解析学II 演習問題解答例 (第4回)

解析学 II 演習問題解答例 (第 4 回)
問題 1. (1) f (x, y) = (y 2 − 3x2 )y = y 3 − 3x2 y の二階偏導関数は，
fxx = −6y,
fyy = 6y,
fxy = fyx = −6x.
これは，∆f = fxx + fyy = 0 を満たすので，f (x, y) は調和関数．
(2) f (x, y) =
1
の二階偏導関数は，
x2 + y 2
2(3x2 − y 2 )
2(x2 − 3y 2 )
,
f
=
,
yy
(x2 + y 2 )3
(x2 + y 2 )3
8xy
.
= fyx = 2
(x + y 2 )3
fxx =
fxy
これは，∆f = fxx + fyy 6= 0．
(3) f (x, y) = cos x sin y の二階偏導関数は，
fxx = − cos x sin y,
fyy = − cos x sin y,
fxy = fyx = − sin x cos y.
これは，∆f = fxx + fyy 6= 0．
(4) f (x, y) = cosh x sin y の二階偏導関数は，
fxx = cosh x sin y,
fyy = − cosh x sin y,
fxy = fyx = sinh x cos y.
これは，∆f = fxx + fyy = 0 を満たすので，f (x, y) は調和関数．
問題 2. (1) 任意の関数 f に対して,
1
∂
1 ∂
(rfr ) = (fr + rfrr )
r
f=
∂r
r ∂r
r
2
1 ∂
1
∂
+
= frr + fr =
f
r
∂r2
r ∂r
1 ∂
r ∂r
が成立する．途中，積の偏微分公式を用いた．従って，
1 ∂
1 ∂
∂2
+
=
∂r2
r ∂r
r ∂r
1
∂
r
∂r
.
(2) 任意の (C 2 級) 関数 f (x, y), x = r cos θ, y = r sin θ に対して，
r, θ に関する高階偏導関数を計算する (frθ = fθr はこの場合
不要なので計算しない)．合成関数の偏微分に関する連鎖率と
fxy = fyx より，
fr = fx xr + fy yr = cos θfx + sin θfy ,
fθ = fx xθ + fy yθ = −r sin θx + r cos θfy ,
∂fy
∂fx
+ sin θ
,
∂r
∂r
= cos θ(fxx xr + fxy yr ) + sin θ(fxy xr + fyy yr )
frr = cos θ
= cos2 θfxx + 2 sin θ cos θfxy + sin2 θfyy ,
∂
∂
∂
fθ =
(−r sin θfx ) +
(r cos θfy )
∂θ
∂θ
∂θ
∂fx
∂fy
−r sin θfy + r cos θ
= −r cos θfx − r sin θ
∂θ
∂θ
∂fx
∂fy
= −rfr − r sin θ
+ r cos θ
∂θ
∂θ
= −rfr − r sin θ(fxx xθ + fxy yθ ) + r cos θ(fxy xθ + fyy yθ )
fθθ =
= −rfr + r2 sin2 θfxx − 2r2 sin θ cos θfxy + r2 cos2 θfyy
= −rfr + r2 (sin2 θfxx − 2 sin θ cos θ + cos2 θfyy )
が導かれる．従って，
1
1
frr + fr + 2 fθθ = fxx + fyy
r
r
が確かめられ，円座標の (r, θ) 上でのラプラシアンは
∂2
1 ∂
1 ∂2
1 ∂
∆= 2 +
+ 2 2 =
∂r
r ∂r r ∂θ
r ∂r
∂
r
∂r
+
1 ∂2
.
r2 ∂θ2
別解上の計算は確かに正しいが，答えを知っていないと求め
にくいやや天下りな議論である．そこで，前回の演習の結果を利
用する．
x = p(u, v), y = q(u, v)
に対して，関係式
ux
vx
uy
x
= u
vy
yu
xv
yv
2
−1
⇔
u = r(x, y), v = s(x, y)
が成り立ち，特に，円座標変換 x = r cos θ, y = r sin θ に対し
ては，
ry
cos θ
=
θy
sin θ
rx
θx
−r sin θ
r cos θ
−1
1 r cos θ
=
r − sin θ
r sin θ
cos θ
が成り立つ (前回演習)．連鎖率から簡単に
fx = fr rx + fθ θx ,
fy = fr ry + fθ θy .
もう一度偏微分すると，frθ = fθr は仮定して，
fxx = rxx fr + rx (frr rx + frθ θx ) + θxx fθ + θx (frθ rx + fθθ θx )
= rxx fr + rx2 frr + θxx fθ + θx2 fθθ + 2rx θxfrθ ,
fyy = ryy fr + ry2 frr + θyy fθ + θy2 fθθ + 2ry θyfrθ
を得る．従って，
fxx + fyy = (rxx + ryy )fr + (rx2 + ry2 )frr + (θx2 + θy2 )fθθ
+ (θxx + θyy )fθ + 2(θx rx + θy ry )frθ .
ここで，さきほどの結果を使う．
rxx + ryy = (rx )x + (ry )y = − sin θ · θx + cos θ · θy =
rx2 + ry2 = cos2 θ + sin2 θ = 1,
θx2 + θy2 =
1
,
r2
1
(− cos θ sin θ + sin θ cos θ) = 0,
r
ry
rx
θxx + θyy = (θx )x + (θy )y = (− )x + ( )y
r
r
= (− log r)yx + (log r)xy = 0
θx rx + θy ry =
より，結局
fxx + fyy = frr +
1
1
f
+
fr .
θθ
r2
r
これは求めたい式．
3
1
,
r
(3) f (x, y), x = cos θu − sin θv,
y = sin θu + cos θv に対して，u, v
に関する偏微分を計算する．
fu = fx xu + fy yu = cos θfx + sin θfy
fv = fx xv + fy yv = − sin θfx + cos θfy
fuu = cos θ(fx )u + sin θ(fy )u
= cos θ(cos θfxx + sin θfxy ) + sin θ(cos θfxy + sin θfyy )
= cos2 θfxx + 2 sin θ cos θfxy + sin2 θfyy
fvv = sin2 θfxx − 2 sin θ cos θfxy + cos2 θfyy
(計算は省略).
従って，
fuu + fvv = fxx + fyy
⇒
∆=
∂
∂2
+
.
∂u2
∂v 2
問題 3. (1). 円筒座標変換においては，z は不変である．z を固定して (x, y)
平面でみると，円筒座標変換は円座標変換と同じであるため，問
題 2(2) の結果から，
∂2
∂2
1 ∂
1 ∂2
∂2
+
=
+
+
∂x2
∂y 2
∂ρ2
ρ ∂ρ ρ2 ∂φ2
が成立する．z が不変であることを考慮すると，結局
∂2
∂2
∂2
∂2
1 ∂
∂2
1 ∂2
∆=
+ 2+ 2 = 2+
+ 2.
+
∂x2
∂y
∂z
∂ρ
ρ ∂ρ ρ2 ∂φ2
∂z
(2). 円筒座標から球座標への変換は
(
z = r cos θ,
ρ = r sin θ
で記述される．従って，φ を固定してみれば，これは (z, ρ) から
(r, θ) への円座表変換と思える．従って，
∂2
∂2
1 ∂
1 ∂2
∂2
+ 2 = 2+
+
,
∂ρ2
∂z
∂r
r ∂r r2 ∂θ2
1 ∂2
1
∂2
= 2 2
ρ2 ∂φ2
r sin θ ∂φ2
4
が成立する．また，任意の関数 f に対して，
1
1
fρ =
(fr rρ + fθ θρ)
ρ
r sin θ
1
1
sin θfr + cos θfθ
=
r sin θ
r
cos θ
1
fθ
= fr + 2
r
r sin θ
(問題 2(2) 別解参照)
が成立するので，
1 ∂
1 ∂
cos θ ∂
=
+ 2
ρ ∂ρ
r ∂r r sin θ ∂θ
が導かれる．以上の結果をまとめると，球座標におけるラプラシ
アンは
1 ∂
∂2
1 ∂2
∂2
+ 2
+
∆= 2 +
∂ρ
ρ ∂ρ ρ2 ∂φ2
∂z
∂2
2 ∂
cos θ ∂
1 ∂2
1
∂2
= 2+
+ 2
+
+
∂r
r ∂r r2 ∂θ2
r sin θ ∂θ r2 sin2 θ ∂φ2
で与えられる．
注. 三変数関数の合成関数の公式の利用でも導出できるが大変．
5

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