初項が −8, 第 4 項が −1 の等比数列
を {bn } とする．ただし，数列 {bn } の公比は実数とする．
(1) 数列 {an } の第 10 項を求めよ．
(2) 数列 {bn } の第 10 項を求めよ．
(3) 数列 {an } の初項から第 n 項までの和を求めよ．
(4) 数列 {bn } の初項から第 n 項までの和を求めよ．
10
∑
(5)
ak · bk を求めよ．
k=1
5 〔選択問題〕以下の A または B のいずれか一つを選び解答せよ．解答用紙の所定
欄に選んだ問題の記号を書くこと．
A n を自然数とする．n5 + 5n3 + 4n は 10 の倍数であることを証明せよ．
B 次の漸化式で表される数列 {an } の一般項を求めよ．
a1 = 5,
an+1 = 9an + 32n+2
以上

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