数学Ⅰ（α）① 2次関数の最大値・最小値

数学Ⅰ（α）①
２次関数の最大値・最小値
（１）ｐ６９最大値・最小値（x の定義域がすべての実数のとき）
yx2x 2P4xP3
x2£xP1¤ 2P5
例題１
頂点，y 軸を通る点と軸についての対称点
y
y
9
9
8
7
8
6
7
5
6
4
3
5
2
4
1
例題１ P4P3P2P1O
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
1
2
3
4
5
6 x
3
例題２
2
1
P4P3P2P1O
P1
P2
P3
P4
1
2
3
4
5
6 x
x
・・
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
・・
x
・・
16
9
4
1
0
1
4
9
16
・・
2x 2
・・
32
18
8
2
0
2
8
18
32
・・
Px 2
・・
-16
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
-16
・・
1 2
x
2
・・
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
・・
2
（２）ｐ７０最大値・最小値（x の定義域に範囲があるとき）
例題２（１）
yxx 2P2xP2
x£xP1¤ 2P3
£P2TxT3¤
（２）定義域：2TxT4
頂点，y 軸を通る点と軸についての対称点，定義域の両端でのy の値
xxP2 のとき　yx£
両端での値（１）xx3 のとき　yx£
xx2
（２）xx4
のとき　yx£
のとき　yx£
¤
¤
¤
¤
1
のとき
数学Ⅰ（α）② ２次関数のグラフと２次方程式・２次不等式
（１）２次関数のグラフとx 軸（yx0 ）との共有点のx 座標（２次方程式の解）
ｐ７２例３
yxx 2P2xP3
ｐ７３例５
yxx 2P2xO1
ｐ７３例６
yxx 2P2xO3
の中がマイナスになると，x 軸との共有点がない。
解の公式の
y
例３
y
y
9
9
9
8
8
8
7
7
7
6
6
6
5
5
5
4
4
4
3
3
例５
2
2
1
1
P4P3P2P1O
P1
P2
P3
P4
P5
3
例６
2
1
2
3
4
5
6
1
P4P3P2P1O
P1
P2
P3
P4
P5
7 x
1
2
3
4
5
6
P4P3P2P1O
P1
P2
P3
P4
P5
7 x
1
2
3
4
5
6
7 x
（２）ｐ７５２次不等式の解
［Ⅰ］２次関数のグラフとx 軸との共有点を２次方程式を解き，調べる。
［Ⅱ］x 軸とグラフの関係を略図に示す。
［Ⅲ］２次関数のグラフがx 軸より上（yu0 ）にあるか，x 軸より下（yt0 ）にあ
るかを，略図より求める。
x 2P6xO5U0
ｐ７５例題４（１）
（２）
x 2OxP6t0
y
9
y
8
9
7
8
6
7
5
6
4
5
3
4
2
3
（１）
（２）
2
1
P5P4P3P2P1O
P1
P2
P3
P4
P5
1
2
3
4
5
6
7
8
1
P5P4P3P2P1O
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
9 x
2
1
2
3
4
5 x
Px 2OxO2u0
両辺にP1をかけて，符号を逆にする。
不等号も逆になることに注意。
x 2PxP2t0
ｐ７６例題６
y
6
5
4
3
2
1
例題６
P5P4P3P2P1O
P1
P2
P3
P4
P5
1
2
3
4
5 x
ｐ７７例８（１）
x 2P2xO1u0
（２）
x 2P2xO1t0
（グラフは例５）
ｐ７７例９（１）
x 2P2xO3u0
（２）
x 2P2xO3t0
（グラフは例６）
の中がマイナスになると，x 軸との共有点がない。
解の公式の
y
例５
y
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
例６
2
P4P3P2P1O
P1
P2
P3
P4
P5
2
1
1
1
2
3
4
5
6
7 x
3
P4P3P2P1O
P1
P2
P3
P4
P5
1
2
3
4
5
6
7 x
数学Ⅰ（α）③
集合と論証
（１）集合の要素の表す。«
データの分析
¬ の中に“，
”で区切って，書き並べる。
ｐ１１０例１１桁の正の偶数の集合Ａ，１５の正の約数の集合Ｂ
Ａ＝｛２，４，６，８｝
（２）ＡとＢの共通部分A?B ：Ａ，Ｂのどちらにも含まれる要素の集合
ＡとＢの和集合A>B ：Ａ，Ｂの要素をすべて集めた集合
Ax«1 , 3 , 5 , 7 , 9¬ , Bx«3 , 4 , 5 , 6¬
ｐ１１２例３
のとき，A?B , A>B
（３）命題の真・偽と条件
ｐ１１３例４，ｐ１１４例５，例６
（３）必要条件と十分条件
q
（十分）⇒（必要）
ｐならばｑ（ｐ ⇒
p
ｑ）が真のとき
ｐは（ｑであるための）十分条件
ｑは（ｐであるための）必要条件
ｐ１１５例７
xx2 ) x 2x4
例８
xx0 , x 2x0
学習書ｐ８９命題ｐ⇒ｑの真偽
「人間である⇒動物である」
（真）
（人間である）ことは，
（動物である）ための十分条件
（動物である）ことは，
（人間である）ための必要条件
「動物である⇒人間である」
（偽）反例：イヌ，ネコなど１つ示せばよい。
（４）命題の逆と対偶
p )q
の逆
p )q
の対偶
q )p
q )p
（ q でない ) p でない）
ｐ１１７問１１
（１）ｎが自然数のとき，ｎは４の倍数 ⇒ ｎは２の倍数の逆の（真・偽）？
（２）xx3 ) 4xP12x0
ｐ１１７例１０
の逆の（真・偽）？
xx2 ) x 2x4
の対偶
4
（５）ｐ１２４，ｐ１２５
ｐ１２６，ｐ１２７
度数分布表
階級，階級値，度数
ヒストグラム
代表値：平均値，中央値（メジアン）
，最頻値（モード）
ｐ１２８，ｐ１２９，ｐ１３０，ｐ１３１
散らばりぐあいを表す値
四分位数：最小値～第１四分位数～第２四分位数（中央値）～第３四分位数～最大値
第１四分位数：最小値から中央値のひとつ前までのデータの中央値
第２四分位数：中央値のひとつ後ろから最大値までのデータの中央値
箱ひげ図，四分位範囲，四分位偏差
分散：偏差（データの個々の値―平均値）の２乗の平均値
標準偏差：分散の正の平方根
標準偏差の意味
標準偏差はデータの分布の広がり幅 (ばらつき) をみる一つの尺度である。平均値と標準
偏差の値が分かれば、データがどの範囲にどのような割合で散らばっているか (分布) があ
る程度明らかになる。図２のような平均値 μ を中心に左右対称の釣り鐘型の分布 (正規分
布) では、平均値 (μ) と標準偏差 (σ) 及び度数の間に次の関係が成り立っている。
5
これは平均値±標準偏差の範囲に全データの 68.27％が、±標準偏差の２倍の範囲内に
全データの 95.45％が分布するという意味である。
偏差値
学力テストの場合、素点自体よりも受験者全体の分布の中での個人の位置が問題とされ
ることが多い。たとえば、数学と国語のテスト結果では、難易度が異なっているために素点で
は自分の位置を比較できないが、標準偏差を用いた共通のものさしで比較すればそれが可
能となる。
共通のものさしとしてよく用いられる偏差値 (Ｔ) は、(1)平均点には 50 を対応させ、(2)平均
から標準偏差のＺ倍だけ上回る (下回る) 点数には 50 にＺの 10 倍を加えた (引いた) 数値
を対応させて、規準化した数値のことで、次式で表される。
(偏差値の平均は 50、標準偏差
は 10 である。)
偏差値は、平均点からの偏差を示す得点なので、異なるテストの得点であっても同一集団
内での自分の位置を比較することが可能となる。また、全員の素点が正規分布に従うと考え
られるとき、偏差値もまた正規分布に従う。μ±２σ の範囲は (50±２×10 より) 30 から 70
であり、偏差値が 30 以下または 70 以上の人は、全体の 4.55％（＝100％－95.45％) である。
70 以上の人だけならば、半分の 2.275％となり、100 人中２位か３位までの順位と判断され
る。
6
（６）相関関係
ｐ１３２，ｐ１３３，ｐ１３４
散布図，正の相関，負の相関，相関なし，相関係数（P1TrT1 ）
４
５０人の生徒の３科目の成績データがあります。ここでは，電卓を使用してもよろしい。
（１）物理の得点についての度数分布表と，ヒストグラムを完成しなさい。
度数分布表（物理）
階級（得点）度数（人）
0～ 9
10～19
20～29
30～39
40～49
50～59
60～69
70～79
80～89
90～100
計
50
物理の得点ヒストグラム
89
10
0
～
90
79
～
80
69
～
70
59
～
60
49
50
～
39
～
40
29
～
30
20
～
10
～
19
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
9
度数
No. 物理偏差偏差の２乗
1
49 -0.5
0.25
2
51
1.5
2.25
50
0.5
0.25
3
48 -1.5
2.25
4
5
53
3.5
12.25
6
59
9.5
90.25
7
54
4.5
20.25
8
43 -6.5
42.25
9
41 -8.5
72.25
10
45 -4.5
20.25
11
32 -17.5
306.25
12
53
3.5
12.25
13
50
0.5
0.25
54
4.5
20.25
14
40 -9.5
90.25
15
16
59
9.5
90.25
17
57
7.5
56.25
18
39 -10.5
110.25
19
54
4.5
20.25
20
40 -9.5
90.25
21
53
3.5
12.25
22
48 -1.5
2.25
23
61 11.5
132.25
24
50
0.5
0.25
25
49 -0.5
0.25
26
51
1.5
2.25
27
61 11.5
132.25
28
57
7.5
56.25
29
57
7.5
56.25
30
53
3.5
12.25
31
41 -8.5
72.25
32
43 -6.5
42.25
33
54
4.5
20.25
34
44 -5.5
30.25
35
36 -13.5
182.25
36
37 -12.5
156.25
37
38 -11.5
132.25
38
39 -10.5
110.25
39
50
0.5
0.25
40
58
8.5
72.25
41
74 24.5
600.25
42
50
0.5
0.25
43
56
6.5
42.25
44
52
2.5
6.25
45
55
5.5
30.25
46
44 -5.5
30.25
47
38 -11.5
132.25
48
47 -2.5
6.25
49
50
0.5
0.25
58
8.5
72.25
50
合計 2475
0
3204.5
平均 ①
0
②
0～
No. 物理国語数学
1 49
45
47
2 51
47
40
54
47
3 50
47
48
4 48
5 53
51
54
6 59
43
55
7 54
45
45
8 43
38
48
9 41
40
50
10 45
40
46
11 32
40
31
12 53
60
57
13 50
55
50
62
55
14 54
44
50
15 40
16 59
49
59
17 57
56
58
18 39
42
43
19 54
59
50
20 40
53
33
21 53
43
50
22 48
48
39
23 61
53
58
24 50
43
47
25 49
42
44
26 51
38
47
27 61
46
60
28 57
48
57
29 57
63
55
30 53
58
60
31 41
54
39
32 43
41
44
33 54
59
59
34 44
58
49
35 36
58
41
36 37
59
42
37 38
60
43
38 39
61
44
39 50
56
50
40 58
50
48
41 74
64
65
42 50
53
51
43 56
57
60
44 52
50
53
45 55
51
51
46 44
55
45
47 38
57
42
48 47
46
44
49 50
47
50
53
61
50 58
合　計 2475 2541 2464
平　均 ① 50.82 49.28
分　散 ② 52.39 53.36
標準偏差 ③ 7.238 7.305
物理の得点
（２）左の表の，①，②，③の値を求めなさい。
①
7
②：
③：
物理・国語の散布図
80
60
60
国語の得点
数学の得点
物理・数学の散布図
80
40
20
40
20
0
0
20
40
物理の得点
60
0
80
0
（３）散らばりぐあいが最も大きい科目は
（４）物理と数学の成績データの間に
20
40
物理の得点
60
80
である。
の相関関係があり，物理と国語の成績データの間には
がない。
8

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