(2) g(®)=0 (3)

年番号
1
A; B は実数で A11 = 8，B13 = 4 であるとする．整数 x; y が Ax ¢ By = 2
3
を満たすとき， x + y の最小値とそのときの x; y の値を求めよ．
氏名
実数 p; q に対して，
f(x) = x2 + px + q;
（宮城教育大学 2016 ）
g(x) = x3 ¡ 3x
とおく．2 次方程式 f(x) = 0 の 2 つの解を ®; ¯ として，次の問に答えよ．
(1) 2 次方程式の解と係数の関係を用いて，積 g(®)g(¯) を p; q を用いて表せ．
(2) g(®) = 0 または g(¯) = 0 であるとき，点 (p; q) の集合を座標平面上に
図示せよ．
2
p; q を自然数として，p > q とする．等差数列 fan g の初項から第 n 項まで
p
q
の和を Sn とするとき，Sp =
，Sq =
が成り立つとする．次の問に
q
p
答えよ．
(1) 数列 fan g の初項と公差を p; q を用いて表せ．
(2) 自然数 m に対して，数列 fan g の初項から第 2m 項までの和の逆数を bm と
する．このとき，数列 fbn g の初項から第 n 項までの和を求めよ．
1
P
(3) (2) の数列 fbn g について無限級数
bn の和が 48 であり，数列 fan g の第
n=1
17
であるとき，p と q を求めよ．
p + q 項が
48
（宮城教育大学 2015 ）
(3) g(®) = 0 または g(¯) = 0 ならば，® と ¯ は実数であることを示せ．
（宮城教育大学 2015 ）
4
長方形 ABCD の対角線 AC 上に点 P をとり，
AB =
B
3;
ÎAPB = ®;
ÎCPD = ¯;
ÎBAC = µ
とする．ただし，P は A，C 以外の点である．次の問に答えよ．
(1) AP の長さを ®; µ を用いて表し，PC の長さを ¯; µ を用いて表せ．
cos ¯
cos ®
+
を µ を用いて表せ．
(2)
sin ®
sin ¯
B
¼
のとき，® を求めよ．
(3) BC = 2 + 7; ¯ =
6
（宮城教育大学 2015 ）
5
f(x) =
x
とする．以下の問に答えよ．
(2x ¡ 1)(x ¡ 2)
(1) g(x) = 2x3 ¡ 6x + 5 とする．このとき，¡3 < ® < ¡1 かつ g(®) = 0
をみたす ® が存在することを示せ．さらに，x < ® では g(x) < 0 であり，
x > ® では g(x) > 0 であることを示せ．
7
関数 f(x) が
f(x) = 3x2 ¡
Z
1
0
f(t) dt
をみたすとき，次の問に答えよ．
(2) (1) の ® を用いて，関数 y = f(x) の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そ
のグラフの概形をかけ．
（宮城教育大学 2015 ）
1
とおくことにより解け．
(1) 方程式 4x3 ¡ 6x2 + 1 = 0 を x =
u
Z1
(2)
f(t) dt = 3a2 とおくとき，a の値を求めよ．ただし，a = 0 とする．
0
（宮城教育大学 2015 ）
6
実数 p; q に対して，
f(x) = x2 + px + q;
g(x) = x3 ¡ 3x
とおく．2 次方程式 f(x) = 0 の 2 つの解を ®; ¯ として，次の問に答えよ．
(1) 2 次方程式の解と係数の関係を用いて，積 g(®)g(¯) を p; q を用いて表せ．
(2) g(®) = 0 または g(¯) = 0 であるとき，点 (p; q) の集合を座標平面上に
図示せよ．
(3) g(®) = 0 または g(¯) = 0 ならば，® と ¯ は実数であることを示せ．
（宮城教育大学 2015 ）

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