2015東京大学理系1番

2015 東大理系
問題１
正の実数 a に対して，座標平面上で次の放物線を考える。
y = ax2 +
1 − 4a2
4a
a が正の実数全体を動くとき,C の通過する領域を図示せよ。
解答
1
a > 0······
に対して、放物線
y = ax2 +
1 − 4a2
2
······
4a
の通過する領域は,
1 かつ
2 を満たす a が存在する」
「
1 のもとで、
ような (x, y) の全体である。
( 2
) 2
2 ⇔ 4x − 4 a − 4ya + 1 = 0
1
> 0 であるから、少
−4
なくとも１つの正解をもつとは、２解とも正であることである。求める条件は、
( 2
)

2
 D/4 = 4y − 4x − 4 = 0
 4y
>0
4x2 − 4
⇔ y > 0 ∧ x2 − y 2 5 1
( i ) 4x2 − 4 > 0 すなわち |x| > 1 のとき、２解の積 =
4x2
( ii ) 4x2 − 4 = 0 すなわち |x| = 1 のとき、
−4ya + 1 = 0 ⇔ 4ya = 1
が正の解をもつために、
y>0
(iii) 4x2 − 4 < 0 すなわち |x| < 1 のとき、２解の席が負であるから、正の解を必ず
もつので、求める条件は
|x| < 1
である。以上をまとめて図示すると下図のようになる。
c
Darumafactory
-1-
RadicalMath
y
y=
c
Darumafactory
x2 − 1
x
O
-1
√
1
-2-
RadicalMath

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