解答

数学検定第２７４回２級２次：数理技能検定
問題１
⑴ （答） x ＝０，１
y ＝−x 2 ＋ax ＋ b （０≦ x ≦１） …②
の値域が０≦ y ≦１となる a ，b の組の総数を
求める。
②の最小値が０，最大値が１だから⑴より
x ＝０で最小値０をとる
x ＝１で最小値０をとる
の少なくとも一方が成り立つことがわかる。
のとき，x ＝０，y ＝０を①に代入すると
b ＝０，これは①を満たさない。
以下，の場合について考える。
x ＝１，y ＝０を②に代入して
a ＋ b ＝１ …③
このとき，最大値をとる x について
（ア）
x ＝０で最大値１をとる
問題２
答
のいずれかが成り立つ。
（ア）のとき，x ＝０，y ＝１を②に代入して
b ＝１ …④
これは①を満たすので，③，④より
（a ，b ）＝（０，１）
（イ）のとき
a 2 a2
y ＝−x 2 ＋ax ＋ b ＝− x − ＋＋ b
４
２
より
a
a2
０＜＜１ …⑤，＋ b ＝１ …⑥
４
２
が成り立つ。③，⑥から b を消去して得られる
a2
− a ＝０
４
の解は a ＝０，４でいずれも⑤を満たさない。
以上より，条件を満たす組は
（ a ，b）＝（０，１）のみである。
（答）１組
５
⑴ （答）
３８８８
６の目を○，６以外の目を × で表すと，５回
⑵ 「６の目が３回以上続けて出る」事象は
○○○×△，×○○○×，△×○○○
の目の出方は
（△はどちらでもよい）
A：６の目が５回続けて出る
B：６の目が４回続けて出て，５回続けて
は出ない
C：６の目が３回続けて出て，４回以上続
のいずれかだから
１ 3 ５５１ 3５５１
P
（C ）＝＋＋
６６６６６６６
の３つの事象の和事象 A∪B∪C である。
１
１ 5
ここで P（A）＝＝であり，また
７７７６
６
５
⑴より P（B ）＝である。
３８８８
C の起こる確率 P（C ）について考える。
⑴ （ x −１１）
（ x ＋１）＋（ y −４）
（ y −２０）＝０
を整理して
3
３０＋２５＋３０
８５
＝＝
７７７６
７７７６
けては出ない
問題３
２−２−１
（イ）０＜ x ＜１で最大値１をとる
⑵ b ≠０ …① のとき，２次関数
解
A，B，C は互いに排反より，求める確率は
P（A∪B∪C ）＝P
（A）＋ P
（B ）＋ P（C ）
１＋１０＋８５
１
＝＝
７７７６
８１
（答）
１
８１
（０，０）
と円①の中心
（５，１２）
との距離は
⑵ 点
2
2
５＋１２＝１６９＝１３
x 2 −１０ x −１１＋y 2 −２４ y ＋８０＝０
求める円の半径 r は r ±１０＝１３を満たす
x −１０ x ＋２５＋y −２４ y ＋１４４
ので r ＝３，２３であり，求める方程式は
＝１１−８０＋２５＋１４４
x 2 ＋ y 2 ＝３，x 2 ＋ y 2 ＝２３
2
2
2
2
2
2
2
（ x −５）＋（ y −１２）＝１０ …①
すなわち
これは中心（５，１２），半径１０の円を表す。
x 2 ＋ y 2 ＝９，x 2 ＋ y 2 ＝５２９
（答）点（５，１２）を中心とする半径１０の円
（答） x 2 ＋ y 2 ＝９，x 2 ＋ y 2 ＝５２９
Ｈ２７０３Ｇ１０
２−２−２
問題４
⑴ n ＝１のとき
⑵ 求める和を T n とおく。⑴より
a 1 ＝ S 1 ＝１−１＝０
n
n
k k−１）
T n ＝ ka k ＝２（
n ≧２のとき
k ＝１
n
k ＝１
n
＝２ k 2 −２ k
a n ＝S n−S n−１
2
＝n 2 − n −｛（ n −１）−（ n −１）｝
＝n 2 − n −（ n 2 −３n ＋２）
＝２n −２
これは n ＝１のときも成り立つ。
（答）a n＝２n −２
k ＝１
k ＝１
１
１
＝２・ n（n ＋１）
（２n ＋１）−２・ n（n ＋１）
６
２
１
＝ n（n ＋１）
（２n ＋１−３）
３
２
＝ n（n ＋１）
（n −１）
３
（答）
２
n（n ＋１）
（n −１）
３
問題５（答）Ａ＝１，Ｂ＝３，Ｃ＝６，Ｄ＝９
問題６
問題７
△ＡＢＣ，△ＡＢＰ，△ＡＰＣの面積をそれぞれ
両辺をＡＢ×ＡＣ×ＡＰで割り，２倍すると
S ，S 1 ，S 2 とすると
１
S ＝ ×ＡＢ×ＡＣ×sin（α＋β）
２
１
S 1 ＝ ×ＡＢ×ＡＰ×sinα
２
１
S 2 ＝ ×ＡＰ×ＡＣ×sinβ
２
かつ S ＝ S 1 ＋ S 2 が成り立つので
１
×ＡＢ×ＡＣ×sin
（α＋β）
２
１
１
＝ ×ＡＢ×ＡＰ×sinα＋ ×ＡＰ×ＡＣ×sinβ
２
２
sin
（α＋β） sinα
sinβ
＝＋
ＡＰ
ＡＣ
ＡＢ
２つの放物線の交点の x 座標は
（３x 2＋４x −６）
｝dx
｛−２x 2＋９x ＋４−
３x 2 ＋４x −６＝−２x 2 ＋９x ＋４
すなわち
５x 2 −５x −１０＝０
を満たす。これを解くと
５
（ x 2 − x −２）＝５
（ x −２）
（ x ＋１）＝０
より x ＝−１，２
−１≦ x ≦２のとき
これより，点Ｐの位置によらず
sinα
sinβ
sin
（α＋β）
＋ − ＝０
ＡＣ
ＡＢ
ＡＰ
が成り立つことがわかる。
以上より，点Ｐの位置によらず
sinα
sinβ
sin
（α＋β）
＋ − ＡＣ
ＡＢ
ＡＰ
は一定の値をとることが示された。
0
−1
0
＝−５（ x 2 − x −２）dx
−1
x3
x2
＝−５ − −２x
３
２
0
−1
１１
＝−５０＋＋ −２
３２
３５
＝
６
３５
（答）
６
３x 2 ＋４x −６≦−２x 2 ＋９x ＋４
であるから，求める図形の面積は
Ｈ２７０３Ｇ１０

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