応用音響学 後半第2回 2015/6/9 応用音響学 1 波動としての振る舞いを扱う 2015/6/9 応用音響学 2 こんなニュース 2014/03/07 ダイソン,ヘルムホルツ空洞を活用して 静音化したファン無し扇風機を発売 http://techon.nikkeibp.co.jp/article/NEWS/ 20140307/338753/ 2015/6/9 応用音響学 3 今日の目標 • 平面波の伝搬について,媒質の特性を表す 「音響インピーダンス密度」について理解する • 無限に続く管のときに比べて, 有限の長さの管の,先端が開いているとき, 閉じているときはどのように違って見えるか? • 管の径が変化したらどうなるか? 2015/6/9 応用音響学 4 今日やる諸問題の解き方手順 • 波動方程式を導く • 速度ポテンシャル𝜙の式に書き換える • 𝜙 = 2𝛷ej𝜔𝑡 という振動解を仮定して, 式を解く • 物理的な意味を理解する. 2015/6/9 応用音響学 5 平面波 1次元方向(𝑥方向)に伝搬する波 音の場合,無限に広い振動板で空気を押した場合 媒質が𝑦, 𝑧 方向には移動しない → なので,適当な管を持ってきて一部を切り出しても 現象は変わらない 𝑥 2015/6/9 応用音響学 6 管内の平面波の波動方程式 ∆𝑥 𝑃 𝜕𝑃 𝑃+ ∆𝑥 断面積𝑆の管の中を1次元的に 𝜕𝑥 空気の圧力の変化が伝搬する場合を想定 力は圧力差×面積なので, 𝜕𝑃 𝜕 2𝜁 − ∆𝑥𝑆 = 𝜌∆𝑥𝑆 2 𝜕𝑥 𝜕𝑡 ∆𝑥 𝜁 𝜕𝜁 𝜁 + 𝜕𝑥 ∆𝑥 𝜕𝑃 → − 𝜕𝑥 = 𝜕𝑣 𝜌 𝜕𝑡 𝑣= 𝜕𝜁 𝜕𝑡 (1) 前回までは,管内の空気が一体となって動いていたので, 𝜕𝜁 𝜕𝑃 ∆𝑥 = 0, ∆𝑥 = 0 のときを考えていた. 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2015/6/9 応用音響学 7 ∆𝑥 𝑃 ΔV 𝜕𝑃 𝑃+ ∆𝑥 𝜕𝑥 体積変化の割合 V について考えると 𝜕𝜁 ΔV = 𝜁 − 𝜁 + ∆𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝜁 = − 𝜕𝑥 ∆𝑥𝑆 ∆𝑥 ΔV V 𝜕𝜁 𝑆 なので 𝜕𝜁 = − 𝜕𝑥 𝜁 + 𝜕𝑥 ∆𝑥 𝜁 体積変化に圧力が比例するので, 𝑃= 𝜕𝜁 −𝐾 𝜕𝑥 と書ける この比例定数𝐾を体積弾性率と呼ぶ 両辺時間で偏微分して, 𝜕𝑃 𝜕𝑡 2015/6/9 = 𝜕𝑣 −𝐾 𝜕𝑥 𝑣= 𝜕𝜁 𝜕𝑡 応用音響学 (2) 8 平面波の波動方程式 (1) 𝜕𝑃 − 𝜕𝑥 = 𝜕𝑣 𝜌 𝜕𝑡 と (2) 𝜕𝑃 𝜕𝑡 = 𝜕𝑣 −𝐾 𝜕𝑥 より, 𝜕2𝑃 1 𝜕2𝑃 = 2 2 2 𝜕𝑥 𝑐 𝜕𝑡 𝜕2𝑣 1 𝜕2𝑣 = 2 2 2 𝜕𝑥 𝑐 𝜕𝑡 2015/6/9 応用音響学 𝑐= 𝐾 𝜌 9 (一回目のスライド) 音響コンプライアンス d𝑉 𝑉 であり, この𝛾𝑝0 を体積弾性率𝐾という d𝑉 𝑝=𝐾 𝑉 体積の変化率に対して,圧力がどれくらい変化するかを表す • 𝑝 = 𝛾𝑝0 • 体積弾性率𝐾と音速𝑐の間には,𝑐 = 𝐾 𝜌 という関係がある ので,(授業2回目に導出予定) 𝑝= 2015/6/9 𝜌𝑐 2 𝑉 𝑢 d𝑡 応用音響学 (2) 10 速度ポテンシャル 2本の波動方程式 𝜕2 𝑃 𝜕𝑥 2 = 1 𝜕2 𝑃 𝑐 2 𝜕𝑡 2 𝜕2 𝑣 𝜕𝑥 2 = 1 𝜕2 𝑣 𝑐 2 𝜕𝑡 2 で考えても良いが,音の場合には以下のような速度ポテンシャル 𝜙という量を導入して考える 𝜕𝜙 𝜕𝜙 𝑃 = 𝜌 𝜕𝑡 , 𝑣 = − 𝜕𝑥 𝑣に関して 𝑃に関して 左辺: 𝜕2 𝑃 𝜕𝑥 2 = 1 𝜕2 𝑃 右辺: 2 2 𝑐 𝜕𝑡 𝜕 𝜕2 𝜙 𝜌 𝜕𝑡 𝜕𝑥 2 = 𝜌 𝜕 𝜕2 𝜙 𝑐 2 𝜕𝑡 𝜕𝑡 2 左辺: 𝜕2 𝑣 𝜕𝑥 2 = 1 𝜕2 𝑣 右辺: 𝑐 2 𝜕𝑡 2 𝜕 𝜕2 𝜙 − 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2 = 1 𝜕 𝜕2 𝜙 − 𝑐 2 𝜕𝑥 𝜕𝑡 2 𝜕2𝜙 1 𝜕2𝜙 = 2 2 2 𝜕𝑥 𝑐 𝜕𝑡 2015/6/9 応用音響学 11 速度ポテンシャル 𝜕2𝜙 1 𝜕2𝜙 = 2 2 2 𝜕𝑥 𝑐 𝜕𝑡 この方程式を解き, 𝑃= 𝜕𝜙 𝜌 𝜕𝑡 ,𝑣= 𝜕𝜙 − 𝜕𝑥 を利用して,圧力と粒子速度を算出する 2015/6/9 応用音響学 12 解いてみる 𝜙 = 2𝛷ej𝜔𝑡 とおいて波動方程式に代入. ここで, 𝛷は速度ポテンシャルの複素実効値を表し, 距離𝑥のみの関数 つまり,時間と空間を分けて考える. 時間微分はj𝜔の掛け算になるので, より d2 𝛷 d𝑥 2 2 +𝑘 𝛷 =0 𝑘= 𝜔 𝑐 Φ = 𝐴e−j𝑘𝑥 + 𝐵ej𝑘𝑥 なので, 𝜙 = 2 𝐴ej 2015/6/9 𝜔𝑡−𝑘𝑥 応用音響学 + 𝐵ej 𝜔𝑡+𝑘𝑥 13 j 𝜔𝑡−𝑘𝑥 e ? sin(2𝑡 − 1𝑥) 𝑡 𝑥 値が一定となるのは, 𝜔𝑡 − 𝑘𝑥 =一定のとき. これを微分して, 𝜔d𝑡 − 𝑘d𝑥 = 0 つまり 2015/6/9 d𝑥 d𝑡 = 𝜔 𝑘 を位相速度と呼び,音速を表す. 応用音響学 14 固有音響インピーダンス 𝜙 = 2 𝐴ej 𝜔𝑡−𝑘𝑥 + 𝐵ej 𝜔𝑡+𝑘𝑥 第1項は進行波,第2項は後退波を表す. 管内で反射無く無限遠まで伝搬すると仮定すると, 後退波がなく𝐵 = 0なので,(以下,実効値のみで記述) Φ = 𝐴e−j𝑘𝑥 𝜕𝜙 𝜕𝜙 𝑃 = 𝜌 𝜕𝑡 , 𝑣 = − 𝜕𝑥 の関係から, 𝑃 = j𝜔𝜌𝐴e−j𝑘𝑥 𝑉 = j𝑘𝐴e−j𝑘𝑥 このときの圧力と粒子速度の比を「固有音響インピーダンス」 と呼ぶ. 𝑃 𝜔𝜌 𝜔 = = 𝜌𝑐 𝑘= 𝑉 𝑘 𝑐 2015/6/9 応用音響学 15 固有音響インピーダンス 𝜌𝑐 後で分かるように,伝搬を表現する音響インピーダンスは, 一般的には複素数 固有音響インピーダンスは,反射が無いときの空間の 特性を表す量で,損失を考えなければ実数 → 圧力と粒子速度は同位相の振動 音速と体積弾性率は,𝑐 = 𝐾 𝜌 の関係だったので, 𝑧0 = ρ𝑐 = 𝐾/𝑐 つまり,固有音響インピーダンスは, 媒質の柔らかさに比例する量 2015/6/9 応用音響学 16 固有音響インピーダンス 1.18 三井田惇郎「音響工学」 (昭晃堂) p.21より 2015/6/9 応用音響学 17 寄り道 電気回路で考えると… • 特性インピーダンス 損失がなければ 𝑍0 = 𝐿 𝑅 𝐺 1−𝑗 − 𝐶 2𝜔𝐿 2𝜔𝐶 𝑍0 = 𝐿 𝐶 中島将光「マイクロ波工学」 (森北出版) 1章などを参照 2015/6/9 応用音響学 18 寄り道 どうやって計算していたかというと… 2015/6/9 𝜕𝑣 𝜕𝑖 − = 𝑅𝑖 + 𝐿 𝜕𝑥 𝜕𝑡 − 応用音響学 𝜕𝑖 𝜕𝑣 = 𝐺𝑣 + 𝐶 𝜕𝑥 𝜕𝑡 19 損失がない場合の電信方程式は, 𝜕𝑣 𝜕𝑖 − =𝐿 , 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑖 𝜕𝑣 − =𝐶 𝜕𝑥 𝜕𝑡 一方,音の場合は以下の関係があった. 𝜕𝑃 − 𝜕𝑥 = 𝜕𝑣 𝜌 𝜕𝑡 , 𝜕𝑃 𝜕𝑡 = 𝜕𝑣 −𝐾 𝜕𝑥 なので, 𝐿 → 𝜌, 𝐶 → 1/𝐾 という対応関係がある. 実際… 固有音響インピーダンス 𝑧0 = 𝜌𝑐 = 𝜌𝐾 特性インピーダンス 𝑍0 = 2015/6/9 応用音響学 𝐿 𝐶 20 もう少し寄り道 皮相電力 電流𝐼と電圧𝑉の間に 𝑉 = 𝑍𝐼 = 𝑅 + j𝑋 𝐼 という関係があるとき, 𝑃 = 𝑉 𝐼 = 𝑅 2 + 𝑋 2 𝐼2 なので,単純に𝑉と𝐼を掛けた だけだと,抵抗で消費される分とは別に, リアクタンス分の電力も出てきてしまう. → 皮相電力 抵抗で消費される電力は 𝑃𝑅 = 𝑅𝐼2 → 有効電力 消費されない電力は 𝑃𝑋 = 𝑋𝐼2 → 無効電力 ここで*は複素共役 2015/6/9 𝑃𝑅 = Re[𝐼𝑉 ∗ ] 応用音響学 21 有効電力 (𝑉𝑅 , 𝑉𝑋 ) 有効電力は,𝑉と𝐼の同相成分の積 𝐼𝑉 ∗ = 𝐼𝑅 + j𝐼𝑋 𝑉𝑅 − j𝑉𝑋 = 𝐼𝑅 𝑉𝑅 + 𝐼𝑋 𝑉𝑋 + j 𝐼𝑅 𝑉𝑋 − 𝐼𝑋 𝑉𝑅 複素共役の掛け算をすると, 実部に,内積が出てくる 虚部は,外積で平行四辺形の面積 (𝐼𝑅 , 𝐼𝑋 ) 2015/6/9 応用音響学 22 固有音響インピーダンス 𝑧0 = 𝜌𝑐 = 𝜌𝐾 は常に実数 → 音圧と粒子速度が同相なので,与えられたエネルギー はすべて伝搬に利用される これ以降,音響インピーダンスが虚部を持つものもある → 音圧と粒子速度の間に,同相では無い成分が出てくる ので,与えられたエネルギーがすべて伝搬に利用されるわ けではない 分布定数系回路では,虚部は𝑅と𝐺 → 回路内で消えて,エネルギーとして伝搬されない分 𝑍0 = 2015/6/9 𝐿 𝑅 𝐺 1−𝑗 − 𝐶 2𝜔𝐿 2𝜔𝐶 応用音響学 23 特性インピーダンスというと 出てくるキーワードは… • • • • 反射係数 定在波 インピーダンスマッチング 入力インピーダンス etc. 2015/6/9 応用音響学 24 反射係数 • 異なる媒質の境界で,物理量が連続になるよ うに条件をつける 𝑧1 𝑧2 𝑃1 𝑃2 𝑃1 𝑃1 = 𝑧1 𝑣1 𝑃1 = −𝑧1 𝑣1 𝑃2 = 𝑧2 𝑣2 2015/6/9 𝑃1 + 𝑃1 = 𝑃2 𝑣1 + 𝑣1 = 𝑣2 𝑃1 𝑉1 𝑧2 − 𝑧1 𝑅= =− = 𝑃1 𝑉1 𝑧2 + 𝑧1 応用音響学 25 𝑃1 𝑉1 𝑧2 − 𝑧1 𝑅= =− = 𝑃1 𝑉1 𝑧2 + 𝑧1 1)𝑧1 = 𝑧2 のとき,𝑅 = 0 なので,反射しない. →固有音響インピーダンスの同じ媒質同士が 接しているときには,反射が生じない 2) 𝑧1 ≪ 𝑧2 のとき, 𝑅 = 1 なので,反射する. そのとき,𝑃1 = 𝑃1 なので,端部の圧力変動が2倍 3) 𝑧1 ≫ 𝑧2 のとき, 𝑅 = −1 なので,反射する. そのとき,𝑉1 = 𝑉1 なので,端部の速度変動が2倍 2015/6/9 応用音響学 26 𝑃1 𝑉1 𝑧2 − 𝑧1 𝑅= =− = 𝑃1 𝑉1 𝑧2 + 𝑧1 1)固有音響インピーダンスが2倍違う媒質では, 2𝑧1 = 𝑧2 とすると, 𝑅= 𝑧2 −𝑧1 𝑧2 +𝑧1 = 𝑧1 3𝑧1 = 1 3 程度反射する. 2)固有音響インピーダンスが100倍違うときは, 𝑧2 − 𝑧1 99 𝑅= = = 0.98 𝑧2 + 𝑧1 101 なので,98%の振幅比で反射する 2015/6/9 応用音響学 27 固有音響インピーダンス(再掲) 1.18 三井田惇郎「音響工学」 (昭晃堂) p.21より 2015/6/9 応用音響学 28 反射係数 • マイクロ波ではイメージしにくいものも,音だとイメージ しやすい(のでは?) 例.部屋の中の音が,外に聞こえにくいのはなぜか? 柔らかな空気が壁を押せない → 跳ね返る 例.忍者が足音を聞くときに地面に耳を近づけるのはなぜか? 固い地面の中の振動が,内部で反射してしまい 空気をちゃんと揺すれないので,立ったままでは聞こえない 例.超音波で腹の中を診るときに,ゲルを塗るのはなぜか? 間に空気の層が入ってしまうと,そこで超音波が反射して しまい,中まで入らないから.ゲルを塗ることで柔らかさを 一致させマッチングをとっている. 2015/6/9 応用音響学 29 音叉では… U 音叉の金属と,周囲の空気との 特性音響インピーダンスが大きく異なるため, (空気:~4 × 102 ,鉄:~ 4 × 107 ) うまくエネルギーが伝搬しない → 外に音が漏れない 2015/6/9 応用音響学 30 ではどう使うか? • ネットで「音叉の使い方」で検索すると… 1)歯で噛む 2)耳の中に軽く入れる 3)ギターの筐体に当てる 1),2)は固体内の伝搬で音を聞くため (間に空気を挟まないで音を聞く) 3)は空間をちゃんと押すため (ギターの筐体は共鳴して音が響く構造) 2015/6/9 応用音響学 31 ここからは,管の中の音の話 2015/6/9 応用音響学 32 管の入り口から見た時の 音響インピーダンス密度 • 有限な長さの管について,入り口から見たとき どのようなインピーダンスに見えるか? – 先ほどと違って,端での反射を考えなければならない – その分だけインピーダンスが変化する (固有音響インピーダンスは,反射波がないときに 密度と音速で決まる媒質固有の値) イメージとしては… 無限に長い管のとき→ある一定の硬さの空気の塊 長さが有限のとき,端が壁かどうか等で,硬さが変わる → どれくらいの硬さになるのか? 𝑥 𝑥=𝑙 𝑉0 2015/6/9 𝑃𝑥=0 𝑧0 = 𝑉0 𝑧2 応用音響学 33 𝜕𝜙 𝜕𝜙 Φ = 𝐴e−j𝑘𝑥 + 𝐵ej𝑘𝑥 と 𝑃 = 𝜌 𝜕𝑡 , 𝑣 = − 𝜕𝑥 の関係から 𝑃 = j𝜔𝜌(𝐴e−j𝑘𝑥 + 𝐵ej𝑘𝑥 ) 𝑉 = j𝑘(𝐴e−j𝑘𝑥 − 𝐵ej𝑘𝑥 ) 𝑃 境界条件として,𝑥 = 0 で𝑉 = 𝑉0 ,𝑥 = 𝑙 で𝑧2 = 𝑉 𝑥 = 0: 𝑉0 = j𝑘 𝐴 − 𝐵 𝑥 = 𝑙: 𝑧2 = 𝜔𝜌(𝐴𝑒 −𝑗𝑘𝑙 +𝐵𝑒 𝑗𝑘𝑙 ) 𝑘(𝐴𝑒 −𝑗𝑘𝑙 −𝐵𝑒 𝑗𝑘𝑙 ) これから𝐴と𝐵を求めると(各自でチャレンジ!) 𝑧2 cos 𝑘 𝑙 − 𝑥 + j 𝜌𝑐sin 𝑘(𝑙 − 𝑥) 𝑃= 𝜌𝑐𝑉0 𝜌𝑐 cos 𝑘𝑙 + j𝑧2 sin 𝑘𝑙 𝜌𝑐cos 𝑘 𝑙 − 𝑥 + j 𝑧2 sin 𝑘(𝑙 − 𝑥) 𝑉= 𝑉0 𝜌𝑐 cos 𝑘𝑙 + j 𝑧2 sin 𝑘𝑙 よって, 𝑥 = 0 での音響インピーダンス密度は 𝑃𝑥=0 𝑧2 cos 𝑘𝑙 + j 𝜌𝑐sin 𝑘𝑙 𝑧0 = = 𝜌𝑐 𝑉0 𝜌𝑐 cos 𝑘𝑙 + j𝑧2 sin 𝑘𝑙 2015/6/9 応用音響学 34 開管のとき 管が開いていると,端で圧力が上がらないので, 境界条件として,𝑥 = 0 で𝑉 = 𝑉0 ,𝑥 = 𝑙 で𝑃 = 0 これを代入した j𝑘 𝐴 − 𝐵 = 𝑉0 , 𝐴𝑒 −𝑗𝑘𝑙 + 𝐵𝑒 𝑗𝑘𝑙 = 0 を解くと sin 𝑘 𝑙 − 𝑥 𝑃=j 𝜌𝑐𝑉0 cos 𝑘𝑙 cos 𝑘(𝑙 − 𝑥) 𝑉= 𝑉0 cos 𝑘𝑙 𝑥 = 0 のとき, 2015/6/9 sin 𝑘𝑙 𝑧0 = j𝜌𝑐 = j𝜌𝑐 tan 𝑘𝑙 cos 𝑘𝑙 応用音響学 35 閉管のとき 管が閉じていると,端で粒子は動かないので, 境界条件として,𝑥 = 0 で𝑉 = 𝑉0 ,𝑥 = 𝑙 で𝑉 = 0 これを代入した j𝑘 𝐴 − 𝐵 = 𝑉0 , 𝐴𝑒 −𝑗𝑘𝑙 − 𝐵𝑒 𝑗𝑘𝑙 = 0 を解くと cos 𝑘 𝑙 − 𝑥 𝑃 = −j 𝜌𝑐𝑉0 sin 𝑘𝑙 cos 𝑘(𝑙 − 𝑥) 𝑉= 𝑉0 sin 𝑘𝑙 𝑥 = 0 のとき, 2015/6/9 cos 𝑘𝑙 𝑧0 = −j𝜌𝑐 = −j𝜌𝑐 cot 𝑘𝑙 sin 𝑘𝑙 応用音響学 36 開管・閉管のポイント どちらもインピーダンスが純虚数 𝑧0 = j𝜌𝑐 tan 𝑘𝑙 (開管) 𝑧0 = −j𝜌𝑐 cot 𝑘𝑙 (閉管) → 𝑃と𝑉の位相が,常に90度ずれている 固有音響インピーダンスの時の値は実数𝜌𝑐 →このとき,エネルギーが伝搬されている 2015/6/9 応用音響学 37 開管・閉管のポイント 伝搬されるエネルギーは 𝐼 = 𝑃𝑉 ∗ の実部 𝑃が実数, 𝑉が純虚数の場合には, Re 𝐼 = 0であるから,エネルギーは伝搬されない. (端で𝑧0 = 0 or ∞を考えているので,全反射) 𝑧0 = j𝜌𝑐 tan 𝑘𝑙 (開管) 𝑘𝑙 = 𝑚𝜋 → 𝑙 = 2𝑚+1 𝜋 𝑚𝑐 2𝑓 𝑚 = 2𝜆 2𝑚+1 = 4 𝜆 𝑧0 = −j𝜌𝑐 cot 𝑘𝑙 (閉管) 𝑘𝑙 = → 𝑙 2 のとき,𝑧0 = 0 → 駆動点にて小さな音圧で大きな粒子速度 =これが共振の条件 2015/6/9 応用音響学 38 (1回目の資料より) 集中定数としての音響素子との関係 音響イナータンス 𝜌𝑙 d𝑢 𝑢 𝑝= = j𝜔𝜌𝑙 𝑆 d𝑡 𝑆 𝑧0 = j𝜌𝑐 tan 𝑘𝑙 の 𝑘𝑙 ≪ 1のときが 波長に対して十分サイズが小さいときなので tan 𝑘𝑙 ~𝑘𝑙 と近似すれば, 𝑧0 = j𝜌𝑐𝑘𝑙 = j𝜔𝜌𝑙 音響コンプライアンス 𝜌𝑐 2 𝑝= 𝑉 𝜌𝑐 2 𝑢 𝑢 d𝑡 = j𝜔𝑙 𝑆 𝑧0 = −j𝜌𝑐 cot 𝑘𝑙も同様に, cot 𝑘𝑙 = 2015/6/9 cos 𝑘𝑙 1 ~ sin 𝑘𝑙 𝑘𝑙 と近似すれば, 1 𝜌𝑐 2 𝑧0 = −j𝜌𝑐 = 𝑘𝑙 j𝜔𝑙 応用音響学 39 ここからは管の径が変化する場合 2015/6/9 応用音響学 40 管の太さが徐々に変化したらどうなるか 𝑥 Δ𝑥 断面𝑆0 2015/6/8 𝜕𝑝 音圧𝑝 + 𝜕𝑥 Δ𝑥 𝜕𝑆 断面𝑆 + Δ𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝜁 粒子変位𝜁 + Δ𝑥 𝜕𝑥 音圧𝑝 断面𝑆 粒子変位𝜁 応用音響学 41 直感的な話 細いエリアから広いエリアになる と,空気が四方に逃げられるよ うになるので,急に柔らかくなる 横に逃げた分だけ,エネルギー を伝えられない 太さが少しずつ変化していくと, 徐々に柔らかくなる 無限遠まで広がり続ければ,空 間とナチュラルに接続する 急激なインピーダンス変化のあ る場所で反射が起こるので,下 の条件の方が反射が少ない 2015/6/8 応用音響学 42 考え方の手順(再掲) • 微小区間Δ𝑥にかかっている圧力と, 体積変化の割合との関係から,波動方程式を導く • 速度ポテンシャルの式に書き換える • 𝜙 = 2𝛷ej𝜔𝑡 という振動解を仮定して,式を解く • 物理的な意味を理解する. 2015/6/8 応用音響学 43 断面積変化の分だけ,空気のバネ性が変化する 初期の体積𝑉0 = 𝑆Δ𝑥とする. 𝜁を粒子変位とすると 𝑆𝜁分体積が減少@位置 𝑥 𝑆 𝜕𝑆 + 𝜕𝑥 Δ𝑥 𝜁 𝜕𝜁 + 𝜕𝑥 Δ𝑥 分体積が増加@位置 𝑥 + Δ𝑥 𝑥 Δ𝑥 𝜕𝑝 音圧𝑝 + 𝜕𝑥 Δ𝑥 𝜕𝑆 断面𝑆 + 𝜕𝑥 Δ𝑥 𝑉0 断面𝑆0 2015/6/8 応用音響学 音圧𝑝 断面𝑆 粒子変位𝜁 𝜕𝜁 粒子変位𝜁 + 𝜕𝑥 Δ𝑥 44 𝑆𝜁分体積が減少 @𝑥 𝑆 𝜕𝑆 + Δ𝑥 𝜕𝑥 𝜁+ 𝜕𝜁 Δ𝑥 𝜕𝑥 分体積が増加 @𝑥 + Δ𝑥 以上より,体積変化Δ𝑉は, 𝜕𝑆 𝜕𝜁 Δ𝑉 = 𝑆 + Δ𝑥 𝜁 + Δ𝑥 − 𝑆𝜁 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝜁 𝜕𝑆 𝜕𝜁 𝜕𝑆 = 𝑆Δ𝑥 + 𝜁 Δ𝑥 = 𝑉0 + 𝜁 Δ𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 ただし,Δ𝑥の2乗以上の項は無視 これが体積の変化率 Δ𝑉 𝜕𝜁 𝜁 𝜕𝑆 = + 𝑉0 𝜕𝑥 𝑆 𝜕𝑥 Δ𝑉 −𝐾 𝑉 体積弾性率𝐾との間には,𝑝 = という関係があるから, Δ𝑉 𝜕𝜁 𝜁 𝜕𝑆 𝑝 = −𝐾 = −𝐾 + 𝑉 𝜕𝑥 𝑆 𝜕𝑥 2015/6/8 応用音響学 45 𝑝 = −𝐾 𝜕𝜁 𝜕𝑥 𝜁 𝜕𝑆 + 𝑆 𝜕𝑥 の両辺時間𝑡で微分して 𝜕𝑝 𝜕𝑣 dlog𝑆 = −𝐾 +𝑣 𝜕𝑡 𝜕𝑥 d𝑥 なお,二項目はどう出てきたかというと, dlog𝑆 d𝑥 1 𝜕𝑆 = 𝑆 𝜕𝑥 であり, 断面積𝑆は時間で変化しないことから 𝜕 𝜁 𝜕𝑆 1 𝜕𝑆 𝜕 1 𝜕𝑆 dlog𝑆 = 𝜁=𝑣 =𝑣 𝜕𝑡 𝑆 𝜕𝑥 𝑆 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝑆 𝜕𝑥 d𝑥 2015/6/8 応用音響学 46 𝜕𝑝 𝜕𝑡 = −𝐾 𝜕𝑣 𝜕𝑥 +𝑣 dlog𝑆 d𝑥 これに速度ポテンシャルの定義から 𝑝=𝜌 𝜕𝜙 𝜕𝑡 ,𝑣=− 𝜕𝜙 𝜕𝑥 を代入すると 𝜕2𝜙 𝜕 2 𝜙 𝑑log𝑆 𝜕𝜙 𝜌 2 =𝐾 + 2 𝜕𝑡 𝜕𝑥 d𝑥 𝜕𝑥 𝑐= 𝐾 𝜌 として書き直せば, 𝜕 2 𝜙 dlog𝑆 𝜕𝜙 1 𝜕2𝜙 + = 2 2 2 𝜕𝑥 d𝑥 𝜕𝑥 𝑐 𝜕𝑡 これが断面積が変化する管内の波動方程式 𝜕𝑆 位置によって面積が変化しないとき,つまり𝜕𝑥 = 0のとき, 当然,平面波の式 2015/6/8 𝜕2 𝜙 𝜕𝑥 2 = 1 𝜕2 𝜙 𝑐 2 𝜕𝑡 2 と一致する. 応用音響学 47 開口が徐々に拡がる形状 • コニカルホーン(メガホン型) 𝑥 𝑆 = 𝑆0 𝑥0 • ハイパボリックホーン 𝑆 = 𝑆0 (cosh 2𝑚𝑥 + 𝑇 sinh 2𝑚𝑥) • エキスポネンシャルホーン (ハイパボリックホーンの𝑇 = 1のとき) 𝑆 = 𝑆0 e2𝑚𝑥 𝜕 2 𝜙 dlog𝑆 𝜕𝜙 1 𝜕2𝜙 + = 2 2 2 𝜕𝑥 d𝑥 𝜕𝑥 𝑐 𝜕𝑡 2015/6/8 応用音響学 48 エキスポネンシャルホーンのとき 𝜕 2 𝜙 dlog𝑆 𝜕𝜙 1 𝜕2𝜙 + = 2 2 2 𝜕𝑥 d𝑥 𝜕𝑥 𝑐 𝜕𝑡 は, 𝑆 = 𝑆0 e2𝑚𝑥 より 𝜕2𝜙 𝜕𝜙 1 𝜕2𝜙 + 2𝑚 = 2 2 2 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑐 𝜕𝑡 と簡単になる. ホーン内を進行する音波を𝜙 = 2𝛷ej𝜔𝑡 と仮定し, 𝜔 𝑘 = を使って書き直すと, 𝑐 d2 𝛷 d𝛷 2 + 2𝑚 + 𝑘 𝛷=0 2 d𝑥 d𝑥 2015/6/8 応用音響学 49 平面波の時のように解いてみると… d2 𝛷 d𝛷 2 + 2𝑚 + 𝑘 𝛷=0 2 d𝑥 d𝑥 𝛷 𝑥 = 𝐴e𝑠𝑥 と仮定して微分を置き換えると 𝑠 2 + 2𝑚𝑠 + 𝑘 2 = 0 解くと,𝑠 = −𝑚 ± 𝑚2 − 𝑘 2 波動解を与えるのは,𝑚2 − 𝑘 2 < 0のときで, このとき解は (−𝑚±j 𝑘 2 −𝑚2 )𝑥 𝛷 = 𝐴e = e−𝑚𝑥 (𝐴e−j 2015/6/8 𝑘 2 −𝑚2 𝑥 応用音響学 j 𝑘 2 −𝑚2 𝑥 + 𝐵e ) 50 無限に続くホーンを考えると… 2 −𝑚2 𝑥 −𝑚𝑥 −j 𝑘 e (𝐴e 𝛷= 反射波はないので, 𝐵 = 0 よって,𝜙 = + 2 −𝑚2 𝑥 j 𝑘 𝐵e ) 2 −𝑚2 𝑥 −𝜔𝑡) −𝑚𝑥 −j( 𝑘 2𝐴e e 音波の位相速度 𝑘 2 − 𝑚2 𝑥 − 𝜔𝑡 =一定 より, d𝑥 𝜔 𝜔 1 𝑐 = = = d𝑡 𝑘 2 − 𝑚2 𝑘 𝑚2 𝑚 2 1− 2 1− 𝑘 𝑘 ここで, 𝑐は自由空間での位相速度. つまり,ホーン内の位相速度は自由空間よりも速くなる 2015/6/8 応用音響学 51 音圧と粒子速度は… −𝑚𝑥 −j 𝑘 2 −𝑚2 𝑥 𝛷 = 𝐴e e 𝜕𝜙 𝜌 𝜕𝑡 𝑃= より, ,𝑉= 𝜕𝜙 − 𝜕𝑥 −𝑚𝑥 −j 𝑘 2 −𝑚2 𝑥 𝑃 = jω𝜌𝐴e 𝑉 = (𝑚 + j e 𝑘2 −𝑚𝑥 −j 𝑘 2 −𝑚2 𝑥 2 − 𝑚 )𝐴e e なので,音響インピーダンス密度は, 𝑃 𝑚 𝑚 𝑧 = = 𝜌𝑐 j + 1 − 𝑉 𝑘 𝑘 2015/6/8 応用音響学 2 52 𝑃と𝑉の位相 𝑃 𝑚 𝑚 𝑧 = = 𝜌𝑐 j + 1 − 𝑉 𝑘 𝑘 2 なので, 𝑃と同相の成分が実部,90度ズレた 成分が虚部に出てきている この𝑧はエキスポネンシャルホーンでは 位置𝑥に依存しない 2015/6/8 応用音響学 53 遮断周波数 少し前のスライドで次のような記述. “波動解を与えるのは,𝑚2 − 𝑘 2 < 0のときで” …ということは, 𝑚2 − 𝑘 2 > 0のときには波動解にならない. 仮定した解の形は 𝛷 𝑥 = 𝐴e𝑠𝑥 なので, ホーンの進行方向に減衰する →この条件の周波数は伝搬できない 𝑚2 − 𝑘2 𝜔 2𝜋𝑓𝑐 ≥0→ 𝑚≥ = 𝑐 𝑐 𝑚𝑐 𝑓𝑐 ≤ 2𝜋 のとき指数減衰する. → ある周波数以下は通らないハイパスフィルタ 2015/6/8 応用音響学 54 𝑃 𝑚 𝑚 𝑧 = = 𝜌𝑐 j + 1 − 𝑉 𝑘 𝑘 2 を,遮断周波数𝑓𝑐 を使って書き換え 𝑓𝑐 = 𝑚𝑐 2𝜋 𝑚 𝑘 2𝜋𝑓𝑐 𝑐 𝜔 𝑐 = より, 𝑚 = = 𝑓𝑐 𝑓 2𝜋𝑓𝑐 𝑐 を使うと なので置き換えて 𝑓𝑐 𝑓𝑐 𝑧 = 𝜌𝑐 j + 1 − 𝑓 𝑓 2015/6/8 応用音響学 2 55 (先週)高域通過フィルタは? • コンデンサCは回路に対して直列に入れられ ない ?? 高域通過フィルタについては,2回目に触れる 2015/6/2 応用音響学 56 ここでやっとさっきのグラフ 𝑓𝑐 𝑓𝑐 𝑧 = 𝜌𝑐 j + 1 − 𝑓 𝑓 2 横軸は「遮断周波数の何倍か?」 を表している. このグラフの実部が1に近づく →音響インピーダンス密度が𝜌𝑐に =空気の特性音響インピーダンス 2015/6/8 応用音響学 57 エクスポネンシャルホーンの形状と 遮断周波数の関係 エクスポネンシャルホーン: 𝑆 = 𝑆0 e2𝑚𝑥 𝑚𝑐 遮断周波数: 𝑓𝑐 = 2𝜋 赤:𝑚 = 1 緑:𝑚 = 2 𝑚が小さいほど低周波を通す 𝑚= 2𝜋𝑓𝑐 𝑐 = 2𝜋 𝜆𝑐 なので, 4𝜋 𝑥 𝜆 𝑐 e 𝑆 = 𝑆0 e2𝑚𝑥 = 𝑆0 よって,𝑥 = 𝜆𝑐 のときに,同じ値e4𝜋 となる. つまり,低い周波数を通そうとするほど, 同じ開口サイズに到達するまでのホーンの長さが長くなる c.f. 低音の楽器ほどホーンの長さが長い. 2015/6/8 応用音響学 58 遮断周波数算出時の別の解釈 先程は,波動解を与えるための条件 𝑚2 − 𝑘 2 < 0 をもとに議論した. (以下言っていることは同じ.言い方が違う) インピーダンスを見てみると, 𝑃 𝑚 𝑚 𝑧 = = 𝜌𝑐 j + 1 − 𝑉 𝑘 𝑘 2 このインピーダンスが純虚数となると,エネルギーが波動として 伝搬しない. 純虚数となる条件は,実部のルートの中身, 1− 2015/6/8 𝑚 2 𝑘 < 0 → あとは同じこと. 応用音響学 59 今日のまとめ 平面波では固有音響インピーダンスは 𝜌𝑐 柔らかさに対応するような量 有限の長さの管の,入り口での音響インピーダンス密度は 𝑃𝑥=0 𝑧2 cos 𝑘𝑙 + j 𝜌𝑐sin 𝑘𝑙 𝑧0 = = 𝜌𝑐 𝑉0 𝜌𝑐 cos 𝑘𝑙 + j𝑧2 sin 𝑘𝑙 これに,各種境界条件を与えると,開管,閉管等の音響イン ピーダンス密度が求まる. 端を全反射条件にすると,エネルギーが伝搬しないので, 音響インピーダンス密度は純虚数 管の径が変化するときに周波数特性を持つ 2015/6/9 応用音響学 60 対応関係一覧 • • d𝑥 𝜔 位相速度 c = = d𝑡 𝑘 𝜔 2𝜋𝑓 2𝜋 波数 𝑘 = = = 𝑐 𝑐 𝜆 2 • 体積弾性率 𝐾 = 𝜌𝑐 • 特性インピーダンス 𝑧 = 𝜌𝑐 = • 速度ポテンシャル 𝑃 = 2015/6/9 応用音響学 𝜕𝜙 𝜌 𝜕𝑡 𝐾 𝑐 ,𝑣= 𝜕𝜙 − 𝜕𝑥 61 次回予告 • 断面が不連続に変化したらどうなる? • 変な空洞がくっついていたらどうなる? • 自由空間への放射をモデル化 • 呼吸音源とは何か? • 呼吸音源を利用して,振動する板から 放射される音波の特性について理解する 2015/6/9 応用音響学 62
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