数学 A2 §13 グリーンの定理演習問題

数学 A2 §13 グリーンの定理演習問題
演習の進め方：以下の問題を解き, 裏面の解答例を見て答え合わせをすること. 赤ペンなどを用
い, 正解ならば○, 誤りは×をつけたうえで訂正せよ. 解答例を見ても分からない個所や, 質問
があれば⃝
? のマークを付けて, 不明な点をできるだけ明確にすること.
ウォーム・アップ問題 1. 次の有向曲線をパラメータを用いて表せ.
(1) 点 (3, 5) から点 (1, 4) へ向かう有向線分
(2) 円板 D : x2 + y 2 ≤ 4 の境界
課題問題 2. 次の線積分の値を計算せよ.
∫
(x2 dx + 2xydy)
C : (1, 1) から (−1, 3) へ向かう線分
C
問題 3. 次の線積分の値を計算せよ.
∫
2
(xydx + ex dy)
C : y = x2 , 向き : (0, 0) → (2, 4)
C
問題 4. 次の線積分の値を計算せよ.
∫
(y 2 dx + x2 dy)
C : x = cos t, y = sin t (t : 0 → π)
C
問題 5. C を単位円板 D : x2 + y 2 ≤ 1 の境界とする. 次の線積分をグリーンの定理により重積分に帰
着して計算せよ
.
∫
∫
x
4
3
{(e + y)dx + (y + x )dy}
{(y 3 − y)dx + (3y 2 x − x)dy}
(1)
(2)
C
C
問題 6. 次の図形の面積を求めよ.
(1) アステロイド x = a cos3 θ, y = a sin3 θ, 0 ≤ θ ≤ 2π (a > 0) の囲む図形.
(2) 極座標表示されたカーディオイド r = a(1 + cos θ), 0 ≤ θ ≤ 2π (a > 0) の囲む図形
(3) 曲線 x = cos t, y = sin5 t (0 ≤ t ≤ 2π) で囲まれる図形
追加課題提出すれば答案は添削する1.
問題 7. ε > ∫0 に対し, Cε : x = ε cos t, y = ε sin t, t : 0 → 2π と定める.
−ydx + xdy
線積分 Iε =
を求めよ.
x2 + y 2
Cε
問題 8. 平面領域 D の境界 ∂D 上に原点がないものとする. このとき次を示せ.
{
∫
0 D 内に原点がないとき
−ydx + xdy
=
x2 + y 2
∂D
2π D 内に原点があるとき
1解答例の公開
(約 2 週間) → http://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/c/math/noda/
1
7
1
7
(1) ２点を結ぶ直線は y = x + と表すことができるので, C : y = x +
2
2
2
2
(別解) たとえば, C : x = 3 − 2t, y = 5 − t t : 0 → 1 などでもよい.
(2) D の境界 ∂D は原点中心, 半径 2 の円周に, 反時計回りの向きを付けたもの.
解 1.
x:3→1
t : 0 → 2π
∂D : x = 2 cos t, y = 2 sin t
解 2. C : y = −x + 2 x : 1 → −1 と表すことができるので,
} ∫ −1
∫
∫ −1 {
{ 2
}
dy
2
2
(x dx + 2xydy) =
x dx + 2x(−x + 2) dx =
x + 2x(−x + 2)(−1) dx
dx
C
1
1
∫ −1
[
]−1
=
(3x2 − 4x)dx = x3 − 2x2
= −2
1
1
別解. C : x(t) = 1 − 2t, y(t) = 1 + 2t t : 0 → 1 と表して,
)
∫ 1(
∫ 1
∫
(
)
dy
2 dx
2
x(t)
(x dx+2xydy) =
dt =
(1 − 2t)2 (−2) + 2(1 − 2t)(1 + 2t) · 2 dt = −2
+ 2x(t)y(t)
dt
dt
C
0
0
解 3. C : y = x2 x : 0 → 2 と表して,
) ∫ 2(
∫
∫ 2(
)
[1
]
2
2 2
2
x2 dy
x2
(xydx + e dy) =
xx dx + e
=
x3 + 2xex dx = x4 + ex
= 3 + e4
dx
4
0
0
C
0
)
∫
∫ π(
∫ π
(
)
2
2
2 dy
2 dx
解 4.
(y dx + x dy) =
dt =
sin t + cos t
− sin3 t + cos3 t dt
dt
dt∫
0
0
∫ π C
π(
(
)
)
2
2
=
−(1 − cos t) sin t + (1 − sin t) cos t dt =
cos t − sin t + cos2 t sin t − sin2 t cos t dt
0
[0
1 3 ]π
4
1
3
= sin t + cos t − cos t − sin t = −
3
3
3
0
)
∫
∫∫ (
∂ 4
∂ x
x
4
3
3
解 5.
(1)
{(e + y)dx + (y + x )dy} =
(y + x ) −
(e + y) dxdy
∂x
∂y
C
D
∫∫
∫ 1 ∫ 2π
∫ 1
( 2
)
π
2
2
=
3x − 1 dxdy =
dr
(3r cos θ − 1)rdθ =
(3πr3 − 2πr)dr = −
4
D
0
0
0
}
∫
∫∫ {
∂
∂ 3
{(y 3 − y)dx + (3y 2 x − x)dy} =
(2)
(3y 2 x − x) −
(y − y) dxdy = 0
∂x
∂y
C
D
)
∫
∫ (
1 2π
1
dy
dx
解 6.
(1) S =
(xdy − ydx) =
x(θ) − y(θ)
dθ
2 C
2 0
dθ
dθ
∫
∫
)
3a2 2π 2
1 2π ( 2 2
4
2
2
4
3a sin θ cos θ + 3a cos θ sin θ dθ =
sin θ cos2 θdθ
=
2 0
2 0
∫
∫
3a2 2π 2
3a2 2π
3
=
sin 2θdθ =
(1 − cos 4θ)dθ = πa2
8 0
16 0
8
(2) r(θ) = a(1 + cos θ) とおくと, x(θ) = r(θ) cos θ, y(θ) = r(θ) sin θ より,
dy
dx
x(θ) − y(θ)
= r cos θ(r′ sin θ + r cos θ) − r sin θ(r′ cos θ − r sin θ) = r(θ)2
dθ∫
dθ
∫
∫
1
1 2π 2
3
1 2π
2
S=
r(θ) dθ =
a (1 + cos θ)2 dθ = πa2
(xdy − ydx) =
2 ∫C
2 ∫0
2 0
2
∫ 2π
2π
2π
dx
5 3 1 π
5
(3) S = −
y(θ) dθ = −
sin5 θ(− sin θ)dθ =
sin6 θdθ = 4 · · · · = π
dθ
6 4 2 2
8
0
0
0

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