1 4 平面上の 3 点 A,B,C が,AB = 3,AC = 4,BC = 2 を満 平面上の 3 点 A,B,C が,AB = 3,AC = 4,BC = 2 を満 たしているとする.また B0 は A から C に向かう半直線上にあ たしているとする.また B0 は A から C に向かう半直線上にあ り,AB0 = 8 となる点とする.A0 は B から C に向かう半直線 り,AB0 = 8 となる点とする.A0 は B から C に向かう半直線 上にあり,BA0 > BC かつ ÎB0 A0 C = ÎBAC となる点とす 上にあり,BA0 > BC かつ ÎB0 A0 C = ÎBAC となる点とす る.さらに A,B を通る直線と,A0 ,B0 を通る直線の交点を る.さらに A,B を通る直線と,A0 ,B0 を通る直線の交点を D とする.以下の問いに答えよ. D とする.以下の問いに答えよ. (1) DB と DB0 を求めよ. (1) DB と DB0 を求めよ. (2) cos ÎB0 A0 C の値を求めよ.また,それを用いて 4A0 B0 C の (2) cos ÎB0 A0 C の値を求めよ.また,それを用いて 4A0 B0 C の 面積を求めよ. 面積を求めよ. (3) P を線分 DB0 上にあり,DP : PB0 = 1 : 3 となる点とする. (3) P を線分 DB0 上にあり,DP : PB0 = 1 : 3 となる点とする. また P0 を線分 AP と線分 BC との交点とする.4ABP0 の面 また P0 を線分 AP と線分 BC との交点とする.このとき,長 積を求めよ. さの比 BP0 : P0 C を求めよ. ( 三重大学 2015 ) (4) P0 を (3) で与えたものとする.4ABP0 の面積を求めよ. ( 三重大学 2015 ) 2 数列 fan g と fbn g を a1 = 119; n P k=1 an+1 ¡ an = 12n ¡ 61 1 1 = ¡ n(n ¡ 2c + 1) 2 bk (n = 1; 2; 3; Ý), (n = 1; 2; 3; Ý) によって定める.ここで c は 5 < c < 6 を満たす定数とする. 以下の問いに答えよ. 5 (1) 一般項 an ; bn を求めよ. (2) an bn > 0 となる n をすべて求めよ. n P (3) ak bk が最大になる n を求めよ. 実数 x に対し n an (x) = $ k=1 ( 三重大学 2015 ) ¡x2 + 8x ¡ 19 < x2 ¡ 6x + 5 (n = 1; 2; 3; Ý) とおく.ただし x は 1 でも 5 でもないとする.以下の問いに答 えよ. 3 以下の問いに答えよ. (1) lim an (x) が収束する x の範囲と,そのときの極限値を求 (1) a; b; c は正の実数で,a Ë 1,c Ë 1 とするとき,loga b = logc b となることを,対数の定義にもとづいて証明せよ.た logc a だし ,必要ならば ,logp Mr = r logp M( p > 0,p Ë 1, M > 0,r は実数)を用いてよい. (2) 方程式 log4 (x + 3) = log2 x ¡ 1 を解け. (3) 方程式 log4 (x + k) = log2 x ¡ 1 が解を持つような実数 k の 範囲を求めよ. ( 三重大学 2015 ) -1- n!1 めよ. Z3 (2) a1 (x) dx を求めよ. 2 ( 三重大学 2015 ) 6 関数 f(x) = x ¡ 2 3 ¡ 3x2 + 12x がある.以下の問いに答 9 えよ. X 大学では,オープンキャンパスに 40 名の高校生が参加を申 し込んだ.この 40 名の高校生のために,黒色 20 本,青色 10 (1) f(x) の増減を調べ,グラフの概形を描け. 本,赤色 10 本,計 40 本のボールペンを参加の記念として用意 (2) 曲線 y = f(x) と直線 y = 12 の共有点の x 座標を求めよ. した.この 40 名の中の特定の 2 名 A,B について,下の問い (3) 曲線 y = f(x) と直線 y = 12 で囲まれた図形の面積を求 に答えよ.ただし,オープンキャンパスにはこの 40 名の高校 生が参加するとする.また,高校生 1 名に必ず 1 本のボールペ めよ. ンが渡され,渡されるボールペンの色は無作為に決定される. [補足説明] 必要ならば,自然数 n に対して Z xn+1 +C n+1 xn dx = (1) A,B ともに黒色のボールペンを渡される確率を求めよ. (C は積分定数) (2) A,B が同じ色のボールペンを渡される確率を求めよ. となることを用いてよい. ( 三重大学 2014 ) ( 三重大学 2015 ) 7 数列 fan g と fbn g を a1 = 119; n P k=1 bk = ¡ an+1 ¡ an = 12n ¡ 61 (n = 1; 2; 3; Ý), 1 n(n ¡ 2c + 1) (n = 1; 2; 3; Ý) 2 によって定める.ここで c は 5 < c < 6 を満たす定数とする. 以下の問いに答えよ. (1) 一般項 an ; bn を求めよ. an > 0 となる n をすべて求めよ. (2) bn n P ak (3) が最大になる n を求めよ. k=1 bk ( 三重大学 2015 ) 8 実数 a に対して,下の 4 つの条件 p; q; r; s を考える.ただ し ,実数 k に対して,[k] は k 以下の最大の整数を表し ,hki は k 以上の最小の整数を表すとする.たとえば,k = 2:15 の とき,[k] = 2 であり,hki = 3 である.また, k は k の絶 対値を表す. p : x2 + 4x + a2 = 0 を満たす実数 x が存在する. q : [a] < hai r : a ¡ 1:5 < 1 a ¡ 1:5 + 1:5 s : 0 < a < ¼,かつ,sin #2a ¡ ¼ ¼ ; + sin #2a + ;=0 4 4 上の p; q; r; s それぞれについて,条件を満たす a の範 囲を求めよ.さらに,以下の 1,2,3 それぞれについて, p; q; r; s の中から,あてはまるものを全て答えよ. 1 p であるための十分条件である. 2 q であるための十分条件である. 3 r であるための十分条件である. ( 三重大学 2014 ) -2-
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