東大 93年数学

東大数学
灘進学教室
東大
t
時刻
(1)
９３年
数学
（すべて類題）
x = 2 cos t + cos 2 t , y = sin 2 t
における座標が
dx d y
,
dt dt
Ｐの速さ、すなわち速度ベクトル
t
(2)
0≦t < 2
が
http://nadasingaku.com
で表される
xy
平面上の点Ｐの運動を考える。
の大きさの最大値と最小値を求めよ。
の範囲を動く間にＰが２回以上通過する点がただ１つ存在することを示し、
その点を通過する各々の時刻での速度ベクトルを求め、図示せよ。
【答案】
(1)
x = 2 cos t + cos 2 t , y = sin 2 t より
dx
dy
= 2 sin t 2 sin 2 t 、
= 2 cos 2 t
dt
dt
Ｐの速さを v とすると
2
dx
v =
dt
[2]
cos + cos = 1
cos ≦ 0
∴
= 4 ( 2 + 4 cos t cos 2 t 4 cos3 t )
4 z3
3
2
2
≦ 2 < 2 ≦3
2 +2
2
とおくと
+
[ア]
であり
f ( z) = 2 ( 6 z 2
z+2)
=
2
3
1
f (z )
1
よって
2
27
13
4
最大値
1
＋

−
13
4

(
1

2
27
最小値
t=
,
≦2
①
...
[1]
cos
+ cos 2
...
②
③
1 = 2 cos
=
5
2
同様にして
,
=2
を通る
のとき
(
)=
,
,
3
2
となり
( 1, 0 )
（0 <
( 1, 0 )
t=
2
,
,
t=
t=
<
）
のとき
( 2,
のとき
(0 , 2 )
2
を通る
のみであり、
3
2
である
3
2
のとき
(2 ,
2)
2)
y
これらを図示すると次の通り
t =π 2
③に代入して
sin 2 = sin ( 4
∴ sin 2 = 0
0<
( 1, 0 )
1
t=
∴
2
これらの時刻での速度ベクトルは
+ 2 cos 2
のとき
=
)=
,
この点を通過する時刻は
①より
+
2
sin ) 2 = 1
sin = 0
Ｐが２回以上通過する点は
cos ) ( cos + cos + 1) = 0
= cos
sin = 1
[1]、[2]より
②より
( cos
5
2
=
のとき
どちらの時刻においても、Ｐは
2 cos + cos 2 = 2 cos
2 cos + 2 cos 2
+
[イ]
において同じ地点を通過するとすると
...
sin 2 = sin 2
3
2
2 +2
2
または
このどちらの時刻においても、Ｐは
次の３式が同時に成り立つ
0≦ <
⑤
これと⑤より
(2)
Ｐが相異なる時刻
3
2
( cos
∴ cos
1
2
−
f (z )
=
cos
の増減は次の通り
z
...
④より
= 2 ( 2 z 1 )(3 z + 2 )
f (z )
≦
この範囲で③が成り立つのは
とし
1≦ z ≦1
のとき
≦0
、 cos
≦ <
= 4 { (1 cos 2 t ) (1 + 4 cos t ) + 1 }
z2
④
を通る
これと①より
= 4 { sin 2 t + 2 sin t sin 2 t + 1 }
f ( z) = 2 + 4 z
...
( 1, 0 )
cos ≧ 1 、 cos ≧ 1 より
= 4{ ( sin t + sin 2 t ) 2 + cos 2 2 t }
cos t = z
3
2
このどちらの時刻においても、Ｐは
2
dy
+
dt
2
=
したがって
<
だから
2 =
∴
2 )
-2
t=π
2
=
2
0
-2
2
x
π
t=3
2
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９３年
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（すべて類題）
１
頂点Ａ、Ｂ、Ｃはそれぞれ
すべての面が合同な四面体ＡＢＣＤがある。
辺の長さは
1 、ＢＣ＝ 2 l 、ＣＡ＝ 2 l + 1
ＡＢ＝ 2 l
（
l>2
四面体ＡＢＣＤの体積を V ( l) とするとき、次の極限値を求めよ。
）
x, y, z
軸上の正の部分にあり、
である。
lim
l
2
V ( l)
l 2
２
整数からなる数列
{a n } を漸化式
a1 = 1 , a 2 = 3
a n+2 = 3 a n+1 7 a n
によって定める。
( n = 1 , 2 , ... )
(1)
an
が偶数となることと、
(2)
an
が１０の倍数となるための条件を (1) と同様の形式で求めよ。
n が３の倍数となることは同値であることを示せ。
３
xy
平面内に次の２つの集合
l ={( 5, y )
l , m を考える。
5< y <5}
m ={( 5 , y )
5< y <5}
l , m 上にない２点Ａ、Ｂに対し、Ａ、Ｂを l , m と交わらない線分または折れ線で結ぶときの経路の長さの最小値を
d ( A , B ) で表す。
２点Ｐ
( 9,
3 ) 、Ｑ ( 9 , 3 )
に対し、 d ( P ,
R)
＝ d (Ｑ,
R ) となる点Ｒの軌跡を x y
平面上に図示せよ。
４
n を２以上の自然数とし、 f ( x ) = x n + p x + q （ p , q は実数）の形の n 次関数について
1 1
2
{
f
(
x
)}
dx を考える。
積分 I =
2 1
I を最小にするような ( p , q ) がただ１組存在することを示し、そのような ( p , q ) と I の最小値を求めよ。
５
１と０を５個並べた列１０１１０を、ある人が繰り返し書き写すとする。
ただし、この列を
S1
の写しを
S2
S
で表し、これの第１回目の写しを
とするとき、第３回目には
この人が０を１に写しまちがえる確率は
S2
S1
で表すとき、第２回目に書き写すときは
n 回目の写しを S n
が
S
p ( 0 < p < 1)
に一致する確率を
を書き写す。
を書き写す。以下、同様に続ける。
であり、１を０に写しまちがえる確率は
q ( 0 < q < 1)
それ以外の写しまちがいはないとする。
第
S1
C ( n)
とするとき、極限値
lim
C ( n)
n
を求めよ。
であるが、

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