(1) a - SUUGAKU.JP

1
4
平面上の 3 点 A，B，C が，AB = 3，AC = 4，BC = 2 を満
平面上の 3 点 A，B，C が，AB = 3，AC = 4，BC = 2 を満
たしているとする．また B0 は A から C に向かう半直線上にあ
たしているとする．また B0 は A から C に向かう半直線上にあ
り，AB0 = 8 となる点とする．A0 は B から C に向かう半直線
り，AB0 = 8 となる点とする．A0 は B から C に向かう半直線
上にあり，BA0 > BC かつ ÎB0 A0 C = ÎBAC となる点とす
上にあり，BA0 > BC かつ ÎB0 A0 C = ÎBAC となる点とす
る．さらに A，B を通る直線と，A0 ，B0 を通る直線の交点を
る．さらに A，B を通る直線と，A0 ，B0 を通る直線の交点を
D とする．以下の問いに答えよ．
D とする．以下の問いに答えよ．
(1) DB と DB0 を求めよ．
(1) DB と DB0 を求めよ．
(2) cos ÎB0 A0 C の値を求めよ．また，それを用いて 4A0 B0 C の
(2) cos ÎB0 A0 C の値を求めよ．また，それを用いて 4A0 B0 C の
面積を求めよ．
面積を求めよ．
(3) P を線分 DB0 上にあり，DP : PB0 = 1 : 3 となる点とする．
(3) P を線分 DB0 上にあり，DP : PB0 = 1 : 3 となる点とする．
また P0 を線分 AP と線分 BC との交点とする．4ABP0 の面
また P0 を線分 AP と線分 BC との交点とする．このとき，長
積を求めよ．
さの比 BP0 : P0 C を求めよ．
（三重大学 2015 ）
(4) P0 を (3) で与えたものとする．4ABP0 の面積を求めよ．
（三重大学 2015 ）
2
数列 fan g と fbn g を
a1 = 119;
n
P
k=1
an+1 ¡ an = 12n ¡ 61
1
1
= ¡ n(n ¡ 2c + 1)
2
bk
(n = 1; 2; 3; Ý),
(n = 1; 2; 3; Ý)
によって定める．ここで c は 5 < c < 6 を満たす定数とする．
以下の問いに答えよ．
5
(1) 一般項 an ; bn を求めよ．
(2) an bn > 0 となる n をすべて求めよ．
n
P
(3)
ak bk が最大になる n を求めよ．
実数 x に対し
n
an (x) = $
k=1
（三重大学 2015 ）
¡x2 + 8x ¡ 19
<
x2 ¡ 6x + 5
(n = 1; 2; 3; Ý)
とおく．ただし x は 1 でも 5 でもないとする．以下の問いに答
えよ．
3
以下の問いに答えよ．
(1) lim an (x) が収束する x の範囲と，そのときの極限値を求
(1) a; b; c は正の実数で，a Ë 1，c Ë 1 とするとき，loga b =
logc b
となることを，対数の定義にもとづいて証明せよ．た
logc a
だし，必要ならば，logp Mr = r logp M（ p > 0，p Ë 1，
M > 0，r は実数）を用いてよい．
(2) 方程式 log4 (x + 3) = log2 x ¡ 1 を解け．
(3) 方程式 log4 (x + k) = log2 x ¡ 1 が解を持つような実数 k の
範囲を求めよ．
（三重大学 2015 ）
-1-
n!1
めよ．
Z3
(2)
a1 (x) dx を求めよ．
2
（三重大学 2015 ）
6
関数 f(x) = x ¡ 2
3
¡ 3x2 + 12x がある．以下の問いに答
9
えよ．
X 大学では，オープンキャンパスに 40 名の高校生が参加を申
し込んだ．この 40 名の高校生のために，黒色 20 本，青色 10
(1) f(x) の増減を調べ，グラフの概形を描け．
本，赤色 10 本，計 40 本のボールペンを参加の記念として用意
(2) 曲線 y = f(x) と直線 y = 12 の共有点の x 座標を求めよ．
した．この 40 名の中の特定の 2 名 A，B について，下の問い
(3) 曲線 y = f(x) と直線 y = 12 で囲まれた図形の面積を求
に答えよ．ただし，オープンキャンパスにはこの 40 名の高校
生が参加するとする．また，高校生 1 名に必ず 1 本のボールペ
めよ．
ンが渡され，渡されるボールペンの色は無作為に決定される．
[補足説明] 必要ならば，自然数 n に対して
Z
xn+1
+C
n+1
xn dx =
(1) A，B ともに黒色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(C は積分定数)
(2) A，B が同じ色のボールペンを渡される確率を求めよ．
となることを用いてよい．
（三重大学 2014 ）
（三重大学 2015 ）
7
数列 fan g と fbn g を
a1 = 119;
n
P
k=1
bk = ¡
an+1 ¡ an = 12n ¡ 61
(n = 1; 2; 3; Ý),
1
n(n ¡ 2c + 1) (n = 1; 2; 3; Ý)
2
によって定める．ここで c は 5 < c < 6 を満たす定数とする．
以下の問いに答えよ．
(1) 一般項 an ; bn を求めよ．
an
> 0 となる n をすべて求めよ．
(2)
bn
n
P
ak
(3)
が最大になる n を求めよ．
k=1 bk
（三重大学 2015 ）
8
実数 a に対して，下の 4 つの条件 p; q; r; s を考える．ただ
し，実数 k に対して，[k] は k 以下の最大の整数を表し，hki
は k 以上の最小の整数を表すとする．たとえば，k = 2:15 の
とき，[k] = 2 であり，hki = 3 である．また， k は k の絶
対値を表す．
p : x2 + 4x + a2 = 0 を満たす実数 x が存在する．
q : [a] < hai
r : a ¡ 1:5 <
1
a ¡ 1:5 + 1:5
s : 0 < a < ¼，かつ，sin #2a ¡
¼
¼
; + sin #2a +
;=0
4
4
上の p; q; r; s それぞれについて，条件を満たす a の範
囲を求めよ．さらに，以下の 1，2，3 それぞれについて，
p; q; r; s の中から，あてはまるものを全て答えよ．
1 p であるための十分条件である．
2 q であるための十分条件である．
3 r であるための十分条件である．
（三重大学 2014 ）
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