計測工学 第 5 回 前回： ・測定における平均 ・標本分布 ・母平均の区間推定 今回： ・母平均の区間推定（続き） ・相関と回帰 「計測工学」第 5 回 5.1 母平均µ の推定（母分散 σ2 が未知の場合） ●毋分散 σ2 が既知の場合との違い ① x の標本分布の分散： ② x の標本分布の形状： ① →毋分散 σ2 の代わりに「 注：「 」を用いる 」とは？・・・ ・平均の場合 2 ・分散の場合 1 n 標本分散 s = ∑ ( xi − x ) ： n i=1 2 2 n 2 1 n s = ∑ ( xi − x ) ： 不偏分散 u = n −1 n −1 i=1 2 2 ・標準偏差の場合 1 n u = ∑ ( xi − x ) ： 不偏分散からの標準偏差 n −1 i=1 1 「計測工学」第 5 回 ② → x の標本分布は「 」を示す ● 表 5.1 t 分布表 図 5.1 t 分布 ●母平均 μ の区間推定結果を x − tn−1 ( Z%) u u ≤ µ ≤ x + tn−1 ( Z%) と表す． n n ・例題：正規分布する母集団（母平均：μ，毋分散：未知）から以下の標本を取出したとき，母 平均 μ を信頼係数 68.3%で区間推定せよ． →測定結果 80.0, 81.1, 80.5 2 「計測工学」第 5 回 5.2 母平均µ の区間推定（まとめ） ●母平均µ の推定（正規母集団 N (µ , σ 2 ) の場合） σ2 既知 σ2 未知 母平均µ の区間推定 母 3 平均µ の区間推定 「計測工学」第 5 回 5.3 相関と回帰 ●相関関係： ・関心のある 1 組の変数の間に，何か関連があるかどうかを調べたい． 例： ・問い：次の 2 つのグラフで示されるような関係は相関関係があると見なせるのか？ ・相関係数： ・ ・ ●回帰分析： 4 「計測工学」第 5 回 5.4 第 5 回講義に関する意見・感想・質問のまとめ ●意見・感想 ・難解だった，小テストにてパッと見て「何これ？」と思った，小テストで Z の値が分からずつまずいてしまっ た，小テスト難しく感じた，小テストが全然できなくて悲しい，小テストはあまり自信がない，勉強不足で小 テストダメだった，今回 Z を求めればよかったのか何が何だか分からなかった：13 ・特になし：12 ・内容がだんだん苦手なところに入ってきているのでしっかり復習しておく，復習しっかりしようと思う，母平 均の区間推定などをもう一度復習してしっかり理解する：6 ・小テスト頑張る，小テスト頑張りたい（予習），朝に勉強していたがも少し早めに小テスト対策する：4 ・よく分かった，応用数理の復習みたいな感じで理解はよく出来た，分かりやすかった：4 ・この分野苦手，統計確率は一番苦手な科目：2 ・以下一人ずつ： 計算がややこしいので間違えないようにしたい，今回の講義では母平均の推定についてさらに学ぶこと が出来た，見づらい数字がある， 相関関係は直線的になる場合のみだと初めて知った←来週取り扱う相関係数は最も一般的な「ピアソン の相関係数」というもので線形の関係性のみを対象としますが，調べたところその他にも異なる定義の相 関係数が存在し，それらでは非線形の関係性も対象とするようです． 前回トイレに行ってたら講義が終わっていて感想を出せなくて残念だった←終わりの時間は決まっている のですから，あと少しの時間を我慢出来たら良かったのでしょうが・・・ 次回からもう少し食い気味に手を挙げる←積極的に手を挙げてもらえるのは大変嬉しいです！ 最近寒くなってきたのでこたつをつけた←こたつに入ったまま寝ちゃわないように注意して下さい． 風邪をひいてしまい授業中のどの痛みと鼻水がつらい←時間があればお医者さんに行って薬を処方して もらった方が治りが早いですよ． 授業と少し変えただけなのに小テストの問題が分からなかったので基本的な理解が足りていない←分か っているようで実は分かっていなかった，ということですね． 相関関係かどうか判断するとききちんと理論に基づいて考えられるようになりたい←とりあえずは相関係 数を算出してやり，その値に基づいて判断できるかと思います． ●質問 ・小テストの Z には 0.3413 ではなく 1.00 を代入するのか？信頼係数 x%→Z はどうやって出せばいいの か？←正規分布表内の「0.3413」は I（Z）の値ですので，Z としては 1.00 になります．「信頼係数 68.3%」 の意味は，I（Z=1.00）＝0.3413（＝34.13%），これは＋のみ（片側）なので±（両側）であれば 2 倍して 0.6826（＝68.26%≒68.3%）となりますので，信頼係数が 68.3%であるときは Z=±1.00，ということです． ・指数関数で示される関係は相関関係と見なせるのか？←上記の通り，授業でやる相関係数では相関関 係と見なせません（線形関係ではない）が，非線形に対応する相関係数を用いれば見なせます． ・ の n-1 の部分は t 分布表の自由度（N-1）を読み取ればよいのか？（n=3 の時は 3 を読み取ればいいのか，2 か？）←念のため確認ですが，「 」で一塊りの係数です．n＝3 の場 合は標本数 3（＝自由度 2）です，該当する標本数と信頼度の交差する欄の数値を読み取って下さい． ・中間テストに参考書で勉強したノートを持ち込むことは可能か？←可能です． ・因果関係でもあり相関関係でもあるものは存在しうるのか？←存在します．例えば web で調べたところ， 「ボールを投げ上げる場合の，ボールの速さと到達する高さの関係」は相関関係でもあり因果関係でもあ る，とされていました． 5 「計測工学」第 5 回 5.5 第 4 回小テスト解答 Q.1 学生 57 名のクラスの定期試験結果を，ランダムに抽出した 25 名のデータから分析したところ， 標本平均は 76.2 点であった．クラス全員の成績における標準偏差が 5.9 点であることが分かって いる場合，クラス全員の平均点を信頼係数 68.3%（Z=1.000）で区間推定せよ． A.1 信頼区間の幅： Z σ n であり，ここで n = 25， σ = 5.9，また信頼係数 68.3%であるから Z = 1.000 よって Z σ = 1.000 ⋅ n x−Z σ n 5.9 = 1.18 = 1.2 （標本平均に合わせて小数第一位までとする） 25 ≤ µ ≤ x+Z σ n 76.2 −1.2 ≤ µ ≤ 76.2 +1.2 従って 75.0≦µ≦77.4 点 6
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