数学Ⅲ 第 章 極限 【演習】 １ [青チャート数学Ⅲ EXERCISES77] 12 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES88] 次の極限を求めよ。ただし， ， は定数とする。 次の無限級数の和を求めよ。 数列 ･ ･ ･ …… ･ を初項 ，公比 の等比数列とするとき を円周率とするとき ただし， …… …… を用いてもよい。 ２ [青チャート数学Ⅲ EXERCISES78] 次の各数列 …… …… について，極限 13 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES89] を調べよ。 とする。無限級数 ， が収束するのは， の値の範囲が イ きである。また，そのときの級数の和を を用いて表すと， ア のと である。 ３ [青チャート数学Ⅲ EXERCISES79] 実数 に対して， を を満たす整数 14 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES90] とする。このとき， 座標平面上の点 を求めよ。 ， ， ， ，…… を，次の条件 ４ [青チャート数学Ⅲ EXERCISES80] である定数 ， がある。 不等式 を証明せよ。 ， ， ， を反時計回りに ア このとき， を求めよ。 ， は，長さが 面積 だけ回転した向きを向いている。 イ ， である。 の正三角形 から始めて，図のように図形 の各辺の三等分点を頂点にもつ正三角形を ア イ とする。 は正の定数 とするとき，数列 が収束するよ ，…… を作る。ここで は， の外側につけ加えてできる図形で ある。 図形 の辺の数を求め 図形 の面積を るとき， ６ [青チャート数学Ⅲ EXERCISES82] は とす を求めよ。 で定められたものとする。 この数列の極限値 を を求めよ。 とするとき，関数 16 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES92] のグラフをかけ。 △ の内心を ， ７ [青チャート数学Ⅲ EXERCISES83] は実数の定数で す数列 ， よ。 の値の範囲を求めよ。 の半分，かつ 15 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES91] 次の極限値を求めよ。 数列 を満たすように ， に対して，ベクトル とおくとき ５ [青チャート数学Ⅲ EXERCISES81] うな ， とる。 とする。 とし，その内接円と線分 とする。次に，△ との交点をそれぞれ ， ， ，…… を満た の内心を ， ， ア は， の値の範囲が ， イ であるとき収束し， である。 を ， の内心を ， ， ， との交点をそれぞれ とし，その内接円と線分 とする。これを繰り返して △ ， ， を作り，そ ， ， ，…… とする。 で表せ。 のとき， を ， で表せ｡ を求めよ。 ８ [青チャート数学Ⅲ EXERCISES84] 数列 とその初項から第 項までの和 について ， 17 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES93] ， ， ，…… 次方程式 が成り立つとする。 一般項 を求めよ。 の つの解を ， とする。 のとき，定数 の 値を求めよ。 を求めよ。 18 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES94] ９ [青チャート数学Ⅲ EXERCISES85] 数列 ， 無限級数 は次の関係式を満たすとする。 ， 一般項 ， の和を求めよ。 ， ， ，…… を求めよ。 19 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES95] を求めよ。 無限級数 10 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES86] 曲線 ： に対して，点 ， ； おいて ， ， ， ，…… に対して，点 ，……， ，…… を次のように定める。 を通る直線は と異なる点 に に接する。 このとき，点 の 座標 を で表せ。また， が都内へ移住し，都内に住む人の が都外へ移住す ，都内の人口を …… とする。このとき， の初項から第 項までの和を 11 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES87] ると仮定する。 年目の都外の人口を ， ， ，…… で定められる数列 とするとき， よ。ただし，都内と都外の人口の総和は年によらず一定であるとする。 に対して， を求めよ。 20 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES96] を求めよ。 数列 今後毎年，東京都の外に住む人の ＋ …… の和を求めよ。 とする。 ， ， ，…… が成り立つとき，次の問いに答えよ。 を求めよ。 と の関係式を求めよ。 を求めよ。ただし， を求めよ。 を用いてよい。 を求め 21 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES97] を正の定数とし， とする。 を求めよ。ただし， のとき， 方程式 32 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES108] であることを用いてよい。 が異なる つの実数解をもつような実数 を自然数とする。級数 の るとき，級数の和を 値の範囲を求めよ。 がすべての実数 に対して収束す とする。 の条件を求めよ。 関数 は で連続でないことを示せ。 22 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES98] 33 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES109] を求めよ。 等式 が成り立つような定数 関数 等式 が成り立つとき，定数 また，このとき， の値を求めよ。 ア の値は の値は イ について，次の問いに答えよ。ただし， ， ， は 定数で， 関数 である。 が の連続関数となるための定数 ， ， の条件を求めよ。 定数 ， ， が る である。 とする。 の値を 定数 ， ， が 23 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES99] 次関数 が を満たすとき， 26 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES102] 極限 が有限の値となるように，定数 ， の値を定め， そのときの極限値を求めよ。 27 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES103] ， ， ，…… を次のように定義する。 ， ， ，…… に対して， 無限級数 が成り立つことを示せ。 の和を求めよ。 28 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES104] を中心とし，長さ の面積を ，扇形 の線分 を直径とする円の周上を動く点 の面積を とする。 が がある。 に限りなく近づくとき， の極限 値を求めよ。 29 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES105] 原点を とする。曲線 が， 直線 点 上の動点 と 軸の正の部分にある動点 の関係を保ちながら動くとする。次の問いに答えよ。 の座標を ， と とするとき， 軸との交点 が原点 の座標を を用いて表せ。 の座標を求めよ。 に限りなく近づくとき，点 の近づく点を求めよ。 30 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES106] 平面上の原点を中心として半径 の円 ， を 内部にあるものを と 円 とする。 で の面積を と を考える。 とし， 上の点 に接し，更に， 軸と接する円でその中心が円 とし，その中心 をそれぞれ の座標を ， の とする。 を用いて表せ。 とするとき， を求めよ。 31 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES107] 実数 に対して は を満たす整数 が と のとき，方程式 は連続とし， を実数の定数とする。すべての実数 中間値の定理を用いて証明せよ。 ， が成り立つなら，曲線 次の極限値を求めよ。 点 ， は 35 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES111] 25 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES101] すべての自然数 が連続で を超えない最大の整数を表すとする。 関数 数列 であるとき， の範囲に少なくとも つの実数解をもつことを示せ。 は整数 の最大値が 34 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES110] 関数 で求めた条件を満たし，関数 を求めよ。 24 [青チャート数学Ⅲ EXERCISES100] は の最大値とそれを与え 定数 ， ， の値を求めよ。 ， 次の極限値を求めよ。ただし， で求めた条件を満たすとき，関数 を用いて表せ。 を表すとき，関数 で連続となるように定数 ， の値を定めよ。 は直線 に対して，不等式 と必ず交わることを
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