近畿大学数学対策・出題形式大問3題で､60分マーク方式考え方が

近畿大学数学対策
近畿大学数学対策
・出題形式
大問３題で､60分
マーク方式
☞考え方が正しくても計算ミスをすると点数に反映されないので､要注意（計算力は大切）！
☞
F
ある程度計算が多い解法でやっていってても､｢正確に｣＆｢速く｣計算していける力
｢出来るだけ計算が少なくなるような解法｣を意識する習慣
・出題分野
１つの大問の中で複数分野の理解を問う問題（融合問題）の存在も含めて､
バランスよく出題されている｡
・合格ライン
自分が受験する学部学科の（最近の）合格最低点を強く意識しておく｡
・[問題のレベル]＆[本番までの作戦]＆[本番における作戦]
☞文系問題から１問，理系問題から１問を実際に見ていくよ｡
☞高校で配布されている（ことが多い）〔厚めの参考書（問題集）〕の例題（やそれに対応する練習問題）
が全分野についてしっかり解ける力を付けておく｡その後､過去問etcの演習｡
☞本番では､上から解いていって､壁に当たったら次の問題へ（後で戻ってくる）｡
-1-
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・問題【１】
2
xを実数とし､tについての２次式 f(t) を f(t) = 2t - 8t + x + 2 とする｡
次の(ⅰ)，(ⅱ)によって､xについての関数g(x)を定める｡
(ⅰ) ２次方程式 f(t) = 0 が実数解をもたないxの値に対して､tについての多項式 f(t) を t - 3 で割った
余りをg(x)とする｡
(ⅱ) ２次方程式 f(t) = 0 が実数解をもつxの値に対して､tについての多項式 f(t) を 2t - x で割った
余りをg(x)とする｡
(1) ２次方程式 f(t) = 0 が実数解をもつとき､xのとりうる値の範囲は x ≦ アである｡
(2) g(0) = イ , g(5) = -
ウ
エ
, g(10) = オである｡
(3) g(x)が最小となるxの値はカであり､その最小値は -
キ
ク
(4) xについての方程式g(x) = 5 の実数解は､小さい順に x = ケ -
である｡
コサ , シである｡
(5) 座標平面において､関数y = g(x)のグラフをCとする｡C上の点(5 , g(5))における C の接線を l とする｡
l の方程式は y = ス x -
セソ
タ
である｡また､ C と l で囲まれた図形の面積は
-2-
チ
ツテ
である｡
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・解答【１】
2
f(t) = 2t - 8t + (x + 2)
(1) D/4 ≧ 0 ⇔ 16 - 2(x + 2) ≧ 0 ⇔ x ≦ 6 （ア）　〔２次方程式f(t) = 0 ……① の判別式をDとおいたよ〕
(2) ☞(1)から
F
①が実数解をもたない ⇔ D < 0 ⇔ 6 < x
とわかったね｡
①が実数解をもつ ⇔ D ≧ 0 ⇔ x ≦ 6
☞だから（問題文より）､
2
6 < x のとき：g(x) = 〔f(t)をt - 3で割った余り〕 = f(3) = 2⋅3 - 8⋅3 + (x + 2) = x - 4
x ≦ 6 のとき：g(x) = 〔f(t)を2t - xで割った余り〕 = f
x
x
=2
2
2
BC BC
F
x - 4 （6 < x）
☞まとめると､g(x) = 1 2
1
2 5
x - 3x + 2 = (x - 3) - （x ≦ 6）
2
2
2
1
☞∴ g(0) = 2 , g(5) = - 2 , g(10) = 6 （イウエオ）
(3) min.g(x) = g(3) = -
5
（カキク）　（板書図参照）
2
-3-
2
- 8⋅
x
1 2
+ (x + 2) = x - 3x + 2
2
2
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(4) g(x) = 5 の実数解は､
1
H2 x - 3x + 2 = 5 の小さい方の解I と [x - 4 = 5の解] だね｡（板書図参照）
2
つまり､x = 3 - 15 , 9 だ｡（ケコサシ）
1
∴ y - - 2 = 2(x - 5)
B C
(5) ☞曲線y = g(x)上の点(5 , g(5))における接線の式は y - g(5) = g ' (5)(x - 5)
21
∴ y = 2x - 2 （ = l(x) とおくよ）（スセソタ）
1
H∵ g(x) = 2 x - 3x + 2 より g ' (x) = x - 3I
2
1 1 3 1 1 1 1 1 7
☞板書図を見て､求める面積は S1 + S2 = 2 ⋅ 3 ⋅1 + 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 6 + 8 = 24 （チツテ）
H
6
61
1 6
1 1
2
2
3
∵ S1 = ⌠ { g(x) - l(x)} dx = ⌠ 2 (x - 5) dx = 2 ⌠ (x - 5) dx = 2 3 (x - 5)
⌡5
⌡5
⌡5
H
-4-
I
6
I
1 1 3
= ⋅ ⋅1
5 2 3
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・問題【２】
座標平面において､中心が原点Oで点P(1 , 0)を通る円C1と､中心が点Q(s , t)で点Pを通る円C2がある｡
ただしt > 0とする｡C1とC2のPではない交点をRとし､C1の境界を含む内部とC2の境界を含む内部の
共通部分をDとする｡
(1) 直線PRの方程式は s（x - ア） + ty = 0 である｡
s = 0 のとき､点Rはtの値によらず同じ位置にあって､その座標は（イウ , エ）である｡
(2) s = 3 t のとき､点Rはsとtの値によらず同じ位置にあって､その座標は
四角形OPQRは円に内接するとする｡このとき､点Qの座標は
また､領域Dの面積は
シ
スセ
π-
ソ
タ
B
ケ ,
B
オ
,
カ
コ
サ
C
キ
ク
C
である｡
である｡
である｡
(3) 点Qは s + t = 2 を満たしながら動くとする｡
線分QRの長さが最小となるような点Rの座標は
は
B
チ
ツ
,
テ
ト
C であり､このときの領域Dの面積
ニ
4
π
π
α
となる｡　ただし､sinα =
である｡
0< α<
4
5
2
ナ
ヌ
B
C
-5-
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・解答【２】
F
円C1：中心O(0 , 0) , 点P(1 , 0)を通る…… x2 + y2 = 1
円C2：中心Q(s , t) , 点P(1 , 0)を通る…… (x - s)2 + (y - t)2 = (s - 1)2 + t2 （ただしt > 0）
(1) ☞PR：s(x - 1) + ty = 0 （ア）
H
[参考]
F
2
I
2
C 1： x + y - 1 = 0
2
2
2
2
C2：(x - s) + (y - t) - (s - 1) - t = 0
2
2
2
2
2
2
∴ PR： Bx + y - 1C - F(x - s) + (y - t) - (s - 1) - t G = 0 （これを整理する）
☞s = 0 のとき：板書図を見て（y軸対称性より）､R( - 1 , 0) （イウエ）
-6-
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H
B
(2) ☞s = 3 t のとき Q(s , t)が直線x = 3 y ⇔ y =
PR： 3 t(x - 1) + ty = 0
H F
[参考]
2
1
x 上にあるとき：
3
C
I
B
3
1
∴ 3 (x - 1) + y = 0 だから（板書図を見て）､R 2 , 2
I
2
C1 ： x + y = 1
C （オカキク）
を連立してもいいけどね｡
PR： 3 (x - 1) + y = 0
F
｢四角形OPQRは円に内接する｣って（問題文に）あるけど､その円は｢∆OPRの外接円｣だよね｡
B
C
3
1
☞ ∆OPRは（１辺の長さが１の）正三角形だから､外心は（重心に一致して）G 2 , 6 だよね｡
π
∠POQ = 6 に注目すると､直線OQは点Gを通るよね（つまりOQは直径）｡
B
⎯→ ⎯→
3
1
∴ OQ = 2 OG = 2 2 , 6
C = B1 , 3 C
3
B
3
∴Q 1, 3
-7-
C
（ケコサ）
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π
3
1 2
π
π π
2 3
☞∠POR = 3 だから､〔領域Dのうち直線PRより上側の部分〕 = π⋅1 ⋅ 2 - 2 ⋅1 ⋅sin 3 = 6 - 4
π
2
∠PQR = 3 π だから､
〔領域Dのうち直線PRより下側の部分〕 = π⋅
よって､領域Dの面積は
1
3
B C
2
2
3π 1
⋅ 2π - 2 ⋅
Bπ6 - 4 C + Bπ9 - 12 C = 18 π 3
3
5
1
3
B C
2
3
2
π
⋅sin 3 π = 9 - 12
3
（シスセソタ）
3
(3) ☞s + t = 2 のとき [Q(s , t)が直線x + y = 2 （⇔ y = - x + 2）上にあるとき]：
[QRが最小] ⇔ [QPが最小]　であることに注意して､
Q
3
1
B 2 , 2 C とわかるよね｡
HF
☜
y= -x+2
y=x-1
I
を連立
1
点Rは､点Pを直線OQ：y = x に関して対称移動した点だよね｡
3
⎯→ ⎯→ ⎯→
1
4 3
∴ OR = OP + PR = (1 , 0) + 5 ( - 1 , 3) = 5 , 5
B
H
∵ P(1 , 0) と直線OQ：x - 3y = 0 のキョリは
4 3
∴ R 5 , 5 （チツテト）
C
B
C
⎯→
1
1
2
1
だから､ PR =
( - 1 , 3) = ( - 1 , 3)
⋅
5
10
10 10
I
-8-
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⎯→
⎯→
1
1
7
1
☞∠PQR = θ とおくよ｡ QP = - 2 , - 2 , QR = - 10 , 10 だから､
B
⎯→ ⎯→
QP ⋅ QR =
C
7
1
6
3
+ =
,
=
20
20
20 10
B
1
3
∴ 2 cosθ = 10
C
3
∴ cosθ = 5
B
⎯→ ⎯→
QP ⋅ QR =
C
2
2
1
cosθ = cosθ
2 ⋅ 2 ⋅
2
4
∴ sinθ = 5
〔これでθは（問題文の）αと同じ角だとわかったね〕
⎯→
⎯→
4 3
∠POR = β とおくよ｡ OP = (1 , 0) , OR = 5 , 5 だから､
B
⎯→ ⎯→ 4
OP ⋅ OR =
5
,
C
⎯→ ⎯→
4
∴ cosβ = 5
OP ⋅ OR = 1⋅1⋅cosβ = cosβ
π
3
∴ sinβ = 5
π
π
π
π
H[注] cosβ = sinα = cos B 2 - αC , 0 < β < 2 , 0 < 2 - α < 2 より､β = 2 - αI
よって､
〔領域Dのうち直線PRより下側の部分〕 = π⋅
B C
〔領域Dのうち直線PRより上側の部分〕 = π⋅12⋅
となるから､領域Dの面積は
B
2
2
2
α 1
⋅ 2π - 2 ⋅
B C
2
2
2
α 1
⋅sinα = 4 - 5
β 1 2
π α 3
= - 2π 2 ⋅1 ⋅sinβ 4 2 10
α 1
π α 3
π α 1
+
= - - （ナニヌ）
- 4 5
4 2 10
4 4 2
C B
C
-9-
π
H∵ β = 2 - αI

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