数学 A2 §13 グリーンの定理 演習問題 演習の進め方:以下の問題を解き, 裏面の解答例を見て答え合わせをすること. 赤ペンなどを用 い, 正解ならば○, 誤りは×をつけたうえで訂正せよ. 解答例を見ても分からない個所や, 質問 があれば⃝ ? のマークを付けて, 不明な点をできるだけ明確にすること. ウォーム・アップ 問題 1. 次の有向曲線をパラメータを用いて表せ. (1) 点 (3, 5) から点 (1, 4) へ向かう有向線分 (2) 円板 D : x2 + y 2 ≤ 4 の境界 課題 問題 2. 次の線積分の値を計算せよ. ∫ (x2 dx + 2xydy) C : (1, 1) から (−1, 3) へ向かう線分 C 問題 3. 次の線積分の値を計算せよ. ∫ 2 (xydx + ex dy) C : y = x2 , 向き : (0, 0) → (2, 4) C 問題 4. 次の線積分の値を計算せよ. ∫ (y 2 dx + x2 dy) C : x = cos t, y = sin t (t : 0 → π) C 問題 5. C を単位円板 D : x2 + y 2 ≤ 1 の境界とする. 次の線積分をグリーンの定理により重積分に帰 着して計算せよ . ∫ ∫ x 4 3 {(e + y)dx + (y + x )dy} {(y 3 − y)dx + (3y 2 x − x)dy} (1) (2) C C 問題 6. 次の図形の面積を求めよ. (1) アステロイド x = a cos3 θ, y = a sin3 θ, 0 ≤ θ ≤ 2π (a > 0) の囲む図形. (2) 極座標表示されたカーディオイド r = a(1 + cos θ), 0 ≤ θ ≤ 2π (a > 0) の囲む図形 (3) 曲線 x = cos t, y = sin5 t (0 ≤ t ≤ 2π) で囲まれる図形 追加課題 提出すれば答案は添削する1. 問題 7. ε > ∫0 に対し, Cε : x = ε cos t, y = ε sin t, t : 0 → 2π と定める. −ydx + xdy 線積分 Iε = を求めよ. x2 + y 2 Cε 問題 8. 平面領域 D の境界 ∂D 上に原点がないものとする. このとき次を示せ. { ∫ 0 D 内に原点がないとき −ydx + xdy = x2 + y 2 ∂D 2π D 内に原点があるとき 1解答例の公開 (約 2 週間) → http://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/c/math/noda/ 1 7 1 7 (1) 2点を結ぶ直線は y = x + と表すことができるので, C : y = x + 2 2 2 2 (別解) たとえば, C : x = 3 − 2t, y = 5 − t t : 0 → 1 などでもよい. (2) D の境界 ∂D は原点中心, 半径 2 の円周に, 反時計回りの向きを付けたもの. 解 1. x:3→1 t : 0 → 2π ∂D : x = 2 cos t, y = 2 sin t 解 2. C : y = −x + 2 x : 1 → −1 と表すことができるので, } ∫ −1 ∫ ∫ −1 { { 2 } dy 2 2 (x dx + 2xydy) = x dx + 2x(−x + 2) dx = x + 2x(−x + 2)(−1) dx dx C 1 1 ∫ −1 [ ]−1 = (3x2 − 4x)dx = x3 − 2x2 = −2 1 1 別解. C : x(t) = 1 − 2t, y(t) = 1 + 2t t : 0 → 1 と表して, ) ∫ 1( ∫ 1 ∫ ( ) dy 2 dx 2 x(t) (x dx+2xydy) = dt = (1 − 2t)2 (−2) + 2(1 − 2t)(1 + 2t) · 2 dt = −2 + 2x(t)y(t) dt dt C 0 0 解 3. C : y = x2 x : 0 → 2 と表して, ) ∫ 2( ∫ ∫ 2( ) [1 ] 2 2 2 2 x2 dy x2 (xydx + e dy) = xx dx + e = x3 + 2xex dx = x4 + ex = 3 + e4 dx 4 0 0 C 0 ) ∫ ∫ π( ∫ π ( ) 2 2 2 dy 2 dx 解 4. (y dx + x dy) = dt = sin t + cos t − sin3 t + cos3 t dt dt dt∫ 0 0 ∫ π C π( ( ) ) 2 2 = −(1 − cos t) sin t + (1 − sin t) cos t dt = cos t − sin t + cos2 t sin t − sin2 t cos t dt 0 [0 1 3 ]π 4 1 3 = sin t + cos t − cos t − sin t = − 3 3 3 0 ) ∫ ∫∫ ( ∂ 4 ∂ x x 4 3 3 解 5. (1) {(e + y)dx + (y + x )dy} = (y + x ) − (e + y) dxdy ∂x ∂y C D ∫∫ ∫ 1 ∫ 2π ∫ 1 ( 2 ) π 2 2 = 3x − 1 dxdy = dr (3r cos θ − 1)rdθ = (3πr3 − 2πr)dr = − 4 D 0 0 0 } ∫ ∫∫ { ∂ ∂ 3 {(y 3 − y)dx + (3y 2 x − x)dy} = (2) (3y 2 x − x) − (y − y) dxdy = 0 ∂x ∂y C D ) ∫ ∫ ( 1 2π 1 dy dx 解 6. (1) S = (xdy − ydx) = x(θ) − y(θ) dθ 2 C 2 0 dθ dθ ∫ ∫ ) 3a2 2π 2 1 2π ( 2 2 4 2 2 4 3a sin θ cos θ + 3a cos θ sin θ dθ = sin θ cos2 θdθ = 2 0 2 0 ∫ ∫ 3a2 2π 2 3a2 2π 3 = sin 2θdθ = (1 − cos 4θ)dθ = πa2 8 0 16 0 8 (2) r(θ) = a(1 + cos θ) とおくと, x(θ) = r(θ) cos θ, y(θ) = r(θ) sin θ より, dy dx x(θ) − y(θ) = r cos θ(r′ sin θ + r cos θ) − r sin θ(r′ cos θ − r sin θ) = r(θ)2 dθ∫ dθ ∫ ∫ 1 1 2π 2 3 1 2π 2 S= r(θ) dθ = a (1 + cos θ)2 dθ = πa2 (xdy − ydx) = 2 ∫C 2 ∫0 2 0 2 ∫ 2π 2π 2π dx 5 3 1 π 5 (3) S = − y(θ) dθ = − sin5 θ(− sin θ)dθ = sin6 θdθ = 4 · · · · = π dθ 6 4 2 2 8 0 0 0
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