1. エネルギ 2. ラグランジェ方程式 3. ラグランジェ方程式による解法 4

1.
2.
3.
4.
エネルギ
ラグランジェ方程式
ラグランジェ方程式による解法
倒立振子のモデリングと安定化
９-9. 倒立振子のモデリング(1)
運動エネルギ
q


J
m2
ポテンシャルエネルギ
l
y
U  m2 g l cos q 
f
m1

 
2
2
1
1
1
m1 x 2  m2 x  lq cos q   lq sin q  Jq 2
2
2
2
1
1
1
 m1 x 2  m2 x 2  2lxq cos q  l 2q 2  Jq 2
2
2
2
T
x

９-10. 倒立振子のモデリング(2)
d  L  L
 f
 

dt  x  x
より、
d  L  L
0
 
dt  q  q
m1  m2 x  m2lqcos q  m2lq 2 sinq  f


m2lxcos q  m2lxq sinq  m2l 2  J q  m2 gl sinq  0
ここで、平衡点近傍、すなわち、
sinq  q
cosq  1
q 2  0
qq  0
とすると、以下の線型方程式が導かれる。
m1  m2 x  m2lq  f


m2lx  m2l 2  J q  m2 glq  0
(1)
(2)
９-11. 倒立振子の安定化(1)
前のスライドの式(1)より、
x 
m2l 
1
q
f
m1  m2
m1  m2
これを前のスライドの式(2)に代入する。
m1m2l 2  m1  m2 J 
 m2l
q  m2 glq 
f
m1  m2
m1  m2
f = 0 の時の系の極は以下のようになる。
pq  
m2 gl m1  m2 
m1m2l 2  m1  m2 J
正が含まれるため、不安定。
(3)
９-12. 倒立振子の安定化(2)
以下のようなフィードバック制御を行う。
f  h1q  h2q
この時、前のスライドの式(3)は以下のようになる。
m1m2l 2  m1  m2 J 
 m2l
q  m2 glq 
h1q  h2q
m1  m2
m1  m2

よって、
m m l
1
2
2


 m1  m2 J q  m2lh1q  m2lh2  m2 m1  m2 gl q  0
ここで、
h1  0
ならば、系を安定にすることができる。
h2  m1  m2 g
９-13. まとめ
 ラグランジェ方程式について学習しました。
 二重振子の運動方程式を導出しました。
 倒立振子のモデリングを行いました。
 モデリングを通じて，制御による倒立振子の
安定化の方法を学習しました。
電磁サスペンション
ボールねじと電動モータで構成される電磁アクチュエータを
提案してきた。高効率、高応答性が期待できる。
10-14 最適制御のプラントモデル
x2
m2
k2
c
u
x1

Bu  0 0

m1
k1
0


 k 0 k
1
2
A  
m1

 k2

 m2
x0

Bw  0 0

0
1
0
k2
m1
k
 2
m2
0
c2

m1
c2
m2
1
m1
1 

m2 
k1
m1

0

T
T
0 
1 
c2 
m1 
c2 


m2 
10-15 最適制御器
LQ1
0
0
0 3  108
Q
0
0

0
0
LQ2
0 0
0 0
0 0

0 0
R  1
x2の制振に集中
9  108

0

Q
 0

 0
0
3 108
0
0
0 0

0 0
0 0

0 0
R  1
x1の制振も考慮
10-16 最適制御の制振性能(1)
1
Gain (x2 / x0)
10
passive
LQ1
LQ2
0
10
-1
10
-2
10
-1
10
10
0
10
1
2
10
Frequency (Hz)
1
passive
LQ1
LQ2
0
10
1
0
Gain (x / x )
10
-1
10
-2
10
-1
10
10
0
10
Frequency (Hz)
1
2
10
10-17 最適制御の制振性能(2)
J   Y QY  u Ru  dt

T
T
0
ここで，
Q  1105
Y  CX  Duu
 k2
C
 m2
10
k
 2
m2
c2
m2
R 1
c2 


m2 
3
0
Gain (d2x /dt2 / x )
passive
LQ3
2
10
1
2
10
0
10
-1
10
10
0
10
Frequency (Hz)
1
2
10

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