23
1 6 4 × ( − 2 ) ＋ 4 7 × 7 ＝ 1 ……④ となる
① と ④ を 併 記 すると，
1 6 4x ＋ 4 7 y ＝ 1 ……………①
1 6 4・( − 2 ) ＋ 4 7・7 ＝ 1 ……④ となる 。
① − ④より，
講義
図形の性質
164(x ＋ 2) ＋ 47(y − 7) ＝ 0
よ っ て ， 1 6 4・( x ＋ 2 ) ＝ 4 7 ( − y ＋ 7 ) …… ⑤ と な る 。
1 6 4 の倍数
こ こ で ，x ＋ 2 と − y ＋ 7 は共に整数であり ，か つ 1 6 4 と 4 7 は 互 い に 素 よ り ，
x ＋ 2 は 4 7 の倍数になる。よって，整数 n を 用 い て ，
x ＋ 2 ＝ 4 7n …⑥ ∴ x ＝ 4 7 n − 2 …⑥ ´ ( n ： 整 数 )
講義
と な る 。 ⑥ を⑤に代入して，
1 6 4・4 7n ＝
− 47(y − 7)
164n ＝
−y＋7
∴ y ＝ − 1 6 4 n ＋ 7 …⑦ となる。
以 上 ⑥ ´ ， ⑦ より，①の不定方程式の整数 解 は ，
( x ，y ) ＝ ( 4 7n − 2 ，− 1 6 4 n ＋ 7 ) ( n ：整数 ) と な る ん だ ね 。 納 得 い っ た ?
具 体 的 に は ，……， ( − 4 9 , 1 7 1 ) ,
n ＝ − 1 のとき
( − 2, 7), (45,
n ＝ 0 のとき
− 157),
(92,
n ＝ 1 のとき
− 321),
…… の こ と
n ＝ 2 のとき
では次，ax ＋ by ＝ n 型の応用問題で，a と b は互いに素な整数だけれど，
n が 1 以 外 の 整 数 で あ る 場 合 に つ い て も 解 説 し て お こ う 。ン ? 難 し そ う だ っ
て ? 確かに，2 元 1 次不定方程式の最終段階に入るわけだからね。でも，
こ れ で， こ の タ イ プ の 問 題 は す べ て 解 け る よ う に な る わ け だ か ら， 元 気
を出して，頑張ろう !
整数の性質
こ れ は ， ① の x に − 2 を， y に 7 を代入した形 の 式 だ 。
こ れ か ら ，①の 1 組の解 ( x ，y ) が，( x ，y ) ＝ ( − 2 ，7 ) で あ る こ と が 分 か っ た ん だ ね 。
4 7 の倍数
1
2
3
場合の数と確率
この左辺を
164 × ○ ＋ 47 × △の形にする。
47 − 2(164 − 3 × 47) ＝ 1
どうせ，分かりやすく解説するから，心配は不要
だよ。
121
( 1 でない ) の次の 2 元 1 次不 定 方 程 式 ：
1 3x − 2 5y ＝ 4 ……① ( x , y は共に整数 ) の 整 数 解 を 求 め て み よ う 。
こ の ① を みたす整数 ( x , y ) の組は， ( x , y ) ＝ ( 8 , 4 ) よ り
右辺 ＝ 4
1 3 ・ 8 − 2 5 ・ 4 ＝ 4 ……② となるね。
ン ? ① の 1 組 の 解 が ( x , y ) ＝ ( 8 , 4 ) と な る っ て 言 わ れ た っ て， そ ん な の す
ぐ に は 思 いつかないって !?
そ う だ ね 。 種明かしをしておこう。
右 辺 が 4 である①の解は求めづらくて も ， 右 辺 が 1 の 次 の
1 3x − 2 5y ＝ 1 ……①´
の 1 組 の 解 ならば，すぐに分かるだろ う ? ……， そ う だ ね 。
( x , y ) ＝ ( 2 , 1 ) であれば
1 3 ・ 2 − 2 5 ・ 1 ＝ 1 ……② ´ となって， ①´ を み た す か ら ね 。
で あ れ ば ，② ´ の両辺を 4 倍して，
1 3 ・ 8 − 2 5 ・ 4 ＝ 4 ……② とすれば， こ れ か ら
4・( 1 3・2 − 2 5・1 ) ＝ 4
( x , y ) ＝ ( 8 , 4 ) が，①の方程式をみた す 1 組 の 整 数 解 で あ る こ と が 分 か る
んだね。
後 は ， ① − ②を実行すれば
1 3 ( x − 8 ) − 2 5 ( y − 4 ) ＝ 0 より
1 3 ( x − 8 ) ＝ 2 5 ( y − 4 ) ……③
25n
1 3 n ( n：整数 )
x と y は 共 に整数で， 1 3 と 2 5 は互いに 素 よ り ， 整 数 n を 用 い て ，
x − 8 ＝ 2 5 n ……④ より， x ＝ 2 5 n ＋ 8 ……④ ´ と な る 。
④ を ③ に 代入して，
1 3 ・ 2 5n ＝ 2 5 ( y − 4 ) より， y ＝ 1 3 n ＋ 4 ……⑤ と な る 。
以 上 ④ ´ ，⑤より，①の整数解の組は，
( x , y ) ＝ ( 2 5 n ＋ 8 , 1 3 n ＋ 4 ) ( n ：整数 ) と な る ん だ ね 。
具 体 的 に は，……， ( − 1 7 , − 9 ) , ( 8 , 4 ) , ( 3 3 , 1 7 ) , ( 5 8 , 3 0 ) , ……
n ＝ − 1 のとき
122
n ＝ 0 のとき
n ＝ 1 のとき n ＝ 2 のとき
( x , y は共に整 数 ) の 整 数 解 を 求 め て み よ う 。
……， も う 気 付 い た ? そ う だ ね， こ の ① は ， 練 習 問 題 3 4 ( P1 2 0 ) の 2 元
1 6 4x ＋ 4 7y ＝
−3
……①
1 次 不 定 方 程 式： 1 6 4 x ＋ 4 7 y ＝ 1 ……① ´ の 右 辺 が − 3 に な っ て い る だ け
よ っ て ， ユ ークリッドの互除法を用いると ，
1 6 4 ・ ( − 2 ) ＋ 4 7 ・ 7 ＝ 1 ……② ´
となるので，② ´ の両辺に − 3 をかけて
3
164・6 ＋ 47・( − 21) ＝
−3
3
3
3
3
3
……②
① の 1 組 の 整 数解となるんだね。
23 ＝ 1 × 23
最大公約数 g
(a), (b) より
4 7 − 2・ 2 3 ＝ 1
47
− 2・ ( 1 6 4 −
講義
3・ 4 7 ) ＝ 1
1 6 4 ・ ( − 2) ＋ 4 7 ・ 7 ＝ 1
よ っ て ， ① − ②を実行すると，
164・(x − 6) ＋ 47(y ＋ 21) ＝ 0
1 6 4 ( x − 6 ) ＝ 4 7 ( − y − 2 1 ) ……③
47n
1 6 4 n ( n 定数 )
講義
x と y は 共 に整数で， 1 6 4 と 4 7 は互いに 素 よ り ， 整 数 n を 用 い て ，
x − 6 ＝ 4 7n ……④ より， x ＝ 4 7 n ＋ 6 ……④ ´
④ を ③ に 代 入して，
1 6 4 ・ 4 7n ＝ 4 7 ・ ( − y − 2 1 ) ， 1 6 4 n ＝
∴ y＝
− 164n − 21
− y − 21
……⑤ となる。
以 上 ④ ´ ， ⑤ より，①の整数解の組は，
( x , y ) ＝ ( 4 7n ＋ 6 ,
− 164n − 21)
( n：整数 ) と な る ん だ ね 。
図形の性質
と な る 。 つ まり， ( x , y ) ＝ ( 6 , − 2 1 ) が，
{
コークリッドの互除法
1 6 4 ＝ 4 7 × 3 ＋ 2 3 ……( a )
4 7 ＝ 2 3 × 2 ＋ 1 ………( b )
整数の性質
なんだね。
1
2
3
場合の数と確率
そ れ で は 次 の 2 元 1 次不定方程式：
≠
こ の よ う に ， a と b が 大 き な 互 い に 素 な 整 数 で， 右 辺 の n が n ＝ 1 の と
き の 2 元 1 次 不 定 方 程 式： a x ＋ b y ＝ n の 場 合 で も， ま ず a x ＋ b y ＝ 1 を み
た す ， 1 組 の 整 数 解 ( x 1, y 1) を ユ ー ク リ ッ ド の 互 除 法 で 求 め ， こ れ ら に n
を か け た ( nx 1 , n y 1 ) が， a x ＋ b y ＝ n の 1 組 の 整 数 解 に な る こ と を 知 っ て
お け ば い い んだね。
123
ax ＋ by ＝ n 型の応用問題
練習問題 35
1
CHECK
2
CHECK
3
CHECK
x ， y が 共に整数のとき，次の 2 元 1 次 不 定 方 程 式 を 解 け 。
1 3 6x − 3 7 y ＝ 3 ……①
ま ず ， 136 x − 37y ＝ 1
……① ´ の 1 組 の 整 数 解 ( x 1 ，y 1 ) を ， ユ ー ク リ ッ ド の
互除法により求めて，①に代入して
136・x1 − 37・y1 ＝ 1 とし，この両辺
に 3 を か け て ， 136 ・ 3x 1 − 37 ・ 3y 1 ＝ 3
と な る の で ， ( 3 x 1 ，3 y 1 ) が ① の 1 組
の整数解になるんだね。頑張って，①の一般解を求めよう !
ま ず ， 方 程 式： 1 3 6 x − 3 7 y ＝ 1 ……① ´ ( x ，y は 共 に 整 数
a
b
) について，
①の右辺 ＝ 1 としたもの
考 え る 。 互いに素であることを確かめる
a ＝ 1 3 6 ， b ＝ 3 7 とおいて，ユークリ ッ ド の 互 除 を 用 い て ， a と b の 最 大
公 約 数 g を求めると，
1 3 6 ＝ 3 7 × 3 ＋ 2 5 ……②
3 7 ＝ 2 5 × 1 ＋ 1 2 ……③
25 ＝ 12 × 2 ＋ 1 12 ＝ 1 × 12
……④
となる。
こ れが g なので，a と b は互いに素
よ っ て ， g ＝ 1 となるので， a ＝ 1 3 6 と b ＝ 3 7 は 互 い に 素 で あ る 。
{
② ，③ ，④より
1 3 6 − 3 ・ 3 7 ＝ 2 5 ……② ´
3 7 − 2 5 ＝ 1 2 …………③ ´
2 5 − 2 ・ 1 2 ＝ 1 ………④ ´ より
③ ´ を ④ ´に 代入して， 2 5 − 2 ・ ( 3 7 − 2 5 ) ＝ 1
2 5 − 2 ・ 3 7 ＋ 2 ・ 2 5 ＝ 1 より， 3 ・ 2 5 − 2 ・ 3 7 ＝ 1 …………⑤
② ´ を ⑤ に代入して，
3・(136 − 3・37) − 2・37 ＝ 1
124
⑥ の 両 辺 に 3 をかけて，
1 3 6 ・ 9 − 3 7 ・ 3 3 ＝ 3 ……⑦
と な る 。 ⑦ か ら，①の 1 組の整数解
これから，①´ の 1 組の整数解が
( x , y ) ＝ ( 3 , 11 ) と 分 か る 。
よって，⑥の両辺を 3 倍して，
①の 1 組の整数解を求めよう。
{
整数の性質
が ， ( x ，y ) ＝ ( 9 ，3 3 ) と分かる。①と⑦を 並 べ て 書 く と ，
1 3 6 ・ x − 3 7 ・ y ＝ 3 ……①
1 3 6 ・ 9 − 3 7 ・ 3 3 ＝ 3 ……⑦ となる。 よ っ て ，
① − ⑦より， 136(x − 9) − 37(y − 33) ＝ 0
1 3 6 ( x − 9 ) ＝ 3 7 ・ ( y − 3 3 ) ……⑧ とな る 。
1 3 6 n ( n：整数 )
講義
ここで，x と y は共に整数で，136 と 37 は互いに素より，整数 n を用いると
x − 9 ＝ 3 7 n ……⑨ より， x ＝ 3 7 n ＋ 9 ……⑨ ´ と な る 。
⑨ を ⑧ に 代 入して，
136・37n ＝ 37・(y − 33)
y − 3 3 ＝ 1 3 6n
∴ y ＝ 1 3 6n ＋ 3 3 ……⑩ となる。
図形の性質
37n
1
2
3
場合の数と確率
よ っ て ， 1 3 6 ・ 3 − 3 7 ・ 11 ＝ 1 ……⑥
講義
以 上 ⑨ ´ ，⑩ よ り，①の整数解の組は，
( x ，y ) ＝ ( 3 7 n ＋ 9 ，1 3 6 n ＋ 3 3 ) ( n ：整数 ) と な る 。
ン ? これで，2 元 1 次不定方程式についても自信がもてるようになったっ
て ? い い ね 。 その調子だ !
以 上 で， 今 日 の 講 義 は 終 了
で す。 か な り 盛 り だ く 山 な
内 容 だ っ た か ら， 消 化 不 良
を 起 こ さ な い よ う に， シ ッ
カ リ 復 習 し ておこう !
次 回 で， 整 数 の 性 質 も 最
後 だ け れ ど， ま た 分 か り や
す く 教 え る つもりだ。
で は， ま た 会 お う。 み ん
な 元 気 で な …。
125
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