大国魂神社の算額（下段第５問）についての考察 永井信一 １．この算額について 所在地 年 代 奉納者 形 状 府中市宮町 大国魂神社 明治１８年（１８８５） 小俣勇門人３６名 １２１ｃｍ×２２２ｃｍ 宝物殿 ３６問（３段×１２問） ＜問題（３６問のうち下段第５問）＞ 左の図のように，外円内に三角形，甲円，乙円，丙円を かく。甲円の直径が４９寸，乙円の直径が２８寸，丙円の 直径が１７寸のとき，外円の直径を求めよ。 丙 乙 ＜術文より＞ 甲 × 丙 × ８ ＝ 乾 ， 乾 × ２ － 乙 ２＝ 坤 甲＋丙 ×２＋乙 ×乾 ＝外 坤 甲 とする。 により，答は８５寸 ★同一の問題が村山市楯岡の最上徳内記念館の復元算額にある。 こ れ は 天 明 ４ 年 ( 1784 ) に 最 上 徳 内 が 芝 愛 宕 山 に 奉 納 し た も の を 平 成 ５ 年 に 『 続 神 壁 算 法 』 (藤 田 嘉 言 )よ り 復 元 し た も の で あ る 。 ２．問題を解くための準備 △ Ａ Ｂ Ｃ の 外 接 円 の 半 径 を R， 内 接 円 の 半 径 を r， 各 辺 の 中 点 か ら 外 接 円 ま で の 距 離 (こ れ を 矢 と い う ) を そ れ ぞ れ a' ， b' ， c' と す る 。 Ａ c' このときに成り立つ関係式をいくつか証明する。 b' Ｏ R Ｉ r＝４Rsin ② cosＡ＋cosＢ＋cosＣ＝１＋ ③ a' ＋ b' ＋ c' ＝ ２ R － r ④ ２ a'b'c' ＝ r ２ R r R －a' Ｃ Ｂ a' Ａ Ｂ Ｃ sin sin ２ ２ ２ ① r R 【①の証明】 sin Ａ ２ ＝ １－cosＡ ２ ＝ 同様にして， s－c s－a Ｂ sin ＝ ca ２ ま た ， S= s s－a s－b １－ b２＋c２－a２ ／２bc ２ ， sin C ２ s－c よって， s－a Ａ Ｂ Ｃ sin sin ４Rsin ＝４R × ２ ２ ２ ＝ s－a ＝ s－c bc た だ し ， s＝ s－b ab （ヘロンの公式） s－ b abc s－b s－c ＝ ， S＝ abc ４R ， S ＝ rs S2 １ S2 S ４R × ＝ × ＝ ＝r abc s S s s a＋b＋c ２ 【②の証明】 A＋B A－B Ａ ＋ Ｂ ＋ Ｃ ＝ 180 ° よ り ， Ａ Ｂ Ｃ ＋ ＋ ＝90° ２ ２ ２ C ＋１－２sin 2 ２ ２ A＋B C A－B C cos cos －２sin ＝１＋２sin ２ ２ ２ ２ cosA＋cosB ＋cosC＝２cos ２ cos よって， C A＋B sin ＝cos ２ ２ A－B A＋B cos ＝１＋２sin －cos ２ ２ ２ C ＝１＋４sin ＝１＋ A ２ ｒ R sin B ２ sin C ２ （①より） 【③の証明】 cosA＝ R －a' R －b' R －c' ，cosB＝ ，cosC＝ R R R を②に代入すると R －a' R －b' R －c' r ＋ ＋ ＝１＋ R R R R R － a' ＋ R － b' ＋ R － c' ＝ R ＋ r よって， a' ＋ b' ＋ c' ＝ ２ R － r 【④の証明】 a'＝R １－cosA ＝２Rsin2 A 同 様 に し て ， b'＝２Rsin2 ２ B ２ ，c'＝２Rsin2 C ２ よって， ２a'b'c'＝１６R 3sin2 ＝ ４Rsin ＝ r2R A ２ A ２ sin2 sin B ２ B ２ sin sin2 C ２ C ２ ２ ×R （①より） ３．問題の解法 算 額 の 図 と ２ の 図 を 比 較 す る と ， 甲 ＝ a' ＝ ４ ９ 寸 ， 乙 ＝ ２ r ＝ ２ ８ 寸 ， 丙 ＝ c' ＝ １ ７ 寸 の と き ， 外 ＝ ２ Rを 求 め れ ば よ い こ と に な る 。 ③ よ り ， b' ＝ ２ R － r － a' － c' これを④に代入すると， ２ a' ( ２ R － r － a' － c' ) c' ＝ r ２ R R ( ４ a'c' － r ２ ) ＝ ２ a'c' ( a' ＋ c' ＋ r ) ４a'c' a'＋c'＋r ２R ＝ し た が っ て ， ２ R＝ ８ ５ 寸 ４a'c'－r２ 乙 ＝ ２ rな の で ， ２ rを つ く る た め に こ の 式 の 分 子 と 分 母 に ４ を か け る と ， 甲＋丙 ×２＋乙 ×乾 ＝外 術文にある と同じ形になる。 坤
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