Grundwissen Mathe Klasse 10

WWG
Grundwissen Mathematik
10. Klasse
I.
Kreiszahl
1. Kreis:
=
Fläche des Kreissektors:
=
Länge des Kreisbogens:
=
Im Einheitskreis gilt:
°
°
°
∙
∙
∙2 ∙
⟺
=
°
∙
2. Kugel:
Oberflächeninhalt:
Volumen:
II.
=4
=
Geometrische und funktionale Aspekte der Trigonometrie
Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Sinusfunktion
Kosinusfunktion
Eigenschaften
=ℝ
= [−1; 1]
Nullstellen:
=0 ⟺
=
∙ ,
∈ℤ
=0 ⟺
=
2 +1
∙ ,
2
Sinus- und Kosinuskurve sind periodisch mit Periode 2 :
= sin( + 2 ) ,
Punktsymmetrisch zum Ursprung:
sin(− ) = −sin ( )
∈ℤ
= cos( + 2 ) ,
Achsensymmetrisch zur y-Achse:
cos(− ) = cos( )
∈ℤ
∈ℤ
Die allgemeine Sinusfunktion
( )=
∙ sin(
+ )+
=
∙ sin
+
+
,
∈ ℝ,
≠ 0,
>0
< 0 kommt eine Spiegelung an der x-Achse hinzu
| |: Amplitude; für
: Periode
> 0 ( < 0): Verschiebung der Sinuskurve in x-Richtung nach links (rechts) um
> 0 ( < 0): Verschiebung der Sinuskurve in y-Richtung nach oben (unten) um
III.
Exponentielles Wachstum und Logarithmen
Lineares Wachstum
Exponentielles Wachstum
Ein Wachstum mit konstantem Zuwachs in Ein
Wachstum
mit
konstantem
gleichen Schritten nennt man lineares Wachstumsfaktor in gleichen Schritten
Wachstum.
nennt man exponentielles Wachstum.
Funktionsgleichung
( )=
( )=
+
∙
= Anfangswert ( (0) = )
= Wachstumsfaktor ( > 0)
Beispiel: ( ) = 0,5 ∙ 2
> 0: lineare Zunahme
Beispiel: ( ) = 2 + 1,5
< 0: lineare Abnahme
Beispiel: ( ) = −3 + 2,5
Logarithmus von b zur Basis a:
=
⟺
Gesetze für das Rechnen mit Logarithmen (für
1) log ( ∙ ) = log
2) log ( : ) = log
3) log
= ∙ log
Umrechnungsformel: log
+ log
− log
=
= log
> 0,
> 0,
> 0,
≠ 1):
IV.
Zusammengesetzte Zufallsexperimente
Mengendiagramme
∩
Schnittmenge:
Vierfeldertafel
Für zwei Ereignisse
Baumdiagramme
Für zwei Ereignisse
Vereinigungsmenge:
und :
und
| ∩ |
| ∩ |
| |
| ∩ |
| ∩ |
| |
| |
| |
|Ω|
– analog zu obiger Vierfeldertafel
( ∩ )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
∪
( )
( ∩ )
( )
( ∩ )
( ∩ )
( ∩ )
( )
( )
( )
( ∩ )
( ∩ )
( ∩ )
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Sind A und B Ereignisse eines Zufallsexperiments mit ( ) ≠ 0, so versteht man unter der
bedingten Wahrscheinlichkeit ( ) die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von B unter der
Bedingungen des Eintretens von A.
Es gilt:
( )=
( ∩ )
( )
V.
Ausbau der Funktionenlehre
1. Graphen ganzrationaler Funktionen
Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten
gerade
Bsp.: ( ) = 0,3
ungerade
Bsp.: ( ) = 0,5
>0
Charakteristischer
Verlauf
„von links oben, nach rechts
oben“
Bsp.: ( ) = −0,5
„von links unten, nach rechts
oben“
Bsp.: ( ) = −0,3
„von links unten, nach rechts
unten“
„von links oben, nach rechts
unten“
<0
Charakteristischer
Verlauf
Ganzrationale Funktionen und ihre Nullstellen
Funktionen der Form : ( ) =
+
+ ⋯+
+
+ mit = ℝ,
∈ ℕ, ,
, … , , , ∈ ℝ und
≠ 0 nennt man ganzrationale Funktionen n-ten
Grades.
Charakteristischer Verlauf
Das Verhalten einer ganzrationalen Funktion wird für betragsmäßig große x-Werte durch
den Summanden mit dem höchsten vorkommenden Exponenten bestimmt. (vgl. Tabelle
unter „Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten“)
Charakteristische Punkte
Schnittpunkt mit der y-Achse: (0) =
→
Nullstellen: Lösen der Gleichung: ( ) = 0
(0| )
Eine ganzrationale Funktion vom Grad hat höchstens Nullstellen. Eine Funktion besitzt
eine k-fache Nullstelle bei = , wenn der Linearfaktor − in vollständig faktorisierter
Form des Funktionsterms k-mal vorkommt.
Nullstelle ungerader Ordnung:
Vorzeichenwechsel
Nullstelle gerader Ordnung:
kein Vorzeichenwechsel
Beispiel: ( ) =
Nullstelle = 0 mit Ordnung 3
Beispiel: ( ) = ( − 1)
Nullstelle = 1 mit Ordnung 2
2. Vertiefen der Funktionenlehre
Überblick über Funktionstypen
 Lineare Funktionen (vgl. Grundwissen 8. Klasse)
 Quadratische Funktionen (vgl. Grundwissen 9. Klasse)
 Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten
 Ganzrationale Funktionen
 Einfach gebrochen-rationale Funktionen (vgl. Grundwissen 8. Klasse)
 Trigonometrische Funktionen
 Exponentialfunktionen
Eigenschaften ausgewählter Graphen
 Definitionsmenge
 Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
 Symmetrieverhalten
o Achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn (− ) = ( ) gilt
o Punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn (− ) = − ( ) gilt
 Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs:
Grenzwerte
Kommen die Funktionswerte f(x) einer Funktion f für beliebig groß werdende x-Werte einer
Zahl a beliebig nahe, so nennt man a den Grenzwert der Funktion f für x gegen plus
unendlich.
Schreibweise: lim → ( ) =


Steigungsverhalten und Extrempunkte
Wertemenge
Parameter verändern Funktionsgraphen
Verschiebungen:
( )= ( + )+
Der Graph entsteht aus dem Graphen
von durch Verschiebung um – in xRichtung und um in y-Richtung
Strecken von Funktionsgraphen
( )=
( )= (
( )
)
Streckung für | | > 1 (Stauchung
für 0 < | | < 1) in y-Richtung
Streckung für 0 < | | < 1 (Stauchung für
| | > 1) in x-Richtung
Spezialfälle: Spiegelungen
( )=
( )= (
( )
)
Zusätzlich Spiegelung an der x-Achse für
<0
Zusätzlich Spiegelung an der y-Achse für
<0

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