配付資料（複素数）

電気電子 1 年 (2015.6.23)
3–7
電気回路学Ｉ及び演習 (第 10 回)
3
学習の目標：チェックリスト
□ 交流理論に必要な以下の複素数の計算ができる．
□ 実部，虚部 (直交形式)
□ 絶対値，偏角 (極形式)
□ 四則演算
□ 共役複素数
□ 指数関数形式・フェーザ形式への変換，オイラーの公式
□ 1 の m 乗根
学習上の注意点
• 教科書のこの節では，電気回路学で必要となる複素数の初等的事項だけを述べて
いる．複素数に関する詳細は，
「応用数学 I 及び演習」の講議で扱われる．
• 電気関係の分野では，虚数単位として j を用いる約束になっている (電流の記号
に i を用いるため)．しかし，その他の分野では，虚数単位の記号として i を用
いるのが普通である．どちらの記号を用いるかは講義によって変わるので，教科
書や担当の先生の指定に従うこと．
• 量を表す記号は，通常，Im のように斜体で印刷されるのに対し，関数名など記
述的な記号は，Im のように立体で書かれる．両者は全くの別物であるので，混
同しないように注意すること．
3.2
虚数単位，自然対数の底なども記述
的な記号であり，それぞれ，j, e の
ように立体で書く取り決めになって
いる．
複素数 → p.32
教科書の順序とは異なるが，計算に便利なように教科書の式をまとめてみよう．
複素数：complex number. 直訳す
ると，
「複数の要素から成る数」，
「複
合数」．
複素数
虚数単位(imaginary unit) j は，次の性質を持つ数として定義される．
j2 = −1
(3·11)
複素数z は，2 つの実数 x , y と虚数単位 j によって次のように表される．
ポイント：1 つの複素数で 2 つの実
数を表せる．
z = x + jy
(3·12)
x = Re z , y = Im z
(3·13)
x , y をそれぞれ実部，虚部と呼び，
と書く．ここで，Re , Im は複素数の実部，虚部をとりだす操作を意味する．実部が 0
複素数と実数の関係：自然数，整数，
有理数，実数と進んできた数の拡張
も，複素数で終わりである．
複素数
実数
である場合 (z = jy)，その複素数を純虚数と呼ぶ．一方，虚部が 0 である場合 (z = x)，
その複素数は実数とみなすことができる．
複素数と実数の関係
電気電子 1 年 (2015.6.23)
3–8
複素数の相等
2 つの複素数
z1 = x1 + jy1 , z2 = x2 + jy2
(3·25)
は，それぞれの実部と虚部が等しいとき (また，そのときに限り)，互いに等しい．特
⇔: この記号は同値の意味で用いて
いる．
に，z = x + jy = 0 は，x = 0 , y = 0 を意味する．
z1 = z2 ⇔ x1 = x2 , y1 = y2
および
z = 0 ⇔ x = 0, y = 0
複素数の四則演算
複素数の四則演算は次の規則に従って実行される．
〔加法〕
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + j(y1 + y2 )
〔減法〕
z1 − z2 = (x1 − x2 ) + j(y1 − y2 )
〔乗法〕
z1 z2 = (x1 + jy1 )(x2 + jy2 )
〔除法〕
(3·26)
= (x1 x2 − y1 y2 ) + j(x1 y2 + y1 x2 )
z1
x1 + jy1
x1 + jy1 x2 − jy2
=
=
·
z2
x2 + jy2
x2 + jy2 x2 − jy2
(x1 x2 + y1 y2 ) + j(x2 y1 − x1 y2 )
=
x2 2 + y2 2
x2 y1 − x1 y2
x1 x2 + y1 y2
+j
♠
=
2
2
x2 + y2
x2 2 + y2 2
複素数の四則演算の規則は，実数の
四則演算と整合するように定められ
ている．
(3·30)
(3·47)
実数の場合と同様に，任意の複素数 z1 , z2 , z3 について，次の関係が成り立つ．
〔加法の結合則〕
z1 + (z2 + z3 ) = (z1 + z2 ) + z3
〔乗法の結合則〕
z1 (z2 z3 ) = (z1 z2 )z3
〔分配則〕
z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3
複素数の四則演算規則は，次のようにまとめることができる．
• 加法については，実部どうし，虚部どうしの和を計算する．減法については，同
様にして差を計算する．
• 乗法については，実数の場合と同様にカッコを展開し，j2 = −1 を考慮する．
• 除法については，式 (3·47) のように分母の虚部の符号を変えたもの (共役複素数)
を分母と分子にかけ (分母の実数化)，あとは乗法と同様に計算する．
分母の実数化は，基本的な計算法の
1 つである．
共役
複素数 z について，虚部の符号を変えて得られる複素数を，z の共役複素数と呼び，次
のように書く．
z̄ = z ∗ = x − jy
(3·49)
共役(conjugate) とは，
「対をなす」というほどの意味である．
対をなす：実数を係数にもつ 2 次方
程式の解が複素数となる場合には，
共役複素数が対となって現れる．
共役について次の式が成り立つ．
(
(z1 + z2 ) = z1 + z2 , z1 z2 = z1 z2 ,
z1
z2
)
=
z1
z2
♠
(3·51)
式 (3·13) を共役複素数を使って書き直すと，次のようになる．
Re z =
1
1
(z + z̄) , Im z = (z − z̄)
2
2j
(3·52)
電気電子 1 年 (2015.6.23)
3–9
複素平面
式 (3·12) で表される複素数 z は，図 3・4(a) のように平面上の点に対応させることが
できる．これは，実数を数直線に対応させるのと同様の考え方である．この平面を複
素平面 (ガウス平面，数平面)，横軸を実軸，縦軸を虚軸と呼ぶ．
複素平面上で，原点 O から複素数 z を表す点 x + jy までの距離を r とすると，次
の関係が成り立つ．
r=
√
x2 + y 2
虚
部
y
r
θ
(3·14)
x
O
この r を複素数 z の絶対値と呼び，|z| と書く (絶対値は非負の実数である)．
絶対値について次の式が成り立つ．
〔三角不等式〕
図 3・4(a)
|z| = r
√
|z| = z z̄
(3·53)
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
(3·27)
|z1 z2 | = |z1 | |z2 |
z1 |z1 |
=
z2 |z2 |
(3·35)
(3·20)
なお，複素数どうしの大小関係は定義されないので注意が必要である．例えば，2 つ
の複素数 z1 , z2 について，z1 < z2 と書くのは誤りである．実数の大小関係は言える
ので，|z1 | < |z2 | などと書くのは大丈夫である．
極形式
複素平面上の点 z = x + jy を，極座標 (r , θ) で表すことができる (図 3・4(a) を参照)．
このとき，x = r cos θ , y = r sin θ(式 (3·18)) が成り立つので，
z = r(cos θ + j sin θ)
(3·19)
と書き表すことができる (複素数の極形式あるいは極表示)．ここで，r は複素数 z の
絶対値であり，θ は複素数 z の偏角と呼ばれ，
偏角：argument.
arg z = θ
(3·20)
と書く．偏角は，
θ = tan−1
y
x
(3·15)
で計算できるが，関数 tan−1 の計算には注意が必要である (資料 2–12 を参照)．なお，
z = 0 の偏角は特に定義されない．
2 つの複素数 z1 , z2 を，z1 = r1 (cos θ1 + j sin θ1 ) , z2 = r2 (cos θ2 + j sin θ2 ) とする
と，極形式による乗法と除法は次のようになる．
〔乗法〕
〔除法：逆数〕
〔除法〕
z1 z2 = r1 r2 [cos(θ1 + θ2 ) + j sin(θ1 + θ2 )]
1
1
= r−1 (cos θ − j sin θ) = [cos(−θ) + j sin(−θ)]
z
r
r1
z1
=
[cos(θ1 − θ2 ) + j sin(θ1 − θ2 )]
z2
r2
(3·34)
♠ (3·43)
極形式における複素数の乗除算は，次のようにまとめることができる．
• 乗法：絶対値は，積の計算．偏角は，和の計算．
• 除法：絶対値は，商の計算．偏角は，差の計算．
乗法と除法については極形式が幾何学的なイメージを与える (教科書 pp.35–36）．
実部
電気電子 1 年 (2015.6.23)
3–10
指数関数
複素数 z を変数とする指数関数 ez は，次のように無限級数で定義される．
∞
∑
1 3
zn
1 2
e = exp z = 1 + z + z + z + · · · =
2!
3!
n!
n=0
♠
z
(3·56)–(3·57)
この式から次の関係が導かれる．
〔指数の加法則〕
〔指数関数の微積分〕
複素数における指数関数の定義: 実
数を変数とする指数関数のマクロー
リン級数展開を，複素数に拡張した
ものである．マクローリン級数につ
いては，数学の教科書を参照のこと．
ここで，0! = 1 である．
ez1 ez2 = ez1 +z2
∫
d z
z
e =e ,
ez dz = ez
dz
(3·58)
(3·59)–(3·60)
加法則は指数関数の定義から確認できる．微積分については，厳密には複素関数の微
積分の概念が必要である．複素数を変数とする指数関数については，実数の場合と同
様な結果になることが知られている．
ここで，純虚数 z = jθ(θ は実数) の場合には，オイラーの公式と呼ばれる次の関係
が成り立つ (非常に重要)．
ejθ = cos θ + j sin θ
〔オイラーの公式〕
(3·64)
オイラーの公式の導出については，
数学の教科書を参照のこと．参考書
“オイラーの贈物” にも詳しく記述
されている．
オイラーの公式は，複素数の世界では指数関数と三角関数が密接に関連している，と
いうことを示している．この式から，次の関係が容易に導かれる．
jθ e = 1
(ejθ )−1 = e−jθ = cos θ − j sin θ
ejθ − e−jθ
ejθ + e−jθ
sin θ = Im ejθ =
, cos θ = Re ejθ =
2j
2
(3·68)
オイラーの公式を使って極形式の式 (3·19) を書き直すと，次のようになる．
♠
z = r(cos θ + j sin θ) = rejθ
(3·65)
m 乗根
教科書とは別のやり方で 1 の m 乗根 (m は正の整数) を求めてみよう．1 の m 乗根を
求めるには，次の方程式を解けばよい (代数学の基本定理により，複素数の範囲におい
て，この方程式の解は m 個ある)．
zm = 1
明らかに z = 1 は解の一つである．この解を指数関数形式で書くと次のようになる (n
は整数)．
z = 1 = ej0 = e2nπj
これを，最初の式を変形したものに代入すると，次のような式が得られる．
1
1
n
z = 1 m = (e2nπj ) m = e2 m πj
最右辺の式で，試しに n = 0 とすると z = 1 となる．次に，n = 1, 2, . . . , m − 1 と代
1
2
入していくと，e2 m πj , e2 m πj , . . . , e2
m−1
m πj
という解が次々に得られる．n = m のとき，
一巡して z = 1 という解が再び得られ，あとは重複した解が得られるだけである．
以上の議論から，次の結果が得られる．
2π
1 の m 乗根は 1, κ = ej m , κ2 , . . . , κm−1 である．
対数関数
対数関数については，当面必要ないので省略する．
[3·74]
κ: カッパ
電気電子 1 年 (2015.6.23)
3–11
交流理論
電気回路の交流理論で使用される複素数はフェーザと呼ばれ，式 (3·19) を，
z = r6 θ
(3·22)
と書くことが多い (極形式の一種，フェーザ形式)．交流理論では，絶対値 r を大きさ(あ
るいは長さ) と呼び，偏角 θ を位相角(あるいは角) と呼ぶのが普通である．なお，実
際の計算では，フェーザ表示の角 θ の単位としてラジアンではなく度 [˚] を用いる．
ここで，複素数の表現についてまとめると，補足図 A のようになる．
直交座標
極座標
z = x + jy = r cos θ + jsin θ = r e jθ = r ∠ θ
直交形式
極形式
指数関数フェーザ
形式
形式
補足図 A—式 (3·67)
【例題】
例題 1．次の直交形式の複素数の，実部，虚部および共役複素数を示しなさい．
√
2 + 2j , j , 1 − j 3
(解答例)
• 実部：Re{2 + 2j} = 2，虚部：Im{2 + 2j} = 2，共役複素数：2 + 2j = 2 + (−2) · j =
2 − 2j
• j = 0+1·j より，実部：Re j = 0，虚部：Im j = 1，共役複素数：j̄ = 0+(−1)·j = −j
√
√
√ }
√ }
{
{
• 1 − j 3 = 1 + (− 3) · j より，実部：Re 1 − j 3 = 1，虚部：Im 1 − j 3 =
√
− 3，
√
√
共役複素数：1 − j 3 = 1 + j 3
例題 2．例題 1 の複素数の絶対値を求めなさい．
(解答例)
√
√
• |2 + 2j| = 22 + 22 = 2 2
√
• | j | = 02 + 12 = 1
√ √
√
√
• 1 − j 3 = 12 + (− 3)2 = 4 = 2
例題 3．例題 1 の複素数の偏角を求めなさい．
(解答例)
• arg(2 + 2j) = π/4 = 45˚
• arg(j) = π/2 = 90˚
電気電子 1 年 (2015.6.23)
3–12
√
• arg(1 − j 3) = −π/3 = −60˚
※偏角を確実に求めるには，複素数を複素平面にベクトルとして描くこと．
例題 4．例題 1 の複素数を，指数関数形式とフェーザ形式 (r6 θ) で書きなさい．
(解答例) 例題 2, 3 の結果を用いて，
√
√ π
• 2 + 2j = 2 2ej 4 = 2 26 45˚
π
• j = ej 2 = 16 90˚
√
π
• 1 − j 3 = 2e−j 3 = 26 (−60˚)
【演習問題】
□問題 1．複素数の直交形式を用いて以下の関係を示しなさい．ただし，c1 = a1 +
jb1 , c2 = a2 + jb2 とする．
1. |c1 · c2 | = |c1 | · |c2 |
c1 |c1 |
2. =
c2
|c2 |
□問題 2．複素数の極形式 (z = r(cos θ + j sin θ)) を用いて以下の関係を示しなさい．
ただし，c1 = |c1 | 6 θ1 , c2 = |c2 | 6 θ2 とする．
1. c1 · c2 = |c1 | · |c2 | 6 (θ1 + θ2 )
2.
c1
|c1 |
6 (θ1 − θ2 )
=
c2
|c2 |
□問題 3．三角関数の公式およびオイラーの公式を使って，以下の関係が成り立つこ
とを確認しなさい (θ は実数)．ただし，指数関数の性質 (ea+b = ea eb など) は使わな
いこと．
1. ejθ = e−jθ
2. ejθ = 1
3. e−jθ = 1
4. e−jθ =
1
ejθ
5. ej(θ1 +θ2 ) = ejθ1 · ejθ2
6. ej(θ1 −θ2 ) =
ejθ1
ejθ2
□問題 4．問題 3 の関係式 4.–6. をフェーザ形式に書き直しなさい．
) 13
(√
3
1
+j
□問題 5．
を計算し，そのベクトル図を複素平面に描きなさい．ヒント：
2
2
この問題の解は，3 つ存在する．
手書きの場合は，角度記号 6 の下
辺を伸ばして，その上に角を記入す
るのが一般的である．

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