三角関数まとめ

4. 指数関数・三角関数・双曲線関数
実変数の e x , cos x , sin x 等を複素変数に拡張する。
指数関数の定義
z= x+i y のとき e z = e x e i y
= e x (cos y+i sin y )
←右辺は実変数の指数・三角関数
例題 4.1
複素変数の指数関数の定義に基づき， e 2+π i を求めよ。
(解) e 2+π i = e 2 e π i
= e 2 (cos π+i sin π)
2
= e (−1+i⋅0)
2
= −e
// e x や e i y ( x , y は実数 ) の形に直した
//実変数になった
指数法則
z +w
z w
e = e e ( 複素変数でも成り立つ )
例題 4.2
上の指数法則が，複素変数でも成り立つことを示せ。
(解)　z= x+i y , w=u+i v ( x , y , u , v は実数）とするとき，
(左辺) = e (x+u)+i ( y+v) = e x+u e i( y+v)
//指数関数の定義
x u iy i v
// e x+u =e x e u は実変数の指数法則
=e e e e
// e i( y+v)=ei y e i v は例題 2.2 で示した
// 再び指数関数の定義
= e x+i y e u+i v
＝(右辺)
定義
1
cos z = (e i z +e−i z)
2
1 i z −i z
sin z= (e −e )
2i
三
角
関
数
1
cosh z= (e z+e−z )
2
1 z −z
sinh z= (e −e )
2
双
曲
線
関
数
基本性質
a) cos 2 z +sin2 z =1
b) (cosh z )2−(sinh z)2 =1
c) cos (i z)=cosh z , cosh (i z )=cos z
d) sin(i z )=i sinh z , sinh(i z )=i sin z
加法定理
cos ( z 1+z 2)=cos z 1 cos z 2 −sin z 1 sin z 2
sin( z 1+z 2 )=sin z 1 cos z 2+cos z 1 sin z 2
cosh ( z 1+z 2 )=cosh z 1 cosh z 2+sinh z 1 sinh z 2
sinh(z 1+z 2 )=sinh z 1 cosh z 2+cosh z 1 sinh z 2
例題 4.3
複素変数の三角関数の定義に基づき， sin(α+β) に関する加法定理を示せ。
(解)　示す式は sin(α+β) = sin α cos β+cos α sinβ である。
e i α−e−i α ei β +e−iβ ei α+e −i α e i β−e−i β
(右辺) =
+
2i
2
2
2i
1
iα iβ
−i α −iβ
= (2 e e + 2 e e )
// 展開して整理した
4i
1 i (α+β)
−i (α +β)
= {e
+e
}= (左辺)
2i
例題 4.4
z= x+i y として sin z を標準形で表せ。
(解) sin z = sin( x+i y)
= sin x cos( i y )+cos x sin (i y )
= sin x cosh y+i cos x sinh y
// 加法定理を用いて x や i y の関数で表した
// i y の三角関数を双曲線関数に直した
※ sin z の定義からでもできるが，やや面倒になる。

Download Report