( ex ) 整 数 a ，b が ， a 2 − b 2 ＝ 3 ……③をみたすとき ， 整 数 解 の 組 ( a ，b ) を
す べ て 求 め て みよう。
③ の 左 辺 を 変 形すると
こ こ で ， a ，b は 整 数 よ り， a ＋ b
と a − b は 共 に 整 数 で， こ れ ら の
積 が 3 と な る 組 合 せ は， 右 の 表 の
(ⅰ) a ＋ b ＝ 1
a − b ＝ 3 の とき
( a ，b ) ＝ ( 2 ，− 1 ) である。
(ⅱ) a ＋ b ＝ 3
a − b ＝ 1 の とき
( a ，b ) ＝ ( 2 ，1 ) である。
(ⅲ) a ＋ b ＝ − 1
a − b ＝ − 3 のとき
( a ，b ) ＝ ( − 2 ，1 ) である。
(ⅳ) a ＋ b ＝ − 3
a − b ＝ − 1 のとき
( a ，b ) ＝ ( − 2 ，− 1 ) である。
a＋b
a−b
1
3
3
1
{
a ＋ b ＝ 1 …… ア
a − b ＝ 3 …… イ
{
a ＋ b ＝ 3 …… ア
a − b ＝ 1 …… イ
{
a ＋ b ＝ − 1 …… ア
a − b ＝ − 3 …… イ
{
a ＋ b ＝ − 3 …… ア
a − b ＝ − 1 …… イ
−1
−3
−3
−1
ア ＋ イ より 2a ＝ 4 ∴ a ＝ 2
ア − イ より 2b ＝ − 2 ∴ b ＝ − 1
ア ＋ イ より 2a ＝ 4 ∴ a ＝ 2
ア − イ より 2b ＝ 2 ∴ b ＝ 1
ア ＋ イ より 2a ＝ − 4 ∴ a ＝ − 2
ア − イ より 2b ＝ 2 ∴ b ＝ 1
ア ＋ イ より 2a ＝ − 4 ∴ a ＝ − 2
ア − イ より 2b ＝ − 2 ∴ b ＝ − 1
以 上 ( ⅰ ) 〜 ( ⅳ ) より，③をみたす整数解の 組 ( a ，b ) は ，全 部 で
( a ，b ) ＝ ( 2 ，− 1 ) ，( 2 ，1 ) ，( − 2 ，1 ) ，( − 2 ，− 1 ) の 4 通 り の み で あ
る こ と が 分 か ったんだね。
こ れ で， A・B ＝ n 型 の 整 数 問 題 の 解 法 に も 自 信 が も て る よ う に な っ
た と 思 う 。 こ の 解 法 パ タ ー ン を 基 本 事 項 と し て， 最 後 に 示 し て お こ
う。
173
講義
図形の性質
{
{
{
{
4 通 り だ け な んだね。
表
講義
整数の性質
( a ＋ b )( a − b ) ＝ 3 ……④となる。
も う， A・B ＝ n 型 が 完 成 し
たんだね。
6
7
8
場合の数と確率
では も う 1 題 ， A・B ＝ n 型の整数問題を解いて み よ う 。
講義
A・B ＝ n 型の整数の方程式
A・B ＝ n … … ( ＊ ) ( A ， B ：整数の式， n ： 整 数 )
の 解 は ，n の 約 数 を A ，B に
表1
割 り 当 て る 右 の表を用いて
求 め る こ と ができる。
A
B
1
n
n
1
…
…
−1
−n
−1
−n
● 範囲を押さえるタイプの整数問題にもチャレンジしよう !
A・B ＝ n 型 の 整 数 問 題 と 並 ん で， 未 知 の 整 数 の 範 囲 を 押 さ え て 解 く パ
4
4
4
4
4
4
4
4
4
タ ー ン の 整 数 問 題 も， 試 験 で は よ く 出 題 さ れ る ん だ ね。 こ れ に つ い て は，
例題で実際に問題を解いて慣れることが一番なので，早速，次の例題で練
習し て み よ う 。
◆例題 11 ◆
正 の 整 数 x ， y ， z が， x ＋ 3 y ＋ 5 z ＝ 3 x y z ……① ( x ≦ y ≦ z ) を み た す 。
こ の と き ， 正 の整数解の組 ( x ，y ，z ) をすべ て 求 め よ 。
自然 数 が x ，y ，z ( x ≦ y ≦ z ) で，x ＋ 3 y ＋ 5 z ＝ 3 xy z ……①を み た す ( x ，y ，z )
の 組 を 求 め る た め に， ま ず 未 知 数 の 取 り 得 る 値 の 範 囲 を 押 さ え る こ と が 大
切な ん だ ね 。 こ こ で， x ≦ y ≦ z より，①から，
3xy z ＝ x ＋ 3 y ＋ 5 z ≦ z ＋ 3 z ＋ 5 z ＝ 9 z
x ≦ z ， y ≦ z だからね
よっ て ， 3 x y z ≦ 9 z より，両辺を 3 z ( ＞ 0 ) で割っ て
xy ≦ 3 ……②と 範囲がしぼれたんだね。
②をみたす自然数 ( x ，y ) の組は， x ≦ y より
( x ，y ) ＝ ( 1 ，1 ) ， ( 1 ，2 ) ， ( 1 ，3 ) の 3 通りだけだ ね 。
う ま く 範 囲 が し ぼ れない失敗例も示しておくね。
y ≧ x ，z ≧ x だ か ら ね
3xy z ＝ x ＋ 3 y ＋ 5 z ≧ x ＋ 3 x ＋ 5 x ＝ 9 x
よ っ て， 3 x y z ≧ 9 x よ り， 両 辺 を 3 x ( ＞ 0 ) で 割 っ て， yz ≧ 3 と な る け れ ど ， こ れ を み
た す ( y ， z ) の 組 は 無 数 に あ る の で， う れ し く も 何 と も な い 結 果 な ん だ ね 。 今 の 内 に ，
こ う い う 失 敗 も や っておくといいと思う。
174
1 ＋ 3･1 ＋ 5z ＝ 3･1･1･z 4 ＋ 5z ＝ 3z 2z ＝ − 4
∴ z ＝ − 2 と な って， z が正の整数の条件に 反 す る 。
よって，不適。
講義
整数の性質
( ⅱ )( x ，y ) ＝ ( 1 ，2 ) の とき，①より
1 ＋ 3･2 ＋ 5z ＝ 3･1･2･z 7 ＋ 5z ＝ 6z z ＝ 7
こ れ は ， x ≦ y ≦ z をみたす。 ∴ ( x ，y ，z ) ＝ ( 1 ，2 ，7 )
( ⅲ ) ( x ，y ) ＝ ( 1 ，3 ) のとき，①より
1 ＋ 3･3 ＋ 5z ＝ 3･1･3･z 10 ＋ 5z ＝ 9z 4z ＝ 10
z＝ 5
z
講義
2 と な って， が正の整数の条件に反 す る 。
よって，不適。
以上 ( ⅰ )( ⅱ )( ⅲ ) よ り， x ≦ y ≦ z と①をみたす自 然 数 の 組 ( x ，y ，z ) は ，
( x ，y ，z ) ＝ ( 1 ，2 ，7 ) の 1 組のみであることが，分 か っ た ん だ ね 。 ……( 答 )
どう
? 面白かった ?
では も う 1 題 ，範 囲を押さえる型の整数問題に チ ャ レ ン ジ し て み よ う 。
( ex ) 正 の 整 数 a ，b ，c が a ＋ 2 b ＋ 3 c ＝ 2 a b c …③を み た す 。
こ の と き ，正 の 整数解の組 ( a ，b ，c ) をすべ て 求 め て み よ う 。
自 然 数 a ，b ，c で ，a ＋ 2 b ＋ 3 c ＝ 2 a b c … ③ を み た す ( a ，b ，c ) の 組
を 求 め る た め に ，未 知 数 の 取 り 得 る 範 囲 を 押 さ え よ う 。 そ の た め に
は ，ま ず ，a ≦ b ≦ c …④が成り立つものとし て 解 い て い こ う 。
こ れ は， 範 囲 を 押 さ え る た め の 仮 定 で ， も し 仮 に ， こ の 結 果 ( a ， b ， c ) ＝ ( 1 ， 2 ， 3 )
が 求 まっ た と す る と ， ④は問題文に与えられてはいないの で ， こ の 並 び 替 え ， つ ま り
( a ，b ，c ) ＝ ( 1 ，2 ，3 ) ，( 1 ，3 ，2 ) ，( 2 ，1 ，3 ) ，( 2 ，3 ，1 ) ，( 3 ，1 ，2 ) ，( 3 ，2 ，1 )
?
が す べて ， ③ の 解 に な るんだね。納得いった
③ ，④より ，
仮定より，
2abc ＝ a ＋ 2b ＋ 3c ≦ c ＋ 2c ＋ 3c ＝ 6c
a ≦ c ，b ≦ c だ か ら ね
よって ，2 a b c ≦ 6 c より ，この両辺を 2 c ( ＞ 0 ) で割って
a b ≦ 3 …⑤と ，範囲が無事にしぼれたんだね。
175
図形の性質
∴
6
7
8
場合の数と確率
( ⅰ ) ( x ，y ) ＝ ( 1 ，1 ) のとき，①より
講義
⑤より ，自 然 数 の 組 ( a ，b ) は a ≦ b よ り ，
( a ，b ) ＝ ( 1 ，1 ) ，( 1 ，2 ) ，( 1 ，3 ) の 3 通りのみを
調べ れ ば い い こ とが分かったんだね。
a ＋ 2b ＋ 3c ＝ 2a b c ……… ③
a ≦ b ≦ c ( 仮 定 ) ………… ④
a b ≦ 3 ……………………… ⑤
( ⅰ ) ( a ，b ) ＝ ( 1 ，1 ) のとき，③より，
1 ＋ 2･1 ＋ 3c ＝ 2･1･1･c
3 ＋ 3c ＝ 2c
∴ c ＝ − 3 となって， c が正の整数の条件 に 反 す る 。
よ っ て ， 不 適。
( ⅱ )( a ，b ) ＝ ( 1 ，2 ) のとき，③より
1 ＋ 2･2 ＋ 3c ＝ 2･1･2･c
5 ＋ 3c ＝ 4c
∴ c ＝ 5 と なって，これは a ≦ b ≦ c の条 件 を み た す 。
∴ ( a ，b ，c ) ＝ ( 1 ，2 ，5 )
( ⅲ ) ( a ，b ) ＝ ( 1 ，3 ) のとき，③より
1 ＋ 2･3 ＋ 3c ＝ 2･1･3･c
7 ＋ 3c ＝ 6c 3c ＝ 7
7
∴ c ＝ と な って， c が正の整数の条件に 反 す る 。
3
よ っ て ， 不 適。
以 上 ( ⅰ )( ⅱ )( ⅲ ) よ り， a ≦ b ≦ c と a ＋ 2 b ＋ 3 c ＝ 2 a b c … ③ を み た す 自 然
数の 組 ( a ，b ，c ) は ，( a ，b ，c ) ＝ ( 1 ，2 ，5 ) の 1 組 の み で あ る 。
し か し，a ≦ b ≦ c の 条 件 は 元 々 の 問 題 文 に は な い の で ，③ を み た す 自 然 数
の 組 ( a ，b ，c ) は ，こ れ を 並 べ 替 え て 得 ら れ る す べ て の も の に な る ん だ ね 。
よっ て ，求 め る 解 は，
( a ，b ，c ) ＝ ( 1 ，2 ，5 ) ，( 1 ，5 ，2 ) ，( 2 ，1 ，5 ) ，( 2 ，5 ，1 )
( 5 ，1 ，2 ) ，( 5 ，2 ，1 ) の 6 通 り で あ る こ と が ，分 か っ た ん だ ね 。
大 丈 夫 だった
176
?
c の条件がなくても，自分で a ≦ b ≦ c の条件を設定して，解いていけばい
い ん だ ね。 も ち ろ ん ， こ れ は 整 数 問 題 を 解 く た め に 便 宜 的 に 仮 定 し た も の
に 過 ぎ な い の で ， 1 組 の 解 が 得 ら れ た ら， そ の 並 べ 替 え ま で シ ッ カ リ や っ
自信が 付 い た で し ょ う
?
● 最大公約数 g と最小公倍数 L も押さえよう !
2 つの正の整数
( 自 然 数 ) a ，b に つ い て， 最 大 公 約 数 g と 最 小 公 倍 数 L
を次の よ う に 定 義 す るので，まず頭に入れておこ う 。
講義
図形の性質
最大公約数 g と最小公倍数 L
2 つ の 正 の 整 数 a ， b について，
( ⅰ ) a と b の 共 通の約数 ( 公約数 ) の中で最大 の も の を 最 大 公 約 数
g という。
“ 最 大 公 約 数 ”( g r e a t e s t c o m m o n m e a s u r e ) の頭文 字 の g を と っ た !
( ⅱ ) a と b の 共 通の倍数 ( 公倍数 ) の中で最小 の も の を 最 小 公 倍 数
L という。
( l e a s t c o m m o n m u l t i p l e ) の頭文字 の 大 文 字 L を と っ た !
“最小公倍数”
こ こ で， 正 の 整 数 a，b の 最 大 公 約 数 g が g ＝ 1 の と き，a と b は
たが
そ
“ 互 い に 素 ” と い う こ と も 覚 え て お こ う。 た と え ば ， 1 0 と 2 1 の 最 大 公 約
数 g ＝ 1 よ り ， こ れ ら は互いに素と言えるんだね 。
( ex 1 ) a ＝ 3 6 0 ， b ＝ 7 5 6 のとき，
a ， b に 対 し て右のような
割 り 算 を 行 う こ とにより，
最大公約数 g ＝ 2 × 3
2
2
＝ 36
g
2
2
3
3
L
)
)
)
)
360
756
90
189
180
30
10
378
63
21
互いに素
最小公倍数 L ＝ 2 × 3 × 10 × 21 ＝ 7560 が導けるんだね。
2
講義
整数の性質
て 答 え と す る こ と を 忘 れ な い で く れ ! こ れ で， 整 数 問 題 の 解 法 に も か な り
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場合の数と確率
こ の よ う に ， 範 囲 を 押 さ え る タ イ プ の 整 数 問 題 で は， 問 題 文 に a ≦ b ≦
講義
2
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