4. 指数関数・三角関数・双曲線関数 実変数の e x , cos x , sin x 等を複素変数に拡張する。 指数関数の定義 z= x+i y のとき e z = e x e i y = e x (cos y+i sin y ) ←右辺は実変数の指数・三角関数 例題 4.1 複素変数の指数関数の定義に基づき, e 2+π i を求めよ。 (解) e 2+π i = e 2 e π i = e 2 (cos π+i sin π) 2 = e (−1+i⋅0) 2 = −e // e x や e i y ( x , y は実数 ) の形に直した //実変数になった 指数法則 z +w z w e = e e ( 複素変数でも成り立つ ) 例題 4.2 上の指数法則が,複素変数でも成り立つことを示せ。 (解) z= x+i y , w=u+i v ( x , y , u , v は実数 ) とするとき, (左辺) = e (x+u)+i ( y+v) = e x+u e i( y+v) //指数関数の定義 x u iy i v // e x+u =e x e u は実変数の指数法則 =e e e e // e i( y+v)=ei y e i v は例題 2.2 で示した // 再び指数関数の定義 = e x+i y e u+i v =(右辺) 定義 1 cos z = (e i z +e−i z) 2 1 i z −i z sin z= (e −e ) 2i 三 角 関 数 1 cosh z= (e z+e−z ) 2 1 z −z sinh z= (e −e ) 2 双 曲 線 関 数 基本性質 a) cos 2 z +sin2 z =1 b) (cosh z )2−(sinh z)2 =1 c) cos (i z)=cosh z , cosh (i z )=cos z d) sin(i z )=i sinh z , sinh(i z )=i sin z 加法定理 cos ( z 1+z 2)=cos z 1 cos z 2 −sin z 1 sin z 2 sin( z 1+z 2 )=sin z 1 cos z 2+cos z 1 sin z 2 cosh ( z 1+z 2 )=cosh z 1 cosh z 2+sinh z 1 sinh z 2 sinh(z 1+z 2 )=sinh z 1 cosh z 2+cosh z 1 sinh z 2 例題 4.3 複素変数の三角関数の定義に基づき, sin(α+β) に関する加法定理を示せ。 (解) 示す式は sin(α+β) = sin α cos β+cos α sinβ である。 e i α−e−i α ei β +e−iβ ei α+e −i α e i β−e−i β (右辺) = + 2i 2 2 2i 1 iα iβ −i α −iβ = (2 e e + 2 e e ) // 展開して整理した 4i 1 i (α+β) −i (α +β) = {e +e }= (左辺) 2i 例題 4.4 z= x+i y として sin z を標準形で表せ。 (解) sin z = sin( x+i y) = sin x cos( i y )+cos x sin (i y ) = sin x cosh y+i cos x sinh y // 加法定理を用いて x や i y の関数で表した // i y の三角関数を双曲線関数に直した ※ sin z の定義からでもできるが,やや面倒になる。
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