人工衛星の軌道計算 ( ) ( ) ( ) ( )

人
人工
工衛
衛星
星の
の軌
軌道
道計
計算
算
【図解と項目】
l-r0
v0cosφ
cosφ
a
a
v0
φ
b
α
ｒ’
r θ
c=(a2-b2)1/2=a-r0
r0
o
a
f
l
a
f’
((ltanφ
(ltanφ)2+(l+(l- r0)2)1/2
φ
l’
2
b
2 1/2
ltanφ
tanφ
r0(l(l-r0)/((
)/((ltanφ
ltanφ) +(l+(l- r0) )
r0cosα
cosα
G = 万有引⼒定数
M = 地球の質量
m = 衛星の質量
g = 地球（海面）の重⼒加速度（9.8m/s2）
R = 地球の半径（6378km）
GM = gR 2
f , f ' = 衛星軌道の焦点（ f = 地球の中心）
l
a = 衛星軌道の⻑半径 =
1 − e2
l
b = 衛星軌道の短半径 =
1 − e2
c
l
l
=
a2 − b2
=
ae
= 衛星軌道の半直弦 =
= 衛星軌道の半直弦 =
=
a − r0
b2
a
b2
a
=
=
r (1 + e cos θ )
=
(r0v0 )2
GM
r (1 + e cos(θ + α ))
=
r0 = 地球の中心から打上げ地点までの距離（地球の半径
v 0 = 衛星の打上げ速度
r , r ' = 動径（ r = 地球の中心から衛星までの距離）
θ
φ
α
(r0 v0 cos φ )2
GM
+ 打上げ⾼度）
= 衛星の軌道方位角（真近点角）
= 衛星の打上げ仰角
= 積分定数（下記運動方程式から軌道方程式では
1/10
C3
と表記）
：
φ＝0
：
φ≠0
e
= 衛星軌道の離心率 =
a 2 − b2
a
=
c
a
=
l − r0
r0
：
φ＝0
e
= 衛星軌道の離心率 =
a 2 − b2
a
=
c
a
=
l − r0
r0 cos α
：
φ≠0
：
φ≠0
=
(l tan φ )2 + (l − r0 )2
r0
【軌道方程式】
l
1 + e cos θ
l
r=
1 + e cos(θ + α )
r=
：
φ＝0
：
φ≠0
【項目と軌道方程式の説明】
c = a 2 − b 2 = ae
a2 − b2 c
= ：　離心率
a
a
a + a = r + r ' = l + l ' = 2a
e=
l ' = 2a − l
(2a − l )2
= l 2 + (2ae )
2
4a 2 − 4al + l 2 = l 2 + 4a 2 e 2
4a 2 − 4a 2 e 2 = 4al
(
)
a 1 − e2 = l
  2
a − b2

∴ l = a 1 − 
a
 

r ' = 2a − r




2

2
 b
=
 a ：　半直弦

(2a − r )2 = (2ae + r cos θ )2 + (r sin θ )2
4a 2 − 4ar + r 2 = 4a 2 e 2 + 4aer cos θ + r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ
4a 2 − 4a 2 e 2 − 4ar − 4aer cos θ = r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ − r 2
(
)
(
)
4a 2 1 − e 2 − 4a (r + er cos θ ) = r 2 cos 2 θ + sin 2 θ − 1 = 0
(
)
a 1 − e 2 = r (1 + e cos θ )
2/10
2
  2

2
  a − b  
 b2 
a 1 −

 
 
a
 
 
a
a 1 − e2

∴r =
=
=  
1 + e cos θ
1 + e cos θ
1 + e cos θ
l
：　軌道方程式　=
1 + e cos θ
∴ l = r (1 + e cos θ )　：　半直弦
(
∴e =
)
l − r0
l − r0
=
：　軌道離心率（θ = 0）
r0 cos θ
r0
a : c = a − c : x　：　a − c = r0
c(a − c )
c2
a2 − b2
b2
=c−
=c−
=c−a+
= l − (a − c ) = l − r0
a
a
a
a
c l − r0
r (1 + e cos θ )
l
：　長半径
∴e = =
∴a =
=
2
a
r0
1− e
1 − e2
∴x =
(
)
∴ b = a 2 − c 2 = a 2 − a 2e2 = a 2 1 − e2 = a 1 − e2
=
l
l
1 − e2 ：　短半径
=
2
1− e
1 − e2
【運動方程式から軌道方程式】
∂h
∂h
df +
dg　：　全微分
∂f
∂g
dh ∂h df ∂h dg
∂h
∂h
=
+
⇒ h′ =
f ′+
g′
dt ∂f dt ∂g dt
∂f
∂g
∂k
∂k '
j ′′
k = jj ' ⇒ k'=
j '+
∂j
∂j '
h = fg　⇒ dh =
極座標系(r , θ )による衛星位置( x, y )
x = r cos θ
y = r sin θ
時間(t )で2階微分 ⇒ 加速度( x ′′, y ′′)
x' = r ' cos θ − r sin θθ '
x' ' = r ' ' cos θ − r ' sin θθ '−r ' sin θθ '−(r cos θθ 'θ '+ r sin θθ ' ')
= r ' ' cos θ − 2r ' sin θθ '− r cos θ (θ ') − r sin θθ ' '
y ' = r ' sin θ + r cos θθ '
y ' ' = r ' ' sin θ + r ' cos θθ '+ r ' cos θθ '+ (− r sin θθ 'θ '+ r cos θθ ' ')
2
= r ' ' sin θ + 2r ' cos θθ '− r sin θ (θ ') + r cos θθ ' '
2
3/10
Ar = x' ' cos θ + y ' ' sin θ　：　Ar = 加速度の動径(r )方向成分
(
)
= r ' ' cos θ − 2r ' sin θθ '−r cos θ (θ ') − r sin θθ ' ' cos θ
2
(
)
+ r ' ' sin θ + 2r ' cos θθ '− r sin θ (θ ') + r cos θθ ' ' sin θ
2
= r ' ' cos 2 θ − 2r ' sin θ cos θθ '− r cos 2 θ (θ ') − r sin θ cos θθ ' '
2
+ r ' ' sin 2 θ + 2r ' sin θ cos θθ '− r sin 2 θ (θ ') + r sin θ cos θθ ' '
2
(
) (
)
= r ' ' cos 2 θ + sin 2 θ − r cos 2 θ + sin 2 θ (θ ')
2
d 2r
 dθ 
= r ' '− r (θ ') = 2 − r 

dt
 dt 
Aθ = − x' ' sin θ + y ' ' cos θ　：　Aθ = 加速度の方位角(θ )方向成分
2
2
(
+ (r ' ' sin θ + 2r ' cos θθ '− r sin θ (θ ')
)
= − r ' ' cos θ − 2r ' sin θθ '− r cos θ (θ ') − r sin θθ ' ' sin θ
2
2
)
+ r cos θθ ' ' cos θ
= − r ' ' sin θ cos θ + 2r ' sin θθ + r sin θ cos θ (θ ') + r sin 2 θθ ' '
2
2
+ r ' ' sin θ cos θ + 2r ' cos 2 θθ '− r sin θ cos θ (θ ') + r cos 2 θθ ' '
2
(
)
(
)
= 2r ' sin 2 θ + cos 2 θ θ '+ r sin 2 θ + cos 2 θ θ ' '
= 2 r ' θ '+ r θ ' ' =
( )
2rθ ' r '+ r θ ' ' r θ ' ' 1 d  2 dθ 
=
=
r

r
r
r dt  dt 
2
2
y
Aθ=-x’’sin
’’sinθ
sinθ+y’’
+y’’cos
’’cosθ
cosθ
Aθ
ｒ
Ar
r
θ
y''
θ
-x''
θ
x
x''
Ar=x’’cos
’’cosθ
cosθ+y’’
+y’’sin
’’sinθ
sinθ
4/10
GMm
：　Fr = 力の動径(r )方向成分
r2
Fθ = 0 ：　Fθ = 力の方位角(θ )方向成分
Fr = −
(mAr = Fr , mAθ = Fθ )
運動方程式　d 2r
GM
 dθ 
2 − r 
 =− 2
dt
r
 dt 
r 2θ ' '
d  dθ 
= 0　⇒ r 2θ ' ' == 0 ⇒ r2
=0
r
dt  dt 
d  2 dθ 
r
 = 0 を積分
dt  dt 
dθ
r 2
= C1 ：　C1 = 積分定数
dt
dθ
∴ mr 2
= mC1
dt
dθ
= ω　：　ω = 角速度
dt
dθ
∴ mr 2
= mr 2ω = mrv = 角運動量
dt
t = 0 で　初期値　r = r0 , v = v0 ⇒ mC1 = mrv = mr0 v 0
2
( )
( )
∴ C1 = rv = r 2
dθ
dθ r v
= r0 v0 , = 0 20
dt
dt
r
変数変換
1
1
u = , r =
r
u
dr du dr
dr
1 du
1 dθ du
=
∴ =− 2
=− 2
dt dt du
dt
u dt
u dt dθ
dr
du
 dθ  du
∴ = − r 2
= − r0 v0

dt
dθ
 dt  dθ
d 2r
d 2 r d  1 du 
1 d 2u
1 dθ 2 d 2 u
2 =  − 2
∴ 2 =− 2 2 =− 2
 dt  u dt 
dt
dt
u dt
u dt 2 dθ 2
2
d 2r
 2 dθ  dθ  d u
∴ 2 = − r

 2
dt
 dt  dt  dθ
2
r0 v0 d 2 u
dθ d 2 u
2 2 d u
= − r0 v0
= −r0 v0 2
= −(r0 v0 ) u
dt dθ 2
r dθ 2
dθ 2
5/10
d 2r
d 2u
2
運動方程式　mAr = Fr　に　2 = −(r0 v0 ) u 2
を代入整理
dt
dθ 2
d 2r
d 2r
 r v  GM
 dθ  GM
⇒ 2 = r  0 20  − 2
2 = r 
 − 2 r
dt
r
dt
 dt 
 r 
d 2u
d 2u
GM
2
2 3
2
(
)
∴ −(r0 v0 ) u 2
=
−
⇒
= −u +
r
v
u
GMu
0 0
2
2
dθ
dθ
(r0 v0 )2
2
2
∴
d 2u
GM
+u−
=0
2
dθ
(r0 v0 )2
2階微分方程式を解く（一般解）
上記　u =
1
GM
= C 2 cos(θ + C 3 ) +
：　C 2 , C 3 = 積分定数
r
(r0 v0 )2
θ = 0　のとき、r = 最小（u = 最大）　⇒ C 3 = 0
1
GM
∴ = C 2 cos θ +
r
(r0 v0 )2
(r v )
両辺に　0 0 r　を乗じる
GM
2
 (r v )2

(r v )2
(r v )2
0 0 = r + 0 0 C 2 cos θr = r 1 + 0 0 C 2 cos θ 


GM
GM
GM


∴r =
l
1 + lC 2 cos θ
：　l = 半直弦 =
(r0 v0 )2
GM
t = 0 で　初期値　θ = 0, r = r0
r0 =
l
l
：　lC 2 = 離心率(e ) = − 1
1 + lC 2
r0
離心率(e ) = 0 ⇒l =
(r0 v0 )2
= r0 ⇒ 円軌道
GM
, e = 1, e > 1　e < 1　⇒ 楕円、放物線、双曲線軌道
6/10
以上より軌道方程式は次となる
l
r =
1 + e cos θ
(r0 v0 )2
l
：　l = 半直弦 =
, 離心率(e ) = − 1
GM
r0
また衛星の打上げ角度(φ )を考慮する場合は次のとおり
l
r =
：　C 3 = 積分定数 = 冒頭図のα
1 + e cos(θ + C 3 )
：　l = 半直弦 =
(r0 v0 cos φ )
2
GM
l

 − 1
r

, 離心率(e ) =  0
cos C 3

 l tan φ 
 または、C 3 = cos −1 
：　C 3 = tan −1 

 l − r0 

l − r0
(l tan φ )2 + (l − r0 )2
1
なお　は次となる
cos C 3
tan C 3 =
sin C 3 l tan φ
=
cos C 3
l − r0



sin C 3 
∴ cos C 3 =
=
tan C 3
1
∴
=
cos C 3
l tan φ
(l tan φ )2 + (l − r0 )2
 l tan φ 


 l − r0 



=
l − r0
(l tan φ )2 + (l − r0 )2
(l tan φ )2 + (l − r0 )2
∴ 離心率(e ) =
=
l − r0
l − r0 1
l − r0
=
r0 cos C 3
r0
(l tan φ )2 + (l − r0 )2
l − r0
(l tan φ )2 + (l − r0 )2
r0
7/10




cos C 3 を求めることもできる
また次のように短半径(b )、離心率(e )、　2
2
(
(
r0 v0 )
r0 v0 cos φ )
打ち上げ角度(φ ) ≠ 0 の場合は、半直弦(l 0 ) = ⇒
に変化する
GM
GM
これに伴い短半径(b0 )と離心率(e0 )も短半径 b と離心率 e に変化するが、
 φ
 φ
長半径は変わらない a 0 = a 
φ

2
2
2
2
b
b
b0
b0
φ
φ
2
2
l = l 0 cos φ =
cos φ , l =
⇒ cos φ =
φ
φ
a0
a0
a0
a0
2
∴b
φ
a =
φ
2
= b0 cos 2 φ　⇒ b = b0 cos φ
2
l
φ
1− e
φ
2
φ
∴e
φ
2
= 1−
l
φ
a
φ
⇒ e = 1 −
φ
l
φ
a0
上記より　C 3 は次のように導出できる
 lφ

 − 1
 r

l
0

 = 1− φ
離心率(e ) =
a0
cos C 3
l
 lφ


 φ
 − 1

  r − 1 
 r

0
 0
　
∴ cos C 3 = 
⇒ C 3 = cos −1  
l
l 

φ
φ
1−
 1−


a0
a0 


8/10
【軌道周期と軌道⻑半径の関係】
軌道周期(P )の二乗は軌道長半径(a )の三乗に比例する
(ケプラーの第三法則)
P2
上記より　3 = C（一定）
a
1
3
log C + log a
2
2
横軸に　log a、縦軸に　log P　をとり、太陽系の惑星をプロットすると
log P =
両辺の対数をとると　一直線上に並ぶ
ここで上記　C　は次である
P 2 4π 2
C = 3 =
GM
a
4π 2 a 3
∴P =
GM
軌道周期(P )はケプラーの第二法則より軌道面積( S )を面積速度( A)で除せば
求められる
S = πab = π
S
P = =
A
l
l
πl 2
=
1− e2 1− e2
1 − e2
(
)
3
2
πl 2
(
A 1 − e2
)
3
2
両辺を二乗する
l 
π 2 la 3
P = 2 
 =
A 1 − e2 
A2
ここでケプラーの法則と万有引力の法則の関係を調べる
2
π 2l 
3
1 2 dθ
dθ 2 A
r
∴
= 2
2
dt
dt
r
2
 d 2r
 dθ  
これを運動方程式　m 2 − r 
  = Fr　に代入する
 dt
dt

 

面積速度( A) =
 d 2 r 4 A2 
m 2 − 3  = Fr
r 
 dt
l
次に軌道方程式より　= 1 + e cos θ　の両辺を　t　で微分する
r
l dr
dθ
− 2
= −e
sin θ
dt
r dt
9/10
dθ 2 A
dθ
これに　= 2 を代入して　を消去する
dt
dt
r
2
dr r e2 A
e2 A sin θ
=
sin θ =
2
dt
l r
l
dθ
さらに両辺を　t　で微分して　を消去する
dt
2
2
d r e2 A sin θ dθ e4 A cos θ
=
2 =
l
dt
dt
lr 2
1 l

cos θ =  − 1 を代入する
続いて軌道方程式より　er 
2
d 2 r e4 A 2 1  l
4 A2
 4A
2 =
−
1
=
−


dt
lr 2 e  r 
r3
lr 2
これを上の運動方程式に代入すると次となる
2
 d 2r
 4 A2 4 A2 4 A2
 dθ  
 3 − 2 − 3
m
m 2 − r 
=
 
 dt
dt
lr
r


 r



 4 A2
 = −

 l
m
 2 = Fr
r
 4 A2 

 = C GM と置くと
ここで　l


m
− C GM 2 = Fr
r
これは　Fr　は　m　に比例し　r 2 に反比例することを示しており
万有引力である
4 A2
∴ C GM =
= GM　l
GMl
∴ A2 =
4
P2
したがって　3 は以下となる
a
2
2
P
π la 3 1 π 2 l
4
4π 2
2
3 =
= 2 =π l
=
GMl GM
a
A2 a 3
A
10/10

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