《資料 7》 Euler の公式と三角関数 1 指数関数 指数関数 ex px P Rq を次式により複素関数に拡張することができる. ez “ 8 ÿ zn n! n“0 pz P Cq (1) このように定義した指数関数に対しても, 指数法則: ez ew “ ez`w pz, w P Cq が成り立つ. 2 Euler の公式 (1) において, 特に z “ ix px P Rq ととれば, eix “ 8 8 8 ÿ ÿ ÿ pixqn p´1qm 2m p´1qm 2m`1 “ x `i x “ cos x ` i sin x. n! p2mq! p2m ` 1q! n“0 m“0 m“0 このとき得られる eix “ cos x ` i sin x px P Rq (2) を Euler の公式と呼ぶ. これより eix ` e´ix eix ´ e´ix , sin x “ px P Rq. (3) 2 2i ((3) の x P R を z P C で置き換えて, 三角関数 cos x, sin x を複素関数に拡張できる. (2) は複素関数の意味で cos x “ も正しい.) これらを用いて, 三角関数に関連するの様々な関係式を以下のように見通しよく導くことができる. • 加法定理 eipx`yq “ eix eiy の実部, 虚部を比較して cos px ` yq “ cos x cos y ´ sin x sin y, sin px ` yq “ sin x cos y ` cos x sin y. • n 倍角の公式 peiθ qn “ einθ (de Moivre の公式) より, n ˆ ˙ ÿ n cos nθ ` i sin nθ “ pcos θ ` i sin θq “ pcos θqn´k pi sin θqk . k k“0 n 両辺の実部, 虚部を比較して, tn 2u ˆ ˙ n cos nθ “ p´1q cosn´2j θ sin2j θ 2j j“0 ÿ j t n´1 2 u sin nθ “ ÿ k“0 p´1q j ˆ ¨ ¨ ¨ (cos θ の多項式), ˙ n cosn´2j´1 θ sin2j`1 θ 2j ` 1 ¨ ¨ ¨ (cos θ の多項式) sin θ. • 級数への応用 等比級数の和の公式により, |r| ă 1 のとき, n ÿ k“1 8 ÿ k“1 nθ rk eikθ “ reiθ ` r2 ei2θ ` ¨ ¨ ¨ “ nθ nθ nθ pn`1qθ sin ei 2 ei 2 ´ e´i 2 1 ´ einθ 2 “ eiθ θ “ ei 2 , θ θ θ iθ i i ´i 1´e 2 2 2 sin e e ´e 2 (4) reiθ p1 ´ re´iθ q rpeiθ ´ rq reiθ “ “ . 1 ´ reiθ p1 ´ reiθ qp1 ´ re´iθ q 1 ´ 2r cos θ ` r2 (5) eikθ “ eiθ ` ei2θ ` ¨ ¨ ¨ ` einθ “ eiθ (4) の実部, 虚部をとることにより, cos θ ` cos 2θ ` ¨ ¨ ¨ ` cos nθ “ sin θ ` sin 2θ ` ¨ ¨ ¨ ` sin nθ “ cos pn`1qθ sin nθ 2 2 sin θ2 sin pn`1qθ sin nθ 2 2 sin θ2 , . 同様に, (5) より, 8 ÿ rk cos kθ “ k“1 • 導関数への応用 rpcos θ ´ rq , 1 ´ 2r cos θ ` r2 8 ÿ rk sin kθ “ k“1 rpsin θ ´ rq 1 ´ 2r cos θ ` r2 p|r| ă 1q. 1 α :“ a ` ib の偏角を φ とすれば, α “ pa2 ` b2 q 2 eiφ であるから, ` ax ibx ˘pnq ` αx ˘pnq n e e “ e “ αn eαx “ pa2 ` b2 q 2 eax eipbx`nφq . 実部, 虚部を比較して, ˘pnq n eax sin bx “ pa2 ` b2 q 2 eax sinpbx ` nφq. ´ ´ nπ ¯ nπ ¯ “ cos x ` , psin xqpnq “ sin x ` . 2 2 ` ax ˘pnq n e cos bx “ pa2 ` b2 q 2 eax cospbx ` nφq, 特に, a “ 0, b “ 1 のとき, pcos xqpnq ` • 積分への応用 α :“ a ` ib に対して, ż ż eαx a ´ ib epa`ibqx dx “ eαx dx “ “ 2 ¨ eax pcos bx ` i sin bxq. (積分定数省略) α a ` b2 実部, 虚部を比較して, ż eax cos bx dx “ eax pa cos bx ` b sin bxq , a2 ` b2 ż eax sin bx dx “ eax pa sin bx ´ b cos bxq . a2 ` b2 3 三角関数と双曲線関数 (3) (の複素変数への拡張版) を用いて, ex ` e´x eipixq ` e´ipixq “ “ cosh x, 2 2 eipixq ´ e´ipixq ex ´ e´x sinpixq “ “i¨ “ i sinh x. 2i 2 この関係式と, 三角関数に対する加法定理 (複素変数でも成り立つ！) を用いて, cospixq “ 1 “ cos2 pixq ` sin2 pixq “ pcosh xq2 ` pi sinh xq2 “ cosh2 x ´ sinh2 x, cosh px ` yq “ cos ipx ` yq “ cospix ` iyq “ cospixq cospiyq ´ sinpixq sinpiyq “ cosh x cosh y ´ i sinh x ¨ i sinh y “ cosh x cosh y ` sinh x sinh y, i sinh px ` yq “ sin ipx ` yq “ sinpix ` iyq “ sinpixq cospiyq ` cospixq sinpiyq “ i sinh x ¨ cosh y ` cosh x ¨ i sinh y “ i psinh x cosh y ` cosh x sinh yq. よって, cosh2 x ´ sinh2 x “ 1, cosh px ` yq “ cosh x cosh y ` sinh x sinh y, sinh px ` yq “ sinh x cosh y ` cosh x sinh y.
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