連続時間信号

制御数学
Basic Mathematics for Control Engineers
講義予定
第 1回
第 2回
第 3回
第 4回
第 5回
第 6回
第 7回
第 8回
第 9回
第10回
第11回
第12回
第13回
第14回
第15回
第16回
信号とシステム
線形時不変システム
ラプラス変換
ラプラス変換の性質
逆ラプラス変換
信号のノルム
中間試験
離散時間信号とシステム
離散時間LTIシステム
ｚ変換
逆ｚ変換
行列式・逆行列
固有値・行列のランク
行列の対角化
期末試験
答案返却と解説
知能制御工学コース2年生前期
火曜日3限選択必修 2単位
担当：西田健准教授
教科書
「信号・システム理論の基礎」
足立修一，コロナ社
「制御工学演習」
明石，今井，共立出版
第1回
信号とシステム
1.1 信号の分類
信号（signal）：物理系の状態に関する情報をなんらかの方法で伝達する量
離散化（discretization）：連続した信号をとびとびの値に分割すること。
量子化（quantization）：連続信号を離散値で近似的に表現すること。
離散化
量子化
時間 [s]
第1回
信号とシステム
1.1 信号の分類
取り扱う時間が連続か離散かによって信号を分類
連続時間信号（continuous-time signal）
アナログ信号（analog signal）
連続振幅
多値信号（multi-level signal）
離散振幅
離散時間信号（discrete-time signal）
サンプル値信号（sampled signal）：離散間隔でサンプルされた信号
ディジタル信号（digital signal）
：サンプル値信号を量子化した信号
第1回
信号とシステム
1.1 信号の分類
システム（system）入力信号𝑥(𝑡)を出力信号𝑦(𝑡)に写像するもの
入力信号
𝑥(𝑡)
出力信号
システム
𝑦(𝑡)
連続時間システム（continuous-time system）
離散時間システム（discrete-time system）
第1回
信号とシステム
1.2 基本的な連続時間信号
1.2.1 正弦波信号（sinusoidal signal）
𝑥 𝑡 = 𝐴cos 𝜔0 𝑡 + 𝜙
𝑡 : 時間[s]
𝐴 : 振幅（magnitude）
𝜔0 : 角周波数（angular frequency） [rad/s]
𝜙 : 位相（phase） [rad]
𝜔0 = 2π𝑓0
𝑓0 : 周波数（frequency） [Hz]
第1回
信号とシステム
1.2 基本的な連続時間信号
1.2.1 正弦波信号（sinusoidal signal）
周期性
すべての𝑡に対して
𝑥 𝑡 = 𝑥(𝑡 + 𝑇)
が成り立つような整数𝑇が存在するとき，信号𝑥 𝑡 は周期𝑇の周期信号
と呼ばれる．
またこの式を満たす𝑇は無数存在するが，その中で最小の整数𝑇0 を
基本周期と呼ぶ。
また，基本周期に対応する𝜔0 を基本角周波数と呼ぶ．
2π
1
𝑇0 =
=
𝜔0
𝑓0
第1回
信号とシステム
1.2 基本的な連続時間信号
1.2.2 複素指数信号（complex exponential signal）
𝑥 𝑡 = 𝐶𝑒 𝑎𝑡
（１） 𝑪と𝒂がともに実数の場合
𝑎<0
減少実指数信号
𝑎>0
増大実指数信号
𝑥 𝑡
0
𝑡
第1回
信号とシステム
1.2 基本的な連続時間信号
1.2.2 複素指数信号（complex exponential signal）
𝑥 𝑡 = 𝐶𝑒 𝑎𝑡
Im
𝑗
（２） 𝒂が純虚数の場合
𝑥 𝑡 =
絶対値
偏角
sin𝜔0 𝑡
𝐶=1
𝑗𝜔
𝑡
0
𝑒
𝑗 = −1
𝑥 𝑡
= 1, ∀𝑡
∠𝑥 𝑡 = 𝜔0 𝑡
𝑒 𝑗𝜔0𝑡 = 𝑒 𝑗𝜔0(𝑡+𝑇)
2π
𝑇0 =
𝜔0
オイラーの関係式
𝑒 𝑗𝜔0𝑡 = cos𝜔0 𝑡 + 𝑗sin𝜔0 𝑡
𝜔 →大
𝜔0 𝑡
−1
0
−𝑗
1
cos𝜔0 𝑡
Re
𝑡=0
𝑒 𝑗𝜔0𝑡 = 1
第1回
信号とシステム
1.2 基本的な連続時間信号
1.2.2 複素指数信号（complex exponential signal）
（２） 𝒂が純虚数の場合
𝑒 𝑗𝜔0𝑡 = cos𝜔0 𝑡 + 𝑗sin𝜔0 𝑡
𝑒 −𝑗𝜔0𝑡 = cos𝜔0 𝑡 − 𝑗sin𝜔0 𝑡
1 𝑗𝜔 𝑡
𝑒 0 + 𝑒 −𝑗𝜔0 𝑡
2
1 𝑗𝜔 𝑡
sin𝜔0 𝑡 =
𝑒 0 − 𝑒 −𝑗𝜔0 𝑡
2𝑗
cos𝜔0 𝑡 =
𝐴 𝑗𝜙 𝑗𝜔 𝑡
𝐴cos 𝜔0 𝑡 + 𝜙 =
𝑒 𝑒 0 + 𝑒 −𝑗𝜙 𝑒 −𝑗𝜔0 𝑡
2
𝐴 𝑗𝜙 𝑗𝜔 𝑡
𝐴sin 𝜔0 𝑡 + 𝜙 =
𝑒 𝑒 0 − 𝑒 −𝑗𝜙 𝑒 −𝑗𝜔0𝑡
𝑗2
𝐴cos 𝜔0 𝑡 + 𝜙 = 𝐴 ∙ Re[𝑒 𝑗(𝜔0𝑡+𝜙) ]
𝐴sin 𝜔0 𝑡 + 𝜙 = 𝐴 ∙ Im[𝑒 𝑗(𝜔0 𝑡+𝜙) ]
第1回
信号とシステム
1.2 基本的な連続時間信号
1.2.2 複素指数信号（complex exponential signal）
（３） 𝑪と𝒂がともに複素数の場合
𝑥 𝑡 = 𝐶𝑒 𝑎𝑡
𝐶 = 𝐶 𝑒 𝑗𝜃 : 周期的複素指数信号
𝑎 = 𝜎 + 𝑗𝜔0 ：複素数
𝑥 𝑡 = 𝐶 𝑒 𝑗𝜃 𝑒 (𝜎+𝑗𝜔0)𝑡 = 𝐶 𝑒 𝜎𝑡 𝑒 𝑗(𝜔0𝑡+𝜃)
= 𝐶 𝑒 𝜎𝑡 cos 𝜔0 𝑡 + 𝜃 + 𝑗 𝐶 𝑒 𝜎𝑡 sin 𝜔0 𝑡 + 𝜃
= 𝐶 𝑒 𝜎𝑡 cos 𝜔0 𝑡 + 𝜃 + 𝑗 𝐶 𝑒 𝜎𝑡 cos 𝜔0 𝑡 + 𝜃 −
（a）𝜎 < 0のとき
減衰正弦波
（b）𝜎 = 0のとき
正弦波
（c）𝜎 > 0のとき
増加正弦波
𝜋
2
第1回
信号とシステム
1.2 基本的な連続時間信号
1.2.3 単位ステップ信号（unit step signal）
0,
𝑢𝑠 (𝑡) =
1,
𝑡<0
𝑡≥0
𝑢𝑠 (𝑡)
𝑢𝑠 (𝑡)
1
1
∆→ 0
0∆
0
𝑡
𝑢𝑠 (𝑡) = lim 𝑢∆ (𝑡)
∆→0
𝑡
𝑢𝑠 𝑡 =
∞
𝛿 𝜏 d𝜏 =
−∞
𝛿 𝑡 − 𝜎 d𝜎
0
𝑡
第1回
信号とシステム
1.2 基本的な連続時間信号
1.2.4 単位インパルス信号（unit impulse signal）
1
𝛿∆ (𝑡) = ∆ , if 0 < 𝑡 < ∆
0, otherwith
∞
𝛿 (𝑡) d𝑡 = 1
−∞
𝛿 𝑡 = 0, if 𝑡 ≠ 0
単位インパルス信号は
単位面積を持つ．
原点以外では単位インパルス信号
の値は0である．
任意の信号𝑥(𝑡)に対して以下が成立する．
∞
𝑥(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑎) d𝑡 = 𝑥(𝑎)
−∞
𝑥(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑎)=𝑥(𝑎)𝛿(𝑡 − 𝑎)
𝛿∆ (𝑡)
1
∆
∆→ 0
1
𝛿(𝑡)
𝛿(𝑡) = lim 𝛿∆ (𝑡)
∆→0
0
∆
𝑡
0
𝑡
第1回
信号とシステム
1.2 基本的な連続時間信号
1.2.5 矩形信号（rectangle signal）
0,
rect(𝑡) =
1,
𝑡 ≥ 0.5
𝑡 < 0.5
rect(𝑡)
1
0
−0.5
0.5
𝑡
第1回
信号とシステム
1.2 基本的な連続時間信号
1.2.6 符号信号
1, 𝑡 > 0
sgn(𝑡) =
−1 𝑡 < 0
sgn(𝑡)
1
0
𝑡
−1
第1回
信号とシステム
1.3 基本周期
二つの正弦波の信号の和
𝑓(𝑡) = cos 𝜔1 𝑡 + cos 𝜔2 𝑡
が，周期𝑇の周期信号であるためには，周波数の比が次式のように
有理数にならなければならない．
𝜔2 𝑚
=
𝜔1 𝑛
例題）
𝑡
𝑡
𝑓(𝑡) = cos + cos
3
4
𝑡
𝑡
𝑡+𝑇
𝑡+𝑇
cos + cos = cos
+ cos
3
4
3
4
𝑇
= 2𝜋𝑚
3
𝑇
= 2𝜋𝑛
4
cos(𝑡 + 2𝜋𝑚) = cos 𝑡
𝑇 = 6𝜋𝑚 = 8𝜋𝑛
𝑚 = 4, 𝑛 = 3, 𝑇 = 24𝜋
第1回
信号とシステム
1.4 信号の分解
信号𝑥(𝑡)が
𝑥(−𝑡) = 𝑥(𝑡)
を満たすとき、偶信号（even signal）と呼ばれる．
𝑥 −𝑡 = −𝑥(𝑡)
を満たすとき、奇信号（odd signal）と呼ばれる．
任意の信号𝑥 𝑡 は，偶信号の部分ℰ𝒱{𝑥 𝑡 }と奇信号の部分𝒪𝒟{𝑥 𝑡 }の和に
分解することができ，これを偶奇分解という．
𝑥 𝑡 = ℰ𝒱 𝑥 𝑡
ℰ𝒱 𝑥 𝑡
𝒪𝒟 𝑥 𝑡
+ 𝒪𝒟{𝑥 𝑡 }
1
= {𝑥 𝑡 + 𝑥(−𝑡)}
2
1
= {𝑥 𝑡 − 𝑥(−𝑡)}
2
第1回
信号とシステム
1.5 信号の操作
（1）信号の反転
𝑥(𝑡)
𝑥(−𝑡)
0
0
𝑡
𝑡
（2）時間軸スケーリング
𝑥(𝑡)
（3）時間軸推移
𝑥(𝑡)
0
𝑡
𝑥(𝑡)
0
0
𝑥(𝑡)
𝑡
𝑥(𝑡)
𝑘
𝑡
0
0
𝑡
𝑥(𝑡)
𝑡
𝑘 0
𝑡
第1回
信号とシステム
1.6 システム
力学システム（mechanical system）
ダンパ 𝑏
バネ 𝑘
質点 𝑚
𝑓
𝑥
d2 𝑥(𝑡)
d𝑥(𝑡)
𝑚
+𝑏
+ 𝑘𝑥 𝑡 = 𝑓(𝑡)
2
d𝑡
d𝑡
第1回
信号とシステム
1.6 システム
電気回路（electric circuit）
𝐿
𝑅
+𝑞(𝑡)
𝑒(𝑡)
𝑖(𝑡)
−𝑞(𝑡)
d2 𝑞(𝑡)
d𝑞(𝑡) 1
𝐿
+𝑅
+ 𝑞 𝑡 = 𝑒(𝑡)
2
d𝑡
d𝑡
𝐶
𝐶

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