2015年度微分積分学第一 (Vクラス) レポート問題2 略解

2015 年度微分積分学第一 (V クラス) レポート問題 2 略解
注：今後 (今までもそうだが)，講義で紹介した主張は，基本的には証明なしで用いて良い
(もちろん，講義中で証明を省略し，それを問にしている場合は例外)．
∂f
f (z + δ, w) − f (z, w)
f (w, z + δ) − f (w, z)
(z, w) = lim
= lim
. 従って右辺の極限が
δ→0
δ→0
∂x
δ
δ
∂f
(z, w) =
存在する．従って f (x, y) は (x, y) = (w, z) で y について偏微分可能．更に
∂x
∂f
(w, z) も分かる．
∂y
∂f
(2) f (x, y) = xy とすれば，これは x, y について対称な関数．一方で， (x, y) = y は x, y に
∂x
ついて対称な関数ではない．
6
(1)
7
(1) 仮定より，f (x(t), y(t)) は t を変数とする関数として定数関数．従って，その微分は 0．一
方で，合成関数の微分公式を用いて微分を計算すれば，
d
∂f
dx
∂f
dy
f (x(t), y(t)) =
(x(t), y(t))
(t) +
(x(t), y(t))
(t).
dt
∂x
dt
∂y
dt
これらを合わせれば良い．
(2) x(t) = t, y(t) = t2 として (1) を適用．
∂f
dx
∂f
dy
講評： (x(t), y(t))
(t) =
(x(t), y(t))
(t) = 0 という誤りが多い．このようなミスは，
∂x
dt
∂y
dt
合成関数の微分を勘違いしているか，人の解答を (意味も考えず) 丸写しした場合に (写し間違
いとして) 発生しやすい．前者であれば，講義ノートを確認すれば何が正しいのかは分かるは
ず．後者であれば，結局，理解し身につかなければ試験で解けないので，
「単位を取る」という
目的のためにも推奨できない．
dx dy
∂x ∂y
なお，問題文で
,
とすべきところが
,
となっておりました．お詫び申し上げます
dt dt
∂t ∂t
(web 上の問題も差し替えました)．
8 (x, y) = (r cos θ, r sin θ) (−π/2 < θ < π/2, r > 0) と A の点を極座標変換で表示すると，
f (r cos θ, r sin θ) = (arcsin(sin θ))2 = θ2 (最後の等号は arcsin の定義と θ の範囲の選び方によ
る)．よって，g(r, θ) = f (r cos θ, r sin θ)(= θ2 ) とおくと，(x, y) = (r cos θ, r sin θ) をみたす (r, θ)
に対して，
∂ 2g
1 ∂g
1 ∂2g
2
2
∆f (x, y) = 2 (r, θ) +
(r, θ) + 2 2 (r, θ) = 2 = 2
.
∂r
r ∂r
r ∂θ
r
x + y2
講評：「arcsin(sin θ) = θ」に気づいていない答案が多かった．逆三角関数の微分公式は確かに
講義で扱っており，それを使えば解けるが，三角関数の逆関数だということも大事な性質．
9 変数を省略して書く．
gx = fx ◦ u · (u1 )x + fy ◦ u · (u2 )x = fx ◦ u · cos θ + fy ◦ u · sin θ,
gy = fx ◦ u · (− sin θ) + fy ◦ u · cos θ,
gxx = (fxx ◦ u · cos θ + fxy ◦ u · sin θ) cos θ + (fyx ◦ u · cos θ + fyy ◦ u · sin θ) sin θ
= fxx ◦ u · cos2 θ + 2fxy ◦ u · sin θ cos θ + fyy ◦ u · sin2 θ,
gyy = fxx ◦ u · sin2 θ − 2fxy ◦ u · sin θ cos θ + fyy ◦ u · cos2 θ.
よって，∆g = gxx + gyy = fxx ◦ u + fyy ◦ u = (∆f ) ◦ u．
講評：講義でも注意したが，偏微分を表す記号は「変数として何を使っているか」に依存して
いる．特に合成関数の微分を考える際には，混乱の少ない (正しく理解していると，採点者に
伝わるような) 記号を用いること．
10 平均値の定理から，f (x, y) − f (0, y) = fx (c, y) となる c が 0 と x の間にある (f (x, y) は y を固
定していれば，x のみを変数とする一変数関数とみなせる)．一方 fx は全ての点で 0 なので，
f (x, y) = f (0, y)．従って，g(y) = f (0, y) として結論が成立する．
f (x + h) − f (x)
= 0 ⇒ f (x + h) − f (x) = 0」という議論が多い．これだけでは説
h
明になっていないし，
「極限が 0 だから極限を取る前の量も 0」と誤解 (誤解です！) しているよ
うにも読める．
講評：
「 lim
h→0

Download Report