3次元極座標をやる前に 復習をします。

3次元極座標をやる前に
復習をします。
1.三角関数の復習(高校数学)
2.2次元極座標の復習(高校の数学B)
3.円筒座標の復習(前期)
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三角関数の復習
高校の数学1,数学2
図のように、直角三角形を置く。
(角度φが水平からの角度、直角部分が右下)
水平の辺
cos  
斜辺
垂直の辺
sin =
斜辺
斜辺
φ
水平の辺
高校では、角度はθ(シータ)を用いたが、
後で極座標や円筒座標と比較するために、
φ(ファイ)を使っている。
垂直の辺
2次元極座標
高校の数学3の復習
質点の位置P(x,y)を2次元極座標(r,φ)で表す。
x  r cos 
y  r sin 
y
P(x,y)
r
r≧0
0≦φ<2π
高校ではθを使うが、
後の都合でφを
使っている。
0
φ
x
質問:なぜφの範囲を0からπにして、
rをマイナスも考えないか?
ぐるっと回った時に、
rがプラスからマイナスになるのは、
不連続な変化になってしまう。
rはずっとプラスにしておく。
y
0
x
2次元極座標、続き
r=一定の図形
y
半径rの円
x
0
φ=一定の図形
半直線
y
0
x
円筒座標系(前期の復習)
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教科書p.2の1-1図の右
z
質点の位置P(x,y,z)を円筒座標(r,φ,z)で表す。
円筒座標系
x  r cos 
y  r sin 
zz
0
x
P(x,y,z)
φ r
Q
点P(x,y,z)のxy平面上への射影を
Qとする。
OQの長さがr, x軸からOQへの角度がφ
φ(ファイ) 角度によく使う記号。
0≦φ<2π
z=0にすると、2次元極座標になる。
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y
円筒座標系:大きく書くと
質点の位置P(x,y,z)を円筒座標(r,φ,z)で表す。
x  r cos 
z
P(x,y,z)
y  r sin 
zz
0
φ
x
y
r
Q
円筒座標系の問題
前期の復習
問題 「r=一定」「φ=一定」「z=一定」は
それぞれどのような面になるか。
それぞれ3次元空間内に図示せよ。
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教科書p.2の1-1図の右
前期の復習
円筒座標
z
P
0

x
P(x, y, z)
y
r
Q
x  r cos 
y
xy平面
y  r sin 
Q
r

O
zz
x
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一定の図形
z=一定
x
前期の復習
z
0
xy面からの距離が一定。
無限に広がる平面
y
r=一定
r
x
0
y
円筒座標のrの定義に注意。
xy平面に射影した時の原点からの
距離
(つまり、z軸との距離)
r=一定は、円筒の側面になる。
上下に無限に続いている。
一定の図形、続き
前期の復習
φ一定
φはxy面上に射影した時の、
x軸からの角度。
0
x

y
φ=一定の図形は、
半平面。上、下、rが大きくなる方向
には無限に広がる。
z軸の反対側には行かない。
φの範囲は0から2π。
反対側は違うφになる。
参考:極座標(後期に詳しくやります。)
z
θ
0
x

P
P(x,y,z)
z
r
Q
r
Q
θ
y
O
y
y
Q
O

x
x
角度が2種類必要。片方がθ、もう片方がφ。
-> 円筒座標の角度φと同じ測り方。
rの取り方が違うことに注意。
極座標では原点からの距離。
円筒座標では、xy面上に射影してから、原点からの距離。
極座標は球対称な場を考えるときに使う。
例:電荷が球状に分布している場合。
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円筒座標を使うメリット
・円運動、らせん運動、円筒の
対称性を持つ系
(例えば直線電流の周りの磁場)を
扱いやすい。
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3次元極座標
15
補足
不等号
同じ意味です。
≦
高校ではこちら
水平線が2本。

大学ではこちらが多い。
水平線が1本。
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教科書p.2の図1-1の真ん中の図も参照
z
P(x,y,z)
ある点Pの直交座標(x, y, z)と
極座標(r, θ、φ)の関係
r
θ
0
r: 点Pから原点までの距離
y

θ:z軸からOPへの角度
x
Q
φ:x軸からOQへの角度
(点Qは点Pをxy平面に投影した点)
3次元極座標
問題 直交座標x, y, zと、極座標r, θ、φの関係は
以下であることを示せ。
x  r cos  sin 
0    2π
y  r sin  sin 
0   π
z  r cos 
0r
←不等号に注意
θは両方とも
≦(イコールあり)
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解答
z
θ
0
x

P
P(x,y,z)
z
r
Q
r
Q
θ
y
O
y
z  r cos 
OQ  rsin
y
Q
O

x
x
x  OQ cos   r sin  cos 
y  OQ sin   r sin  sin 
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y
なぜθはπまで、φは2πまでか?
r
0
θ
x
2次元空間は、x,yの正負により、4つの象限に分けられる。
2次元極座標だと、角度は1個でよくて、0から2π。
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なぜθはπまで、φは2πまでか? z
P(x,y,z)
θ
0
x

r
y
Q
3次元空間は、x,y,zの正負により、8個の象限に分けられる。
角度は2個必要。1個めの角度が0から2πで平面上の回転。
2個めはz方向の角度で、0からπでよい。
(もしz方向も0から2πにすると、余分になる。)
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3次元極座標の問題
z
P(x,y,z)
θ
0
x

x  r cos  sin 
0    2π
y  r sin  sin 
0   π
z  r cos 
r
0r
y
問題4 3次元空間内で、以下の図形をそれぞれ描け。
(別々の図にすること。)
(a) r=一定、
(b) φ=一定、
(c) θ=一定、
(d) r=一定、φ=一定
(e) r=一定、θ=一定、
(f) φ=一定、 θ=一定
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問題の解答
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
r=一定、球面
φ=一定、 z軸からφ方向に伸びる面。xy面に垂直。
θ=一定、 円錐。
r=一定、φ=一定
北極と南極を結ぶ線。半円の周。
r=一定、θ=一定、
赤道に平行な線。円形。
φ=一定、 θ=一定
中心からまっすぐ伸びる線。
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(a)の解答
半径rの球面
(中身ではなくて皮のみ)
r=一定
z
0
r
y
x
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(b)の解答
φ一定
円筒座標の場合と同じ。
0
x

y
φはxy面上に射影した時の、
x軸からの角度。
φ=一定の図形は、
半平面。上、下、rが大きくなる方向
には無限に広がる。
z軸の反対側には行かない。
φの範囲は0から2π。
反対側は違うφになる。
(c)の解答
θ=一定
z
逆向けの円錐の側面
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θ
y
x
解答続き (d) r=一定、φ=一定
y
0
φ
x
x軸から角度φの所にある
縦型の半円の周
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解答続き
(e) r=一定、θ=一定
xy平面に平行な円の周。
θ
(f) φ=一定、θ=一定、
z
原点から伸びる半直線
θ
x
φ
y
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次に、3次元極座標で
体積の微小部分を求める
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教科書p.2の図1-1の真ん中の図も参照
3次元極座標
z
P(x,y,z)
θ
0
x

x  r cos  sin 
0    2π
y  r sin  sin 
0   π
z  r cos 
r
0r
y
問題1 極座標の基本単位ベクトル e r , e , e
を図に描け。
(r,θ,φが増える方向の単位ベクトル)
問題2 体積の微小部分を3次元極座標で書くと、
dV  r sin drdd
2
(1)
と書けることを示せ。(図を描いてみること。)
問題3 式(1)を「r≦a、φ、θは全範囲」で積分して、
半径aの球の体積が得られることを確かめよ。
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