数学Ⅲ 第 章 極限 【演習】 1 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES77] 12 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES88] 次の極限を求めよ。ただし, , は定数とする。 次の無限級数の和を求めよ。 数列 ・ ・ ・ …… ・ を初項 ,公比 の等比数列とするとき を円周率とするとき ただし, …… …… を用いてもよい。 2 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES78] 次の各数列 …… …… について,極限 13 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES89] を調べよ。 とする。無限級数 , が収束するのは, の値の範囲が イ きである。また,そのときの級数の和を を用いて表すと, ア のと である。 3 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES79] 実数 に対して, を を満たす整数 14 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES90] とする。このとき, 座標平面上の点 を求めよ。 , , , ,…… を,次の条件 4 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES80] である定数 , がある。 不等式 を証明せよ。 , , , を反時計回りに ア このとき, を求めよ。 , は,長さが 面積 だけ回転した向きを向いている。 イ , である。 の正三角形 から始めて,図のように図形 の各辺の三等分点を頂点にもつ正三角形を ア イ とする。 は正の定数 とするとき,数列 が収束するよ ,…… を作る。ここで は, の外側につけ加えてできる図形で ある。 図形 の辺の数を求め 図形 の面積を るとき, 6 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES82] は とす を求めよ。 で定められたものとする。 この数列の極限値 を を求めよ。 とするとき,関数 16 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES92] のグラフをかけ。 △ の内心を , 7 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES83] は実数の定数で す数列 , よ。 の値の範囲を求めよ。 の半分,かつ 15 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES91] 次の極限値を求めよ。 数列 を満たすように , に対して,ベクトル とおくとき 5 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES81] うな , とる。 とする。 とし,その内接円と線分 とする。次に,△ との交点をそれぞれ , , ,…… を満た の内心を , , ア は, の値の範囲が , イ であるとき収束し, である。 を , の内心を , , , との交点をそれぞれ とし,その内接円と線分 とする。これを繰り返して △ , , を作り,そ , , ,…… とする。 で表せ。 のとき, を , で表せ。 を求めよ。 8 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES84] 数列 とその初項から第 項までの和 について , 17 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES93] , , ,…… 次方程式 が成り立つとする。 一般項 を求めよ。 の つの解を , とする。 のとき,定数 の 値を求めよ。 を求めよ。 18 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES94] 9 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES85] 数列 , 無限級数 は次の関係式を満たすとする。 , 一般項 , の和を求めよ。 , , ,…… を求めよ。 19 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES95] を求めよ。 無限級数 10 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES86] 曲線 : に対して,点 , ; おいて , , , ,…… に対して,点 ,……, ,…… を次のように定める。 を通る直線は と異なる点 に に接する。 このとき,点 の 座標 を で表せ。また, が都内へ移住し,都内に住む人の が都外へ移住す ,都内の人口を …… とする。このとき, の初項から第 項までの和を 11 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES87] ると仮定する。 年目の都外の人口を , , ,…… で定められる数列 とするとき, よ。ただし,都内と都外の人口の総和は年によらず一定であるとする。 に対して, を求めよ。 20 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES96] を求めよ。 数列 今後毎年,東京都の外に住む人の + …… の和を求めよ。 とする。 , , ,…… が成り立つとき,次の問いに答えよ。 を求めよ。 と の関係式を求めよ。 を求めよ。ただし, を求めよ。 を用いてよい。 を求め 21 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES97] を正の定数とし, とする。 を求めよ。ただし, のとき, 方程式 32 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES108] であることを用いてよい。 が異なる つの実数解をもつような実数 を自然数とする。級数 の るとき,級数の和を 値の範囲を求めよ。 がすべての実数 に対して収束す とする。 の条件を求めよ。 関数 は で連続でないことを示せ。 22 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES98] 33 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES109] を求めよ。 等式 が成り立つような定数 関数 等式 が成り立つとき,定数 また,このとき, の値を求めよ。 ア の値は の値は イ について,次の問いに答えよ。ただし, , , は 定数で, 関数 である。 が の連続関数となるための定数 , , の条件を求めよ。 定数 , , が る である。 とする。 の値を 定数 , , が 23 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES99] 次関数 が を満たすとき, 26 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES102] 極限 が有限の値となるように,定数 , の値を定め, そのときの極限値を求めよ。 27 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES103] , , ,…… を次のように定義する。 , , ,…… に対して, 無限級数 が成り立つことを示せ。 の和を求めよ。 28 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES104] を中心とし,長さ の面積を ,扇形 の線分 を直径とする円の周上を動く点 の面積を とする。 が がある。 に限りなく近づくとき, の極限 値を求めよ。 29 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES105] 原点を とする。曲線 が, 直線 点 上の動点 と 軸の正の部分にある動点 の関係を保ちながら動くとする。次の問いに答えよ。 の座標を , と とするとき, 軸との交点 が原点 の座標を を用いて表せ。 の座標を求めよ。 に限りなく近づくとき,点 の近づく点を求めよ。 30 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES106] 平面上の原点を中心として半径 の円 , を 内部にあるものを と 円 とする。 で の面積を と を考える。 とし, 上の点 に接し,更に, 軸と接する円でその中心が円 とし,その中心 をそれぞれ の座標を , の とする。 を用いて表せ。 とするとき, を求めよ。 31 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES107] 実数 に対して は を満たす整数 が と のとき,方程式 は連続とし, を実数の定数とする。すべての実数 中間値の定理を用いて証明せよ。 , が成り立つなら,曲線 次の極限値を求めよ。 点 , は 35 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES111] 25 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES101] すべての自然数 が連続で を超えない最大の整数を表すとする。 関数 数列 であるとき, の範囲に少なくとも つの実数解をもつことを示せ。 は整数 の最大値が 34 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES110] 関数 で求めた条件を満たし,関数 を求めよ。 24 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES100] は の最大値とそれを与え 定数 , , の値を求めよ。 , 次の極限値を求めよ。ただし, で求めた条件を満たすとき,関数 を用いて表せ。 を表すとき,関数 で連続となるように定数 , の値を定めよ。 は直線 に対して,不等式 と必ず交わることを
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