Probeklausur - IADM - Universität Stuttgart

Prof TeknD Timo Weidl, Dr. James Kennedy
FB Mathematik, Universität Stuttgart
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Höhere Analysis (SS 2015) — Probeklausur
Hinweise:
Hilfsmittel:
Bearbeitungszeit:
Lösen Sie bitte jede der Aufgaben auf einem neuen Blatt. Verlangt und
gewertet werden alle gestellten Aufgaben.
Alle nicht in der Vorlesung bzw. Übung behandelten Sachverhalte sind zu
beweisen, Lösungsschritte und Teilergebnisse entsprechend ausreichend zu
begründen. Verwendete Sätze sind zu benennen.
Auch Ergebnisse von unbearbeiteten Teilaufgaben dürfen im
späteren Verlauf verwendet werden. Der Schwierigkeitsgrad aufeinanderfolgender Teilaufgaben ist nicht immer monoton steigend!
Legen Sie am Ende der Klausur alle Lösungsblätter in das Umschlagblatt
ein.
Die maximale Punktzahl beträgt 30 Punkte.
keine
120 min
Name:
Matrikel-Nr.:
Punkte:
A1
c
A2
A3
Σ
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Aufgabe 1. (11 Punkte)
(a) Es sei E ein Hilbertraum und {ϕn }n∈N eine Orthonormalbasis von E. Formulieren Sie die
Parseval’sche Identität für ein Element x ∈ E bezüglich der Basis {ϕn }n∈N .
(b) Sei 0 < ω < π. Die Funktion f : R → R sei definiert durch f (x) = 1 für |x| ≤ ω, f (x) = 0
für ω < |x| ≤ π und 2π-periodisch fortgesetzt auf R.
(i) Zeigen Sie, dass die Fourierreihenentwicklung von f im Punkt x ∈ R gegeben ist durch
∞
ω
2X1
+
sin(nω) cos(nx).
π
π
n
n=1
(ii) Bestimmen Sie den punktweise Grenzwert für N → ∞ der Fourierpartialsummen
N
ω
2X1
sin(nω) cos(nx)
SN (x) = +
π
π
n
n=1
von f für alle x ∈ R und begründen Sie, dass diese eingeschränkt auf das Intervall
[−π, π] gegen f in L2 ([−π, π]) konvergieren.
(c) Folgern Sie aus (b) die Identität
∞
X
sin(nω)
n=1
n
=
π−ω
2
für 0 < ω < π.
(d) Zeigen Sie die Identität
∞
X
n=1
∞
X
1
δ(x − 2πn)
cos(nx) = − + π
2
n=−∞
im Raum der Distributionen D0 (R), wobei die verschobene δ-Distribution δ(x−2πn) durch
(δ(x − 2πn), ϕ) = ϕ(2πn) für ϕ ∈ D(R) gegeben ist.
(e) Zeigen Sie, dass auch
∞
X
sin2 (nω)
π−ω
=
2
n ω
2
n=1
für 0 < ω < π gilt.
Aufgabe 2. (7 Punkte) Es bezeichne S 0 (R) den Raum der temperierten Distributionen auf R. Die
Heavisidefunktion θ : R → R sei durch
(
1
falls x ≥ 0
θ(x) =
0
falls x < 0
definiert.
(a) Sei a ≥ 0 fest. Prüfen Sie nach, dass die durch θ(x)e−ax für x ∈ R gegebene Funktion eine
(reguläre) temperierte Distribution definiert.
(b) Beweisen Sie, dass θ( · )e−a · gegen θ in S 0 (R) für a → 0+ konvergiert.
(c) Verwenden Sie (b), um zu zeigen, dass für die Fouriertransformierte von θ ∈ S 0 (R) die
folgende Beziehung gilt:
Z ∞
1
1
1
ϕ(λ)
, wobei
, ϕ := lim
dλ für ϕ ∈ S(R).
F[θ](λ) = √
ε→0+
iλ + 0
2π iλ + 0
−∞ iλ + ε
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Aufgabe 3. (12 Punkte)
(a) Berechnen Sie
Z
lim
n→∞ (0,1)
n
x sin
1
xn
dx.
Für den Rest dieser Aufgabe sei der Maßraum (X, A, µ) gegeben.
(b) Zeigen Sie, dass jede konstante Funktion f : X → R messbar ist.
(c) (i) Formulieren und beweisen Sie das Lemma von Fatou in (X, A, µ).
Hinweis: Der Satz von Lebesgue zur monotonen Konvergenz darf ohne Beweis und
auch ohne die Voraussetzung µ(X) < ∞ aus der Vorlesung verwendet werden.
Die Funktionen fn ∈ L1 (X, µ), n ∈ N, seien gegeben. Wir nehmen an, es existiere ein
f : X → R mit fn → f punktweise fast überall in X.
(ii) Geben Sie ein Beispiel an, welches zeigt, dass unter diesen Voraussetzungen nicht
notwendigerweise f ∈ L1 (X, µ) gelten muss.
(iii) Zusätzlich angenommen, es gelte f ∈ L1 (X, µ). Zeigen Sie durch ein Beispiel, dass
nicht notwendigerweise fn → f in L1 (X, µ) gelten muss.
(iv) Es gelte nun f ∈ L1 (X, µ) und kfn k1 → kf k1 . Zeigen Sie, dass fn → f in L1 (X, µ)
gilt.
Hinweis: Betrachten Sie gn := |fn | + |f | − |fn − f |.
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