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1
y = x3 + x2 − x より，
y 0 = 3x2 + 2x − 1 = (3x − 1)(x + 1)
x
y0
y
···
+
%
−1 · · ·
0
−
1
&
1
3
0
5
− 27
···
+
%
円 x2 + y 2 = 2 と曲線 C は |x| 5 1 の範囲では (1, 1) と (−1, 1) のみで共有点をもつから，求める面積は下図の斜線
部分の面積である．
y
√
2
1
−1
O
1
√
− 2
したがって，求める面積を S とすると，
∫ 1
√
√
1
π 1
× ( 2)2 × − × ( 2)2 +
{1 − (x3 + x2 − x)}dx
2
2
2
−1
∫ 1
π
= −1+2
(−x2 + 1)dx
2
0
[ 3
]1
x
π
= −1+2 − +x
2
3
0
π 1
= +
2
3
::::::
S=
√
x
2
2
ボタンを 1 回押したとき「はずれ」の表示される確率を p とする．
装置のボタンを 20 回押したとき，1 回以上「あたり」の出る確率は 36 ％なので，余事象の確率を考えて，
1−p
20
36
=
すなわち， p =
100
1
( ) 10
4
1
······°
5
この装置のボタンを n 回押したとき，1 回以上「あたり」の出る確率が 90 ％以上となるとすると，
1 − pn =
pn 5
90
100
1
10
log10 pn 5 −1
1 より，
°
n
23
log10
5 −1
10
10
n
(3 log10 2 − 1) 5 −1
10
3 log10 2 − 1 < 0 より，
n=
10
2
······°
1 − 3 log10 2
ここで，0.3010 < log10 2 < 0.3011 であるから，
10
10
10
<
<
1 − 3 · 0.3010
1 − 3 log10 2
1 − 3 · 0.3011
10
10
10
<
<
0.097
1 − 3 log10 2
0.0967
103.09 · · · <
10
< 103.41 · · ·
1 − 3 log10 2
2 を満たす最小の自然数 n を考えて，1 回以上「あたり」の出る確率が 90 ％以上となるためには，ボタン
よって，°
を最低 104 回押せばよい．
:::::
3
n 進法で表記されている 212 = 1331 を十進法で表すと，
1
2n+2 = n3 + 3n2 + 3n + 1 すなわち， 2n+2 = (n + 1)3 · · · · · · °
1 の両辺の素因数 2 に着目すると，
°
2
n + 1 = 2k (k は負でない整数) · · · · · · °
1 に代入して，
とおける．°
2n+2 = (2k )3
2 の指数に着目すると，
3
n + 2 = 3k · · · · · · °
2 °
3 より，n を消去すると，
°,
4
1 = 3k − 2k · · · · · · °
a となることを数学的帰納法で示す．
ここで，k = 4 のとき 3k − 2k < 0 (· · · · · · °)
a は成り立つ．
( i ) k = 4 のとき，3 · 4 − 24 = −4 < 0 より，°
a が成り立つと仮定すると，
(ii) k = l (l = 4) のとき，°
b
3l − 2l < 0 · · · · · · °
b から，
k = l + 1 のとき，°
3(l + 1) − 2l+1 < 2l + 3 − 2l+1 = 3 − 2l 5 3 − 24 < 0
a は成り立つ．
よって，k = l + 1 のときにも °
a は成り立つので，°
4 を満たす k は 3 以下に限られ，
( i )，(ii) より，k = 4 のとき °
k = 1, 3
4 を満たす．k = 1 のとき，n = 1 となり不適．
のときに °
1 を満たす．
k = 3 のとき，n = 7 となり °
以上より，n = :
7
4 を満たす k が有限になることは下のグラフを用いることにより予想できる．
〈注〉°
答案ではこのことを数学的帰納法で代数的に示している．
y
y = 2k
y = 3k
O
1
2 3
4
k
５
f (x) が条件（ロ）を満たすとすると，f (x) の係数はすべて実数であることから，3 次方程式 f (x) = 0 の 3 つの解は
x = α, α, r（ただし，r は実数，αは虚部が正である虚数 · · · (※)）
とおける．さらに，条件（イ）も成り立つとすると，r 3 も f (x) = 0 の解であることから，
r3 = r すなわち r = 0, 1, −1
また，α3 も f (x) = 0 の解であることから，
α3 = r, α, α
(I) α3 = r のとき
(α)3 = α3 = r = r より，(α)3 も f (x) = 0 の解である．
(i) r = 0 のとき，α = 0 となり，（※）に反する．
(ii) r = 1 のとき，
α3 = 1 ⇔ (α − 1)(α2 + α + 1) = 0
√
−1 + 3 i
であり，（※）に注意すると，α =
2
解と係数の関係より，
a = −(α + α + r) = 0, b = αα + αr + αr = 0, c = −ααr = −1
この a, b, c, α に対して f (x) は条件（イ）（ロ）を満たす．
(iii) r = −1 のとき，
α3 = −1 ⇔ (α + 1)(α2 − α + 1) = 0
であり，（※）に注意すると，α =
1+
√
3i
2
解と係数の関係より，
a = −(α + α + r) = 0, b = αα + αr + αr = 0, c = −ααr = 1
この a, b, c, α に対して f (x) は条件（イ）（ロ）を満たす．
(II) α3 = α のとき
α = 0, 1, −1 であるから，（※）に反する．
(III) α3 = α のとき
(α)3 = α3 = α より，(α)3 も f (x) = 0 の解である．
α = p + qi (p, q は実数で q > 0) と表せて，
(p + qi)3 − (p − qi) = 0
(p3 − 3pq 2 − p) + (3p2 q − q 3 + q)i = 0
となり，p, q は実数であるから，

p3 − 3pq 2 − p = 0 · · · °
1
2
3
3p q − q + q = 0 · · · °
2
(i) p = 0 のとき，°
1 が成り立ち，q > 0 に注意すると °
2 より q = 1
このとき α = i, α = −i であり，解と係数の関係より，
a = −(α + α + r) = −r, b = αα + αr + αr = 1, c = −ααr = −r
(r = 0, 1, −1)
となる．この a, b, c, α に対して f (x) は条件（イ）（ロ）を満たす．
(ii) p 6= 0 のとき，°
1 の両辺を p で割ると，
p2 − 3q 2 − 1 = 0 · · · °
10
さらに，°
2 の両辺を q(> 0) で割ると，
3p2 − q 2 + 1 = 0 · · · °
20
°
2 0 より，
1 0, °
3(3q 2 + 1) − q 2 + 1 = 0
q2 = −
1
2
となり，q は実数でない．
以上より，求める 3 次式 f (x) は
f (x) = x3 + x, x3 + x2 + x + 1, x3 − x2 + x − 1, x3 + 1, x3 − 1
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