応用音響学 後半第4回 http://www.hapis.k.utokyo.ac.jp/public/makino/lecture/ 2015/6/30 応用音響学 1 3) 空間中に音響的な壁を作りたい. どのように考えて,どんな物理量を制御 すべきか,自由に記述せよ • 音響インピーダンス=ρcが異なる境界で反射する →ρかcを変化させれば良い – – – – 2015/6/30 温度を変化させる 水滴の壁を作る スピーカアレイで音響的な壁があるのと同じ場を作る (異なる密度の気体で壁を作る) 応用音響学 2 温度を上げると… • 音速cは c=331.5 + 0.61t (Wikipediaより.ただし,摂氏0度付近での近似曲線) なので,温度を上げると比例で上がる • 密度ρは 温度を上げると下がる →温度を上げると音響インピーダンスは 上がる?下がる? 2015/6/30 応用音響学 3 • 𝑐= 𝜅𝑝 𝜌 (𝜅は比熱比, 𝑝は圧力) • 𝜌𝑐= 𝜅𝑝𝜌 なので,圧力一定の条件では 𝜌に比例 • 温度が上がると,音響インピーダンスは下がる https://ja.wikipedia.org/wiki/音速#.E7.89.A9.E6.80.A7.E5.80.A4 2015/6/30 応用音響学 4 音響インピーダンス 430 425 y = -0.7131x + 427.74 420 415 410 405 400 0 10 • 反射係数は 𝑅 = 20 𝑍1 −𝑍2 𝑍2 +𝑍2 30 40 温度(℃) より, • 仮に上記線形近似が100度まで適用されたとすると, 音響インピーダンスは356 • このとき𝑅 = 0.07 :振幅比で7%反射する • 200度のとき音響インピーダンス285 反射係数𝑅 = 0.18 :振幅比で18%反射する 2015/6/30 応用音響学 5 異なる気体の壁を作ると… • He: 密度ρ 0.1785 kg/m3 音速c 970 m/s (0℃ 1atm) なので, ρc = 172.7 • 空気の音響インピーダンスは428なので 𝑍1 −𝑍2 𝑅= より 𝑅 = 0.424 𝑍2 +𝑍2 振幅で42%くらい反射する 2015/6/30 応用音響学 6 前回までのおさらい 球面波の波動方程式は, 𝜕 2 (𝑟𝜙) 1 𝜕 2 (𝑟𝜙) = 2 2 𝜕𝑟 𝑐 𝜕𝑡 2 この解は, 1 −j𝑘𝑟 1 j𝑘𝑟 𝛷=𝐴 e +𝐵 e 𝑟 𝑟 これは例のごとく,第1項が発散する波, 第2項が収束する波を表す. 2015/6/30 応用音響学 7 速度ポテンシャルと音圧,粒子速度の関係は, 𝑃= 𝜕𝜙 𝜌 𝜕𝑡 ,𝑣= 𝜕𝜙 − 𝜕𝑟 だったので, 1 −j𝑘𝑟 𝐴 e 𝑟 j𝜔𝑡 𝜙 = 2𝛷e , 𝛷= j𝜔𝜌 −j𝑘𝑟 𝑃=𝐴 e 𝑟 1 + j𝑘𝑟 −j𝑘𝑟 𝑉=𝐴 e 2 𝑟 2015/6/30 応用音響学 から 8 呼吸音源の半径と 放射インピーダンスの実部虚部の関係 𝑘 2 𝑎2 𝑟𝑎 /𝜌𝑐 = 1 + 𝑘 2 𝑎2 𝑘𝑎 𝑥𝑎 /𝜌𝑐 = 1 + 𝑘 2 𝑎2 三井田惇郎「音響工学」 (昭晃堂) p.53より 2𝜋𝑎 𝑘𝑎 = なので,呼吸音源の円周と波長との比率が横軸 𝜆 (円板の円周を波長で規格化した大きさ) 𝜌𝑐で割っているので, この値が1に近づくほど,固有音響インピーダンスに一致する 2015/6/30 応用音響学 9 点音源 𝑈 −j𝑘𝑟 𝛷= e 4𝜋𝑟 𝑈 −j𝑘𝑟 1 + j𝑘𝑟 −j𝑘𝑟 𝑃 = j𝜔𝜌 e , 𝑉= 𝑈e 2 4𝜋𝑟 4𝜋𝑟 これは,音の強さを𝑈として一定に保ったまま半 径を小さくした極限 2015/6/30 応用音響学 10 手始めに正負二重音源 受音点(𝑟, 𝜃) 𝑟1 𝜃 𝑈 𝑟 2𝑑 −𝑈 𝑟2 𝑈 −j𝑘𝑟 𝑈 −j𝑘𝑟 1 2 𝑃 = j𝜔𝜌 e − j𝜔𝜌 e 4𝜋𝑟1 4𝜋𝑟2 距離2𝑑離れて,逆相で駆動される2つの点音源 2015/6/30 応用音響学 11 点音源だった時の式は 𝑈 −j𝑘𝑟 𝑃 = j𝜔𝜌 e 4𝜋𝑟 正負二重音源になると 𝑑 cos 𝜃 −j𝑘𝑟 𝑃 = j𝜔𝜌 𝑈e 2 4𝜋𝑟 𝑑 cos 𝜃 なので,体積速度が 倍されたようになっている. 𝑟 1 1 から 2へと変わっている 𝑟 𝑟 音圧の減り方の距離依存性が → 急激に減衰 これは2つの波が干渉し,互いに打ち消しあうため また,音圧の減り方が角度𝜃に依存 2015/6/30 応用音響学 12 正負二重音源の指向性 𝑑 cos 𝜃 −j𝑘𝑟 𝑃 = j𝜔𝜌 𝑈e 2 4𝜋𝑟 𝜃 2015/6/30 応用音響学 13 円板の放射 スピーカのような円板振動体が, どのような放射特性を持つのかを導出したい 考え方 円板上の微小エリア𝑑𝑠に,点音源がある と仮定する それが円板上で密に並んでいると考える 離れた点における音圧,粒子速度を, 多数の点音源の足し合わせとして算出 ただ,振動する円板が,宙に浮いているとすると, 反対側に逆相の点音源を仮定しなければならない.ので… 2015/6/30 応用音響学 14 バッフル板 背面からの逆位相の音波の回りこみを防ぐために, 無限大の剛体壁に振動板を取り付ける →この剛体壁のことをバッフル板と呼ぶ この場合,点音源の速度ポテンシャルは2倍 (光源の背後に鏡を置いたのと同じように, 背面に放射される分が表側にくるので) 2015/6/30 応用音響学 15 点音源の音圧は𝑃 = 𝑈 −j𝑘𝑟 j𝜔𝜌 e 4𝜋𝑟 微小面積d𝑠による体積速度 (=音源の強さ)は,𝑈 = 𝑉0 d𝑠 なので, 三井田惇郎「音響工学」 (昭晃堂) p.57より 微小面積d𝑠が距離𝑟1 離れた受音点に発生させる音圧は d𝑃 = 𝑉0 d𝑠 −j𝑘𝑟 1 j𝜔𝜌 e 2𝜋𝑟1 これを全面積で積分すれば,円板全体が𝑟1 離れた受音点に 発生させる音圧が算出できる. d𝑃 = 𝑉0 d𝑠 −j𝑘𝑟 1 j𝜔𝜌 e 2𝜋𝑟1 = 𝑉0 j𝜔𝜌 e−j𝑘𝑟1 𝑧d𝑧d𝜃 2𝜋𝑟1 𝑉0 𝑃 = j𝜔𝜌 2𝜋 2015/6/30 2𝜋 0 𝑎 −j𝑘𝑟1 e 0 応用音響学 𝑟1 なので, 𝑧d𝑧d𝜃 16 計算しやすい特殊なケース 正面軸上のとき 𝛼 = 0 なので,𝑟12 = 𝑟 2 + 𝑧 2 両辺微分して𝑟1 d𝑟1 = 𝑧d𝑧 これを代入すると 𝑉0 𝑃 = j𝜔𝜌 2𝜋 𝑟 2 +𝑎2 2𝜋 d𝜃 0 = −𝜌𝑐𝑉0 (e 𝑎 −j𝑘 𝑟 2 +𝑎2 e−j𝑘𝑟1 d𝑟1 − e−j𝑘𝑟 ) 複素数の減算が e−j𝑥 − e−j𝑦 = cos 𝑥 − cos 𝑦 − j sin 𝑥 − sin 𝑦 𝑥 − 𝑦 −j𝑥+𝑦 = −j2 sin e 2 2 であることから, 𝑥 = 𝑘 𝑟 2 + 𝑎2 , 𝑦 = 𝑘𝑟として, 𝑘 𝑘 −j 2 𝑟 2 +𝑎2 +𝑟 2 2 𝑃 = j2𝜌𝑐𝑉0 sin ( 𝑟 + 𝑎 − 𝑟) e 2 2015/6/30 応用音響学 17 𝑘 𝑘 −j 𝑃 = j2𝜌𝑐𝑉0 sin ( 𝑟 2 + 𝑎2 − 𝑟) e 2 2 𝑘 sin ( 𝑟 2 + 𝑎2 − 𝑟)の項に着目すると, 𝑟 2 +𝑎2 +𝑟 2 正面の軸上で値が周期的に0になることを示している その条件は 𝑘 𝑟 2 + 𝑎2 − 𝑟 = 𝑛𝜋 2 𝑘 1 2𝜋 𝜋 → = = なので, 𝑟 2 + 𝑎2 − 𝑟 = 𝑛𝜆のとき 2 2 𝜆 𝜆 つまり,中心軸上で,円板中心からの距離𝑟と 円周上の点からの距離 𝑟 2 + 𝑎2 が波長の整数倍になるときに 音圧が0になる また,どれだけ円板に近づいても,音圧𝑃の絶対値は, 2𝜌𝑐𝑉0 以上にはならない 2015/6/30 応用音響学 18 遠方 𝑟 ≫ 𝑎 のとき 𝑘 sin ( 2 𝑟2 + 𝑎2 − 𝑟)の 𝑟2 + 𝑎2 =𝑟 1+ 1 2 𝑎 2 𝑟2 𝑘𝑎2 ~𝑟 1 2 𝑘 𝑘𝑎 sin ( 𝑟 2 + 𝑎2 − 𝑟) ~ sin ~ 2 4𝑟 4𝑟 𝑎2 + 2 2𝑟 より よって, 𝑘 𝑘 −j 𝑃 = j2𝜌𝑐𝑉0 sin ( 𝑟 2 + 𝑎2 − 𝑟) e 2 2 𝑘𝑎2 −j𝑘2 = j2𝜌𝑐𝑉0 e 4𝑟 𝑎2 2𝑟+ 2 2𝑟 𝑟 2 +𝑎2 +𝑟 𝑎2 = jω𝜌 𝑉0 e−j𝑘𝑟 2𝑟 振動円板から遠くはなれたところでは,音圧は周波数に比例 2015/6/30 応用音響学 19 観測点が軸上にないとき 𝑟1 = (𝑟 sin 𝛼 − 𝑧 sin 𝜃)2 +(𝑟 cos 𝛼)2 +(𝑧 cos 𝜃)2 = 𝑟 2 + 𝑧 2 − 2𝑟𝑧 sin 𝛼 sin 𝜃 = 𝑟 1+ 𝑧 𝑟 𝑧 2 𝑟 𝑧 − 2 𝑟 sin 𝛼 sin 𝜃 ≪ 1 のとき,つまり,観測地点が十分遠方のとき 𝑟1 = 𝑟 + 𝑧2 2𝑟 − 𝑧 sin 𝛼 sin 𝜃 と近似できる. もとの式は 𝑉0 𝑃 = j𝜔𝜌 2𝜋 2𝜋 𝑎 −j𝑘𝑟1 e 𝑧d𝑧d𝜃 𝑟 1 0 0 この𝑟1 は,分母と位相項に入っているが,分母は振幅を決めるだけなので, 粗く𝑟1 ~𝑟と近似する. 位相項は𝑘が大きいと𝑘𝑟1も大きく変わってしまうので,上式の近似を用いて, 𝜌𝑐𝑉0 −j𝑘𝑟 𝑃= e 2𝜋 2015/6/30 𝑎 0 j𝑘𝑧 −j 𝑘𝑧 2 e 2𝑟 𝑟 応用音響学 2𝜋 e−j𝑘𝑧 sin 𝛼 sin 𝜃 d𝜃d𝑧 0 20 𝜌𝑐𝑉0 −j𝑘𝑟 𝑃= e 2𝜋 𝑎 0 j𝑘𝑧 −j 𝑘𝑧 2 e 2𝑟 𝑟 2𝜋 ej𝑘𝑧 sin 𝛼 sin 𝜃 d𝜃d𝑧 0 これはベッセル関数を用いて次のように展開できる ∞ 2 𝑛 𝑘𝑎 𝑃 = 𝜌𝑐𝑉0 e−j𝑘𝑟 j 𝑘𝑎 sin 𝛼 −𝑛 J𝑛 (𝑘𝑎 sin 𝛼) 𝑟 𝑛=1 ここでJ𝑛 (𝑥)は第一種ベッセル関数と呼ばれ, ∞ (−1)𝑠 𝑥 𝑛+2𝑠 J𝑛 𝑥 = 2𝑛+2𝑠 𝑠! 𝑛 + 𝑠 ! 𝑠=0 http://ja.wikipedia.org/wiki/ベッセル関数 より 2015/6/30 応用音響学 21 ちょっと寄り道 ベッセル関数? 数学的にいろいろとあるかも知れないけれど, 音響的に知っておくべきは, 「ベッセル関数は2次元の波動方程式の 等方的な解の基底」 1次元の波動方程式 𝜙= 𝜕2 𝜙 1 𝜕2 𝜙 = 2 2 の解は 𝜕𝑥 2 𝑐 𝜕𝑡 j(𝜔𝑡−𝑘𝑥) 𝐴e + 𝐵ej(𝜔𝑡+𝑘𝑥) 3次元の波動方程式 𝜕2 (𝑟𝜙) 𝜕𝑟 2 = 1 𝜕2 (𝑟𝜙) 𝑐 2 𝜕𝑡 2 の解は 1 j(𝜔𝑡−𝑘𝑥) 1 j(𝜔𝑡+𝑘𝑥) 𝜙=𝐴 e +𝐵 e 𝑟 𝑟 どちらも基底は正弦波.→では2次元は? 2015/6/30 応用音響学 22 𝜕2 𝜙 𝜕𝑥 2 + 𝜕2 𝜙 𝜕𝑦 2 = 1 𝜕2 𝜙 𝑐 2 𝜕𝑡 2 を 3次元のとき同様,極座標に変換すると… 𝜕 2 𝜙 1 𝜕𝜙 1 𝜕𝜙 1 𝜕2𝜙 + + = 𝜕𝑟 2 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 2 𝜕𝜃 2 𝑐 2 𝜕𝑡 2 𝜙 = 𝑅(𝑟)Θ(𝜃)ej𝜔𝑡 と仮定すると, 𝑟 2 d2 𝑅 𝑟 d𝑅 𝜔2 1 d2 Θ + + 2𝑟=− 2 𝑅 d𝑟 𝑅 d𝑟 𝑐 Θ d𝜃 2 これは, 𝑅, Θが個別に変化しても成立するはずなので, 定数となっているはずであり,それを𝑛2 とおくと, d2 Θ 2Θ = 0 + 𝑛 d𝜃 2 d2 𝑅 1 d𝑅 𝜔 2 𝑛2 + + 2 − 2 𝑅=0 2 d𝑟 𝑟 d𝑟 𝑐 𝑟 等方的に拡がる解は2つめの微分方程式の解である. 2015/6/30 応用音響学 23 d2 𝑅 1 d𝑅 𝜔2 𝑛2 + + 2 − 2 𝑅=0 2 d𝑟 𝑟 d𝑟 𝑐 𝑟 この解がベッセル関数であり, ∞ J𝑛 𝑘𝑟 = 𝑠=0 (−1)𝑠 (𝑘𝑟)𝑛+2𝑠 2𝑛+2𝑠 𝑠! 𝑛 + 𝑠 ! 二次元的に波動が伝搬するときの形を表している. 2015/6/30 応用音響学 24 エネルギーで考えると,3次元に伝搬するときは,振幅 の2乗(エネルギー)×表面積=一定 になるはず. 表面積∝𝑟 2 なので, → 振幅∝𝑟 −1 じゃあ2次元の時は… 振幅の2乗×円周=一定のはず. → 振幅∝𝑟 2015/6/30 応用音響学 − 1 2 25 ∞ 𝑃 = 𝜌𝑐𝑉0 e−j𝑘𝑟 j 𝑛=1 𝑛 2 𝑘𝑎 𝑟 𝑘𝑎 sin 𝛼 −𝑛 J𝑛 (𝑘𝑎 sin 𝛼) 半径や波長に比べて,観測点が十分に遠方のとき 𝑘𝑎2 ≪ 1なので,𝑛の1乗の項だけで近似できて, 𝑟 𝑎2 −j𝑘𝑟 J1 𝑘𝑎 sin 𝛼 𝑃 = jω𝜌𝑉0 e 2 2𝑟 𝑘𝑎 sin 𝛼 正面軸上のときは𝑃 = 𝑎2 jω𝜌 𝑉0 e−j𝑘𝑟 だったので, 2𝑟 方向角𝛼の分だけ角度補正がかかっていて, J1 𝑘𝑎 sin 𝛼 それが2 𝑘𝑎 sin 𝛼 2015/6/30 になっている 応用音響学 26 三井田惇郎「音響工学」(昭晃堂) p.61より 2015/6/30 応用音響学 27 放射インピーダンス d𝑆 𝑟 (考え方の手順) d𝑆’ 円板上の微小面積d𝑆が振動することによって, 同じく円板上の別の微小面積d𝑆′に生じる速度ポテン シャルを求める. d𝑆′に生じる音圧を求め,それを全面積で積分して, 円板が受ける反力を求める (円板の他の部分d𝑆からの影響で,どれだけd𝑆′の 押しやすさが変わるかを考える) 粒子速度で除算して,放射インピーダンスを求める 2015/6/30 応用音響学 28 最後の積分が難しいので,考え方だけフォロー 𝑃= 𝑈 −j𝑘𝑟 j𝜔𝜌 e だったので, 2𝜋𝑟 𝑉0 ′ d𝑃 = j𝜔𝜌 e−j𝑘𝑟 d𝑆 2𝜋𝑟 これを,全面積で積分すると, d𝑆′上の圧力𝑃′ が算出 できて, 𝑉0 ′ 𝑃 = j𝜔𝜌 e−j𝑘𝑟 d𝑆 2𝜋 𝑆 このd𝑆 ′ にかかる力𝑃′ d𝑆′を全面積で積分すれば,円 板が受ける反力になるので, 𝐹= 2015/6/30 𝑆 ′ 𝑃 d𝑆′ = 𝑉0 j𝜔𝜌 2𝜋 𝑆 応用音響学 𝑆 e−j𝑘𝑟 d𝑆 d𝑆′ 29 この積分が難しいけれど,答えは知られていて, 𝐽1 2𝑘𝑎 𝑆1 2𝑘𝑎 2 𝐹 = 𝜋𝑎 𝜌𝑐 1 − +j 𝑉0 e−j𝑘𝑟 𝑘𝑎 𝑘𝑎 ここで𝐽1 𝑥 は1次のベッセル関数. 𝑆1 𝑥 はストルーブ関数 と呼ばれる関数. 放射インピーダンスは,粒子速度𝑉0 e−j𝑘𝑟 で割れば 𝐽1 2𝑘𝑎 𝑆1 2𝑘𝑎 2 𝑧𝑟 = 𝜋𝑎 𝜌𝑐 1 − +j 𝑘𝑎 𝑘𝑎 放射インピーダンス密度は,面積で割れば 𝐽1 2𝑘𝑎 𝑆1 2𝑘𝑎 𝑧𝑎 = 𝜌𝑐 1 − +j 𝑘𝑎 𝑘𝑎 2015/6/30 応用音響学 30 放射インピーダンス密度 𝐽1 2𝑘𝑎 𝑆1 2𝑘𝑎 𝑧𝑎 = 𝜌𝑐 1 − +j 𝑘𝑎 𝑘𝑎 三井田惇郎「音響工学」(昭晃堂) p.63より 2015/6/30 応用音響学 31 付加質量 𝐹= 𝜋𝑎2 𝜌𝑐 𝐽1 2𝑘𝑎 𝑆1 2𝑘𝑎 1− +j 𝑘𝑎 𝑘𝑎 = (𝑟𝑎 + j𝑥𝑎 )𝑉0 とすると,虚部は慣性力に見える. 𝑀 𝑀= d𝑉0 d𝑡 𝑉0 = j𝑥𝑎 𝑉0 の関係から, 𝑥𝑎 だけ質量が増加したように見えている. 𝜔 2𝑥 2 と近似できることが知られているので, 3𝜋 𝑘𝑎 ≪ 1のとき,𝑆1 𝑥 = 振動板の周長より波長が十分大きい範囲で付加質量は, 𝜋𝑎2 𝜌𝑐𝑥𝑎 𝜋𝑎2 𝜌 8𝑘𝑎 8𝑎 2 𝑀= = = 𝜋𝑎 𝜌 𝜔 𝑘 3𝜋 3𝜋 8𝑎 よって,円板を底面とする高さ の円柱状の媒質が,円板に付 3𝜋 着して振動していると考えることができる. 2015/6/30 応用音響学 32 超音波アレイの話 2015/6/30 応用音響学 33 研究紹介 2014/7/8 応用音響学 34 研究紹介 2014/7/8 応用音響学 35 研究紹介 2014/7/8 応用音響学 36 収束超音波による触覚ディスプレイ • 超音波振動子のアレイにより, 一点に音圧の高い場所を生成する • 音響放射圧という非線形音響現象により, その場に正圧が生じる – 音は気体の振動であり,正負の振幅が同じなの で,一般的には積分して正となる力は生じない – 非線形な領域では生じる 2014/7/8 応用音響学 37 音響放射圧 非線形音響現象の1つ これまでの波動方程式算出時の仮定では, Δ𝑉 𝑝 = −𝐾 𝑉 が常に成立するとしていた. 実際には,正圧が高まると体積弾性率が一定とみなせない 音圧が大きくなると,このような非線形な項が無視できなくなり, 時間平均したときに,音圧の二乗に比例した正圧が生じる →正確に考えるにはナビエ・ストークス方程式を用いるべき この話はこの講義ではここまで. 2014/7/8 応用音響学 38 多数の超音波振動子アレイによる 収束音場 • N×N個の振動子 • ある焦点面に収束する • 自分で設定した焦点位置は 𝑥𝑐 , 𝑦𝑐 • 焦点面上の点 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 の 圧力分布は 𝑁−1 𝑁−1 𝑝 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 = 2 𝑝𝑟 ′ −j𝑘(𝑟 ′′ −𝜔𝑡) −j𝑘𝑟 e e 𝑚=0 𝑛=0 以降の導出は,名工大 星貴之先生の資料より 2014/7/8 応用音響学 39 𝑁−1 𝑁−1 ′ 2 𝑝𝑟 e−j𝑘𝑟 e−j(𝑘𝑟 𝑝 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 = ′′ −𝜔𝑡) 𝑚=0 𝑛=0 ′ −j𝑘𝑟 e は焦点に収束させるための位相項. (開口から平面波が出ている場合にはこの項は無い) 𝑟 ′ は(𝑚, 𝑛)番目の振動子から焦点位置までの距離で 𝑟 ′ = (𝑥𝑚 − 𝑥𝑐 )2 +(𝑦𝑛 − 𝑦𝑐 )2 +𝑟 2 ′′ −𝜔𝑡) −j𝑘(𝑟 e は,各振動子から放射される球面波. 2𝑝𝑟 𝑝𝑟 は距離𝑟だけ伝搬した時の音圧の実効値. 𝑟 ′′ は焦点平面上の任意の点 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 までの距離で 𝑟 ′′ = 2014/7/8 (𝑥𝑚 − 𝑥𝑓 )2 +(𝑦𝑛 − 𝑦𝑓 )2 +𝑟 2 応用音響学 40 よく使う近似式 𝑓 𝑥 = (1 + 𝑥)𝑎 で𝑥 ≪ 1のとき 𝑓 𝑥 ~1 + 𝑎𝑥 これって,なんででしたっけ? 2014/7/8 応用音響学 41 𝑓 𝑥 をテイラー展開すると 𝑓 𝑥 =𝑓 0 + 𝑓′ 1 ′′ 0 𝑥 + 𝑓 0 𝑥2 + ⋯ 2 𝑥 ≪ 1なので,高次の項は無視するとして, 1次までで近似すると 𝑓 𝑥 ~𝑓 0 + 𝑓 ′ 0 𝑥 𝑓 𝑥 = (1 + 𝑥)𝑎 のとき, 𝑓 𝑥 ~1 + 𝑎𝑥 例えば 𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥~1 + 2014/7/8 𝑥 2 応用音響学 42 𝑟′ = (𝑥𝑚 − 𝑥𝑐 )2 +(𝑦𝑛 − 𝑦𝑐 )2 +𝑟 2 (𝑥𝑚 − 𝑥𝑐 )2 +(𝑦𝑛 − 𝑦𝑐 )2 ~𝑟+ 2𝑟 𝑟 ′′ = (𝑥𝑚 − 𝑥𝑓 )2 +(𝑦𝑛 − 𝑦𝑓 )2 +𝑟 2 (𝑥𝑚 − 𝑥𝑐 )2 +(𝑦𝑛 − 𝑦𝑐 )2 ~𝑟+ 2𝑟 等の近似を入れて解くと 𝑁−1 𝑁−1 𝑝 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 = 2 𝑝𝑟 ′ −j𝑘(𝑟 ′′ −𝜔𝑡) −j𝑘𝑟 e e 𝑚=0 𝑛=0 𝑁𝑑𝜈𝑥 𝑁𝑑𝜈𝑦 sinc , 2 2 ~ 2𝑝𝑟 𝑁 2 ej{𝜑(𝑥𝑓,𝑦𝑓 )−𝜔𝑡} 𝑑𝜈𝑥 𝑑𝜈𝑦 sinc , 2 2 2014/7/8 応用音響学 43 𝑁𝑑𝜈𝑥 𝑁𝑑𝜈𝑦 sinc , 2 2 2 𝑝~ 2𝑝𝑟 𝑁 ej{𝜑(𝑥𝑓 ,𝑦𝑓)−𝜔𝑡} 𝑑𝜈𝑥 𝑑𝜈𝑦 sinc , 2 2 ここで,sinc 𝑥, 𝑦 = sin 𝑥 sin 𝑦 𝑥𝑦 𝑁はアレイの1辺の個数.(実際には20個くらい) 𝑑はアレイ1つあたりの直径.(実際には10mm) 座標 𝑥𝑚 , 𝑦𝑛 = 𝑚𝑑 + 𝜉, 𝑛𝑑 + 𝜉 ここで𝜉はオフセット 𝑘 𝑟 𝑘 𝜈𝑥 ≡ 𝑥𝑓 − 𝑥𝑐 , 𝜈𝑦 ≡ 𝑟 𝑘 𝜑 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 ≡ 𝑥𝑓 2 + 𝑦𝑓 2 2𝑟 𝑦𝑓 − 𝑦𝑐 :焦点からの距離で表現 − 𝑥𝑐 2 − 𝑦𝑐 2 𝑁−1 𝑑 − 𝜉+ (𝜈𝑥 + 𝜈𝑦 ) 2 2014/7/8 応用音響学 44 細かいことは置いておいて… • 大雑把に状況を理解する 𝑁𝑑𝜈𝑥 𝑁𝑑𝜈𝑦 sinc , 2 2 2 𝑝 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 ~ 2𝑝𝑟 𝑁 ej{𝜑(𝑥𝑓 ,𝑦𝑓)−𝜔𝑡} 𝑑𝜈𝑥 𝑑𝜈𝑦 sinc , 2 2 数が増えると 振幅が増す 2014/7/8 振動である 空間的な振幅パターンを 決定する部分 応用音響学 位相が位置に よってずれる 45 メインの幅は,sinc それがsinc 2014/7/8 𝑁𝑑𝜈𝑥 𝑁𝑑𝜈𝑦 , 2 2 𝑑𝜈𝑥 𝑑𝜈𝑦 , 2 2 で決まる. の周期で現れる. 応用音響学 46 2次元的に表現すると 2014/7/8 応用音響学 47 sinc sinc 𝑁𝑑𝜈𝑥 𝑁𝑑𝜈𝑦 , 2 2 𝑁𝑑𝜈𝑥 𝑁𝑑𝜈𝑦 , 2 2 の最初の零点間の幅は = sin 𝑁𝑑𝜈𝑦 𝑁𝑑𝜈𝑥 sin 2 2 𝑁𝑑𝜈𝑥 𝑁𝑑𝜈𝑦 2 2 𝑁𝑑𝜈𝑥 これが0になるのは 2 𝑘 𝜈𝑥 ≡ 𝑥𝑓 − 𝑥𝑐 から, 𝑟 なので, = πのところで, 2π 𝑟 𝜆𝑟 𝑥𝑓 − 𝑥𝑐 = = 𝑁𝑑 𝑘 𝑁𝑑 中心から最初の零点までの距離. 幅はこの倍なので 2𝜆𝑟 𝑤= 𝑁𝑑 2014/7/8 応用音響学 48 一方,繰り返しパターンはどの程度の間隔か? sinc 𝑑𝜈𝑥 𝑑𝜈𝑦 , 2 2 の最初の零点間の幅がパターンの繰り 返し周期を決めている. 𝑑𝜈𝑥 これが0になるのは 2 = πのところで, 2π 𝑟 𝜆𝑟 𝐿 = 𝑥𝑓 − 𝑥𝑐 = = 𝑑 𝑘 𝑑 N 焦点の幅に対して 倍 2 2014/7/8 応用音響学 49 以上まとめると… 2𝜆𝑟 収束させた時のサイズは 𝑁𝑑 𝜆𝑟 一方, の周期で同じピークが現れる. 𝑑 𝑁𝑑は超音波振動子の一辺のサイズ 𝜆は超音波の周波数 𝑟は収束点までの距離 つまり,以下の条件で焦点径は小さくなる. • 超音波振動子の開口が大きいほど • 波長が短いほど • アレイと焦点との距離が短いほど – ただし,途中の近似が成り立つ範囲 2014/7/8 応用音響学 𝑥 𝑟 ≪1 50 現実的な話としては… 2𝜆𝑟 収束させた時のサイズは 𝑁𝑑 𝜆𝑟 の周期で,同じピークが現れる. 𝑑 現実的なサイズは 𝜆 = 8.5 mm @40 kHz 𝑟 = 200 mm 𝑑 = 10 mm, 𝑁 = 17 であり,このとき 𝑤 = 20 mm 𝐿 = 170mm 2014/7/8 応用音響学 51 細かい計算の話 一次近似 方針:(𝑚, 𝑛) の総和を取りたいので, (𝑚, 𝑛) に関係ない部分を括りだしていく 2014/7/8 応用音響学 52 焦点座標cを中心座標fにもってくる以下の座標変換をして なので,これを利用して とすれば最終的に 2014/7/8 応用音響学 53 は,初項が1,公比e−j𝜈𝑥 𝑑 の等比数列の和なので, 右の公式を利用すれば, 𝑥の方だけ計算すると 2014/7/8 応用音響学 54 と書くことにして,𝑥, 𝑦 両方の掛け算をすれば, より ここは,𝐵と をまとめたもの 2014/7/8 応用音響学 55 光学との類似性 • 一点に焦点を結ぶように位相を制御して 超音波を出す → 光学レンズと同じ効果 (今回の問題設定は四角いレンズ) • 光学でこの辺の話がどうなっていたかを思い 出してみる 2014/7/8 応用音響学 56 開口での回折 ej𝑘𝑟 球面波を𝐴 とすると,開口𝑔 𝑟 𝑥, 𝑦 上での微小領域d𝑥d𝑦 ej𝑘𝑟 𝑥0 , 𝑦0 に作る場は𝐴 d𝑥d𝑦なので, 𝑟 が距離𝑅離れた位置 これを開口の形で積分すれば… 1 𝑢 𝑥0 , 𝑦0 = j𝜆 ej𝑘𝑟 𝑔 𝑥, 𝑦 𝐴 d𝑥d𝑦 𝑟 1 j𝜆 ただし, はグリーンの定理から導き出される係数 𝑔 𝑥, 𝑦 は開いているところでのみ1,それ以外は0という関数 2014/7/8 応用音響学 57 聞いたことのあるキーワード • フレネル回折 • フラウンホーファー回折 → 違いはどこでしょう? 答え:距離の近似に関して, フラウンホーファー回折の方が, 距離の近似が強い 2014/7/8 応用音響学 58 距離の近似に対して… • フレネル回折 𝑟 = 𝑅2 + (𝑥 − 𝑥0 )2 +(𝑦 − 𝑦0 )2 𝑥 − 𝑥0 2 + 𝑦 − 𝑦0 2 ~𝑅 1 + 2𝑅2 • フラウンホーファー回折 𝑥 2 + 𝑥0 2 + 𝑦 2 + 𝑦0 2 − 2(𝑥𝑥0 + 𝑦𝑦0 ) =𝑅+ 2𝑅 𝑥0 2 + 𝑦0 2 𝑥𝑥0 + 𝑦𝑦0 ~𝑅+ − 2𝑅 𝑅 2014/7/8 応用音響学 59 フラウンホーファー回折 𝑢 𝑥0 , 𝑦0 この距離𝑟として,𝑅 + ej𝑘𝑟 𝑔 𝑥, 𝑦 𝐴 d𝑥d𝑦 𝑟 1 = j𝜆 𝑥0 2 +𝑦0 2 2𝑅 − 𝑥𝑥0 +𝑦𝑦0 を代入. 𝑅 ただし,分母の𝑟は振幅の変化を与えるだけなので𝑅で置き換え. 積分に関係しない𝑥0 2 + 𝑦0 2 ,𝑅あたりの項を 積分から出してまとめて𝐴′としてしまえば, 𝑢 𝑥0 , 𝑦0 = 𝐴′ ここで,𝜈𝑥 ≡ 2014/7/8 𝑘 𝑥 ,𝜈 𝑅 0 𝑦 ≡ 𝑔 𝑥, 𝑦 e−j(𝜈𝑥𝑥+𝜈𝑦 𝑦) d𝑥d𝑦 𝑘 𝑦 , 𝐴′ 𝑅 0 ≡ 𝐴 j𝑘 e j𝜆𝑅 応用音響学 𝑥0 2 +𝑦0 2 𝑅+ 2𝑅 60 フラウンホーファー回折とフーリエ変換 𝑢 𝑥0 , 𝑦0 = 𝐴′ 𝑔 𝑥, 𝑦 e−j(𝜈𝑥 𝑥+𝜈𝑦 𝑦) d𝑥d𝑦 ところで,ある関数のフーリエ変換の定義は 𝐹 𝜔 = 𝑓(𝑡) e−j𝜔𝑡 d𝑡 なので,このフラウンホーファー回折の結果は 𝑢 𝑥0 , 𝑦0 = 𝐴′ 𝐺 𝜈𝑥 , 𝜈𝑦 つまり,開口の形𝑔 𝑥, 𝑦 の二次元フーリエ変換になっている. 𝐴 j𝑘(𝑅+𝑥0 2 +𝑦0 2 ) 2𝑅 𝐴′ ≡ e j𝜆𝑅 は位置 𝑥0 , 𝑦0 に応じた振動成分であるが,光の場合には その強度が観測されるため,ここは定数として見てよい 2014/7/8 応用音響学 61 矩形の開口なら… ∞ 𝐹 𝜔 = 𝑓(𝑡) e−j𝜔𝑡 𝑑𝑡 = −∞ 1 −j𝜔𝑡 = − e j𝜔 𝑎 = 𝑎 e−j𝜔𝑡 𝑑𝑡 −𝑎 ej𝜔𝑎 − e−j𝜔𝑎 −𝑎 j𝜔 sin 𝑎𝜔 = 2𝑎 𝑎𝜔 なので,sinc関数になる. 2014/7/8 応用音響学 62 円形の開口なら 第一種一次ベッセル関数によって表せて 𝐽1 (𝑤)/𝑤 ( 𝑤 は半径) 2014/7/8 応用音響学 63 ここまでの話は,超音波の時のような 「一点で位相を揃える」 というような部分は出てきていない ある開口を通り抜けた平行光が遠方でどう見え るかを考えると,フーリエ変換になっている という話. 「一点で位相を揃える」効果は光学ではレンズ → 位相を揃える項が入るとどうなるか? 2014/7/8 応用音響学 64 レンズ レンズの焦点距離は近いので,フラウンホーファー回折 ではなく,フレネル回折の近似で扱う必要がある. 焦点距離を𝑓としたとき, 点(𝑥, 𝑦)から焦点までの距離 𝑟′ (𝑥0 , 𝑦0 ) (𝑥, 𝑦) = 𝑓 2 + 𝑥2 + 𝑦2 に応じて,位相をずらす効果がある 𝑟′ 𝑓 レンズの中心を位相の基準に取るとこの性質は ′ −𝑓) −j𝑘(𝑟 ℎ 𝑥, 𝑦 = e と書ける 2014/7/8 応用音響学 65 距離𝑅にあるスクリーン上での振幅分布はレンズの −j𝑘(𝑟 ′ −𝑓) 効果ℎ 𝑥, 𝑦 = e を考慮して 1 ej𝑘𝑟 𝑢 𝑥0 , 𝑦0 = 𝑔 𝑥, 𝑦 ℎ(𝑥, 𝑦)𝐴 d𝑥d𝑦 j𝜆 𝑟 1 = j𝜆 𝑔 𝑥, 𝑦 𝐴 これにフレネル回折の近似 𝑥 − 𝑥0 𝑟~𝑓 1 + ′ +𝑓) j𝑘(𝑟−𝑟 e 𝑟 d𝑥d𝑦 + 𝑦 − 𝑦0 2 2𝑓 2 𝑥2 + 𝑦2 𝑟′~𝑓 1 + 2𝑓 2 を代入すると,結局 𝑟 − 𝑟 ′ のところでフラウンホーファー回折の ときに無視していた 𝑥 2 ,𝑦 2 の部分が消えるので… 2014/7/8 2 応用音響学 66 𝑢 𝑥0 , 𝑦0 = 𝐴′ ここで, 𝐴′ ≡ 𝐴 e j𝜆𝑅 𝑔 𝑥, 𝑦 e−j(𝜈𝑥 𝑥+𝜈𝑦𝑦) d𝑥d𝑦 𝑥0 2 +𝑦0 2 j𝑘(𝑓+ ) 2𝑓 , 𝜈𝑥 ≡ 𝑘 𝑥0 , 𝜈𝑦 𝑓 ≡ 𝑘 𝑦0 𝑓 これはフラウンホーファー回折と同じ式であり 開口形状のフーリエ変換になっている. つまり,レンズを使うとフレネル回折程度の近距離で, フラウンホーファー回折と同じ効果が生じる 2014/7/8 応用音響学 67 開口と解像度 http://microscopelabo.jp/learn/029/より • 2つの焦点が2つに見える →零点間の距離以上離れている 2014/7/8 応用音響学 68 フェーズドアレイもレンズと同じ 2014/7/8 応用音響学 69 収束超音波の話に戻ると… 𝑁−1 𝑁−1 ′ 2 𝑝𝑟 e−j𝑘𝑟 e−j𝑘(𝑟 𝑝 𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 = ′′ −𝜔𝑡) 𝑚=0 𝑛=0 ′ 𝑟 は(𝑚, 𝑛)番目の振動子から焦点位置までの距離で 𝑟 ′ = (𝑥𝑚 − 𝑥𝑐 )2 +(𝑦𝑛 − 𝑦𝑐 )2 +𝑟 2 𝑟 ′′ は焦点平面上の任意の点までの距離で 𝑟 ′′ = (𝑥𝑚 − 𝑥𝑓 )2 +(𝑦𝑛 − 𝑦𝑓 )2 +𝑟 2 フレネル回折の近似で計算すると 𝑝(𝑥𝑓 , 𝑦𝑓 )~ 2𝑝𝑟 𝑁 2 𝑁𝑑𝜈𝑥 𝑁𝑑𝜈𝑦 , 2 2 ej{𝜑(𝑥𝑓 ,𝑦𝑓)−𝜔𝑡} 𝑑𝜈𝑥 𝑑𝜈𝑦 sinc , 2 2 sinc だったので,矩形開口のフーリエ変換になっている. 2014/7/8 応用音響学 70 位相制御したフェーズドアレイは… • レンズのような役割を果たすはず • でも実際は… この繰り返しパターンはなぜ出るのか? 2014/7/8 応用音響学 71 周期構造を決定するのは素子𝑑の幅 sinc 𝑑𝜈𝑥 𝑑𝜈𝑦 , 2 2 の周期で現れる 超音波の振動子が有限のサイズを持つことにより, 連続的な球面波ではなく,離散的な球面波の 足し合わせになっている 2014/7/8 応用音響学 72 つまり開口のパターン𝑔(𝑥, 𝑦)が… 𝑁𝑑 𝑑 ではなくて 矩形状の(有限の)デルタ関数列のように見えている 理想的な矩形パターンを𝑔0 (𝑥, 𝑦),デルタ関数列を 𝑧(𝑥, 𝑦)とすれば,実際の開口パターン𝑔(𝑥, 𝑦)は 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑔0 𝑥, 𝑦 𝑧(𝑥, 𝑦) 2014/7/8 応用音響学 73 フーリエ変換の大事な性質 積𝒇(𝒕)𝒈 𝒕 のフーリエ変換は, それぞれのフーリエ変換𝑭 𝝎 , 𝑮 𝝎 の畳み込み積分 𝑢 𝑥0 , 𝑦0 = 𝐴′ {𝑔0 𝑥, 𝑦 𝑧(𝑥, 𝑦)}e−j(𝜈𝑥𝑥+𝜈𝑦 𝑦) d𝑥d𝑦 なので理想的な開口のフーリエ変換𝐺 𝜈𝑥 , 𝜈𝑦 に対して, デルタ関数列のフーリエ変換𝑍 𝜈𝑥 , 𝜈𝑦 が畳み込まれた形が このパターン→ 2014/7/8 応用音響学 74 理想的な状態として… 2𝜋 𝑑 𝑑 𝑑が小さくなり,密な点波源の集まりとみなせるように なれば, 𝑍 𝜈𝑥 , 𝜈𝑦 のデルタ関数列の間隔が長くなる. 𝑑 → 0の極限では, 𝑍 𝜈𝑥 , 𝜈𝑦 の間隔が∞になり, 連続的なレンズの場合と一致. 2014/7/8 応用音響学 75 先ほどの振動円板の話 • 円形開口に,位相が揃った平面波が入ってきた場 合の回折と同じ • 遠方の時の近似式は以下. 𝑎2 −j𝑘𝑟 J1 𝑘𝑎 sin 𝛼 𝑃 = jω𝜌𝑉0 e 2 2𝑟 𝑘𝑎 sin 𝛼 この中の角度𝛼に依存する,空間の分布を表す項は J1 𝑘𝑎 sin 𝛼 2 𝑘𝑎 sin 𝛼 であり,これは円形開口のフーリエ変換 (もし振動板が長方形だったら,sinc関数) 2014/7/8 応用音響学 76 まとめ • 振動するものの放射特性や,そのときの放射インピーダ ンスを知りたいとき,点音源の重ね合わせで考えればよ い • アレイから位相を揃えて超音波を放射する フェーズドアレイの考え方を説明した • その時の音圧分布の求め方と,その計算方法を 示した • 光学のレンズ系のように,フーリエ変換の 効果がある 2014/7/8 応用音響学 77 最終回予告 • 固体の中を伝搬する振動 • 空気中や水中を伝搬する振動と固体の中を 伝搬する振動で,一番違うのはどこか?? – 縦波?横波? 2014/7/8 応用音響学 78
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