(無限井戸型ポテンシャル系の励起状態における座標期待値) filename

(無限井戸型ポテンシャル系の励起状態における座標期待値)
filename=potential-infinite-expectationvalue-x-3rdstate-QA20150301A.tex
幅が位置座標 x = 0 から x = a(>
√ 0) の無限井戸型ポテンシャルの中の量子的粒子の第 2
励起状態の波動関数が ψ3 (x) ≡ 2/a · sin(3πx/a) と与えられている。次の問に答えよ。
a. この波動関数 ψ3 (x) は規格化されているかどうか、規格化積分を計算して確認せよ。
b. この状態における位置座標演算子 x̂ の期待値を計算せよ。
(解答例)
a. 題意より
∫
a
0
ψ3∗ (x)ψ3 (x)dx
(
2∫ a 2
=
sin
a 0
1 x=a
=
[x]
−
a x=0
= 1
)
[
(
3πx
1∫ a
6πx
dx =
1 − cos
a
a 0
a
[(
)
(
)]
1
a
6πx x=a
sin
a 6π
a
x=0
)]
dx
(1)
となり、規格化されている。
b. （通常、採用されている座標表示では）位置座標演算子 x̂ = x であり、位置座標演算
子 x̂ の期待値の定義より
< x̂ >3 ≡
∫
0
a
(
[
(
6πx
1∫ a
x 1 − cos
=
a 0
a
)
2∫ a
3πx
x · sin2
dx
a 0
a
ψ3∗ (x) · x̂ · ψ3 (x)dx =
)]
dx
(2)
となる。ここで、右辺最後の項の第 2 の積分（I1 とおく）の計算をする。そのため、
任意の関数 f = f (x), g = g(x) に対する部分積分の公式を使う。
′
(f g)
′
′
= f g + fg →
∫
′
f gdx = f g −
∫
f g ′ dx.
(3)
ここで、式 (3) において、f ≡ cos(6πx/a), g ≡ x と置くと
∫
I1
(
)
(
)
(
)
∫ a
6πx
6πx ′
a
≡
x · cos
dx =
{sin
} · x dx
a
6π
a
0
0
(
)[
(
)
]x=a
(
)∫ a
(
)
a
6πx
a
6πx
=
sin
·x
−
sin
dx
6π
a
6π 0
a
x=0
(
) [
(
)]
a 2
6πx x=a
=
cos
=0
6π
a
x=0
a
(4)
となる。この I1 の値を式 (2) に代入すると
< x̂ >3 =
が得られる。
1
a
2
(5)

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