第 章 正規分布 みなさんはこれから「統計数学」を学習していくわけですが，そもそも「統計」とは一体何 者で，どんなことをする学問なのでしょうか。首を傾げてしまう人がいるかもしれませんので， ここでまず簡単に「統計」とはどんなものであるかという説明をします。 高校の数学では「確率・統計」というように， 「確率」と「統計」を一緒にして学習すること が多いのですが，それは「確率」と「統計」が非常に深く関わりあっているからなのです。よっ て「確率」の考え方と「統計」の考え方を比較しながら， 「統計」の説明をしたいと思います。 今，コインが１枚，確率の研究家と統計の研究家に与えられたとします。確率の研究家はた とえば， 「このコインの表と裏の出る確率はそれぞれ である。したがって，このコインを５ 回投げた時少なくとも１回は表が出る確率は で求めることができる。」 と考えるのに対して，統計の研究家はたとえば， 「まず，このコインを 回投げてみて，表と裏の出方を調べてみよう。実際に投げ た結果からみると，どうやら表と裏の出方には偏りがあるようだ。それでは，このコ インの数学的なモデル（数式で表すこと）はどのようなものを考えたらいいだろう。 いくつかモデルが考えられるが，その中で最適なモデルはどうやって求めればいいだ ろうか。まずは，最適と判断するための基準を考える必要があるみたいである。」 と考えます。 以上のたとえでなんとなくわかったでしょうか。簡単にいってしまえば，確率の研究家は数 学的なモデルを１つ決めて，そのモデルからどのような結論が導かれるかを研究します。一方， 統計の研究家は現実に起こっている現象に対して，どんな数学的なモデルを考えるのが最適か を研究するということです。 ところで，統計の研究家が数学的モデルを見つける場合，現実に起こっているいくつかの例 から正しいモデルを見つけるわけですが，現実に起こっている現象にはいろいろな不確定要素 の影響があります。また，モデルを選ぶときにも，本当は違うのに，たまたま起こったことで 間違ったモデルを選んでしまうということもあります。そこで，この不確定要素の影響や，偶 然の影響で誤った判断をする危険性を確率として捉えて，統計理論の中に取り入れていくこと になったのです。だから，統計には確率が必要ということで，両方を一緒にして， 「確率・統計」 として高校や大学で学習するのです。 確率変数 確率 まずは確率の基本について復習しましょう。問題を解きながら基本法則を確認します。 例題 個のさいころを同時に投げるとき，次の確率を求めよ。 目の和が になる確率 目の和が の倍数である確率 例題 白玉 個，赤玉 個が入った袋から玉を 個取り出し，色を調べてからもとに戻すことを 回行う とき，次の確率を求めよ。 白，赤，白の順に出る確率 回目に初めて白が出る確率 例題 ， ， なくとも の 人がある検定試験に合格する確率が，それぞれ ， ， であるとする 人のうち，少 人が合格する確率を求めよ。 例題 個のさいころを続けて の目がちょうど 回投げるとき，次の確率を求めよ。 回出る確率 奇数の目がちょうど 回出る確率 例題 等 円が 本， 等 円が 本， 等 円が 本あたるじが 本を引くとき，賞金の期待値を求めよ。ただし，はずれの場合の賞金は 本ある。このくじ 円とする。 【問 】 組 枚のトランプから 枚抜き取り，カードを見てからもとに戻すことを 回行うとき， 次の確率を求めよ。 回ともハートが出る確率 【問 を 】 白玉 個，赤玉 【問 回出る確率 】 数直線上の原点に点 向きに 【問 個が入っている袋から玉を 個取り出し，色を調べてからもとに戻すこと 回続けて行うとき，次の確率を求めよ。 白玉がちょうど 回目に初めてハートが出る確率 白玉が がある。 個のさいころを投げて， ， ， ， の目が出たら だけ進み， ， の目が出たら の座標 回以上出る確率 は負の向きに だけ進む。さいころを は正の 回続けて投げたとき， が次のようになる確率を求めよ。 】 本のくじの中に当たりくじが 本ある。このくじを， ， 人がこの順に 本ずつ引 く。ただし，引いたくじはもとに戻さないとする。 が当たり 【問 がはずれる確率を求めよ 】 偶数の目をすべて の目に直したさいころを が当たる確率を求めよ。 回投げるとき，出る目の期待値を求めよ 平均値 つのサイコロを振るとき，出る目の最大値を とする。この場合，標本空間は下の表のように 通 りの根元事象からなる。 根元事象とはそれ以上簡単なものに分けられないような基本的事象，標本空間とはそれら根元事象全体 の集合のことをいう。 の値は 従って， から の自然数であるが，上の根元事象の つ つに対応して は上の標本空間を定義域とする関数と考えることができる。 が の値が つずつ決まる。 の値をとる確率を で表すことにすると， となる。一般に，標本空間を定義域とする関数を確率変数といい，ふつう 変数 が， の値をとり， の対応関係を 値 などの大文字で表す。確率 がそれらの値をとる確率が与えられているとき， と の確率分布，または単に分布という。確率分布を表すには，式や表を用いる。また，平均 を次のように定義する。 平均値 確率変数 の確率分布が下の表のようなとき， 例題 【問 つのサイコロを振るとき，出る目の最大値を 】 本の当たりくじを含む 含まれている当たりくじの本数を とする。次の表を埋め，平均値を求めよ。 本のくじがある。この中から 本のくじを同時にひくとき，それに とする。次の確率分布を完成させ，平均値を求めよ。 分散と標準偏差 以前学習したように，資料のちらばりぐあいを調べるためには，分散や標準偏差が必要でした。２章で確 率変数の平均値について学習しましたが，確率変数はいろいろな値を取るのだから，そのちらばりぐあい を示すものとして分散や標準偏差を考えることができるはずです。 確率変数 に対して，平均値 とする。このときに， となる。これを の標準偏差といい で表す。これらを単に の分散といい の平均値を考えると， で表す。さらに を と略記することもある。 分散と標準偏差 確率変数 に対して，平均値 とするとき， 分散 標準偏差 分散は常に 以上であり，値が に近いほど，確率変数 がその平均値 より離れた値をとる確率が小さい ということを意味している。 また，分散を表す式を変形すると次のようになる。 分散と標準偏差 確率変数 に対して， 分散 この計算式を用いて分散と標準偏差を求めていこう。 例題 白玉 個と黒玉 白玉の出る回数を 個が入っている袋の中から，玉を 個ずつ元に戻さずに とする。このとき，平均値 ，分散 回続けて取り出すとき， ，標準偏差 を求めよ。 【問 】 白玉 個と黒玉 すとき，白玉の出る回数を 個が入っている袋の中から，玉を とする。このとき，平均値 【問 】 次の確率分布に従う変数 【問 】 硬貨を これを 分散 について，平均値 枚投げて，表ならば時速 で を求めよ。 回続けて取り出 ，標準偏差 を求めよ。 ，分散 ，標準偏差 を求めよ。 分間歩き，裏ならば時速 回繰り返して，まっすぐな道を進む。進んだ距離を ，標準偏差 個ずつ元に戻さずに ，分散 とする。確率変数 で 分間走る。 の平均値 ， 硬貨を 枚投げるとき，表の出る枚数を とする。 の確率分布表を作り，次の問に答えよ。 を求めなさい。 確率変数 の平均値，分散を求めよ。 次の確率分布に従う変数 ある確率変数 について ， を求めよ。 の確率分布が次のようになっている。 の期待値が であるとき， ， の値を求 めよ。 つのさいころを 回投げるとき，出た目の数の差を とする。 ， を求めよ。 同時分布 同時分布 次に つの確率変数の関係について考えてみよう。 同時分布 つの確率変数 き，すべての について， のとる値が について，下のように式や，表で ， のとる値が であると つの確率変数を対応させることを同時分布という。 一般に， つの確率変数 についても，同様に， のように表す。 例題 本の当たりくじを含む 本のくじがある。まず くんがくじを んが 本引くとき， くん， くんの当たりくじの数を，それぞれ 本引き，残りのくじから とする。 と く の同時分布 を求めなさい。 【問 】 を抜き出す。 から までの番号のついた 枚の札から， 君が 君， 君の札の番号を ， とする。確率変数 枚を抜き出し，残りの札から ， の同時分布を求めよ。 君が 枚 同時分布と平均 を定数とするとき，確率変数 および の平均値 ， はどのように 考えたらよいのであろうか。 例題 つの確率変数 の確率分布が右の表のように与えられている とする。 となることを証明せよ。 【問 】 は定数とするとき， 数学Ⅰで学んだように つの事象 が成り立つことを証明せよ。 が独立であるとは，事象 率に影響を与えないことであった。すなわち， では つの確率変数 が起こったことが事象 の起こる確 が成り立つことであった。 が互いに独立ということについて考えてみよう。 互いに独立 一般に， つの確率変数 であるとき，すべての について， 】 大小 同時分布表を作り かめよ。 ， のとる値が について， が成り立つとき，確率変数 【問 のとる値が は互いに独立であるという。 つのサイコロを同時に投げ，それぞれのサイコロの出る目を とする。 と の をそれぞれ から のうちの任意の自然数とするとき次の式が成り立つことを確 【問 】 つの確率変数 が互いに独立ならば， が成り立つことを証明 せよ。 同時分布と平均 ， を定数とするとき，確率変数 の平均値について，次の関係式が成り立つ。 【問 】 袋の中に白い玉が 個，赤い玉が 回目に白が出たら ，赤が出たら ら （ つの確率変数 という値をとる確率変数を が互いに独立のとき） 個入っている。この袋から という値をとる確率変数を 個の玉を取り出すときに， ， 回目に白が出たら ，赤が出た とする。 回目に取り出した玉を戻してから 回目の玉を取り出すとき， 同時分布表を埋めよ。 ， を求めよ。 を求めよ。 を求めよ。 を求めよ。 【問 】 から までの番号をつけた 枚のカードが入った袋 枚のカードが入った袋 と， から までの番号をつけた がある。この つの袋からそれぞれ 枚ずつカードを取り出すとき， か ら取り出したカードの番号を ， から取り出したカードの番号を とする。番号の和 の平均 値を求めよ。 【問 】 個のサイコロを 回続けて投げるとき， 回目に出た目の数の 倍から 回目に出た数の 倍を引いた金額がもらえるというゲームをする。もらえる金額の平均値を求めなさい。ただし，金 額がマイナスにマイナスになったときには，その分の金額を支払わなければならないとする。 同時分布と分散 独立な確率変数の和・積の平均値は，それぞれの平均値の和・積となりました。では，独立な確率変数に ついて，和・差の分散はどうなるのであろうか。 例題 つの確率変数 が互いに独立とする。分散の定義式 を用いて，次 の式を証明せよ。 【問 】 分散の定義式 【問 】 を用いて， を証明せよ。 が成り立つことを証 明せよ。 同時分布と分散 ， を定数、 つの確率変数 係式が成り立つ。 が互いに独立とするとき，確率変数 の分散について，次の関 【問 】 個のサイコロを同時に投げるとき，それぞれのサイコロの出る目を とき 【問 ， ， とする。この の値を求めよ。 】 確率変数 の平均値が で分散が ，確率変数 の平均値が で分散が で， と が 互いに独立であるとする。このとき，次の値を求めよ。 【問 】 袋の中に白い玉が ら 個，赤い玉が 回目に白が出たら ，赤が出たら という値をとる確率変数を 個入っている。この袋から という値をとる確率変数を とする。 回目に取り出した玉を戻さないで 回目の玉を取り出すとき， 同時分布表を埋めよ。 ， を求めよ。 は成り立つか。 は成り立つか。 個の玉を取り出すときに， ， 回目に白が出たら ，赤が出た 当たりくじが 本入った 本のくじがあるある。元に戻さずに， ， の順にひくとき， ， の引 く当たりくじの本数をそれぞれ ， とする。 ， が 本ずつ引くとする。 ， の同時分布表を作り， 次の問に答えよ。 ， の値を求めよ。 の箱には いてある から を求めよ。 までの数字が書いてある ， の箱から引いた数を ， の確率変数 から，変換 によって，期待値 ，分散 の確率変数 とする。 つのサイコロを同時に投げるとき，それぞれのサイコロの出る目を ， までの数字が書 の箱から引いた数を の平均を求めよ。 を作りたい。定数 ， の値を求めなさい。ただし ， から 枚ずつを引くとき， とする。 を求めよ。 期待値 ，分散 大小 枚のカードが， の箱には 枚のカードが入っている。それぞれの箱から の値を求めよ。 ， めよ。 ， とする。 ， を求 二項分布 二項分布 例題 サイコロを 回投げるとき， の目が出る回数を とする。確率分布表を埋め， ， ， を求めよ。 【問 】 コインを 回投げるとき，表が出る回数を とする。確率分布表を埋め， ， ， を求めよ。 回の試行で事象 の起こる確率が 起こる確率は 回行う反復試行において， が 回 と表すことができる。 このような反復試行において， る。ただし であるときに，この試行を の起こる回数を とすると，確率変数 の確率分布は次のようにな とする。 この表に現れている確率は，二項定理の展開式 の右辺の各項を順に並べたものと一緒であり，この確率分布を二項分布といい， のとき確率変数 は二項分布 に従うという。ただし， で表す。また，こ である。 例題 個のサイコロを 回投げるとき， の目が出る回数 うな二項分布に従うのか 【問 は二項分布に従う確率分布となる。どのよ の形で答えなさい。 】 コインを 回投げたときに，表の出る回数 は二項分布に従う確率分布となる。どのような二項 分布に従うのか の形で答えなさい。 二項分布の平均値，分散，標準偏差 例題 二項分布 おいて， とするとき，平均値 が成り立つことを， の 場合について示せ。 【問 】 二項分布 立つことを， おいて， の場合について示せ。 とするとき，平均 ，分散 が成り 二項分布の平均値，分散，標準偏差 確率変数 が二項分布 に従うとき， とすると 平均値 分散 標準偏差 例題 次の二項分布の平均値，分散，標準偏差をそれぞれ求めなさい 【問 】 次の二項分布の平均値，標準偏差，分散をそれぞれ求めなさい 【問 】 次の確率変数 は二項分布に従う。その分布を の形に表せ。また， の平均値， 標準偏差を求めなさい。 １枚の硬貨を 不良品 回投げるとき，表が出る回数 ％の製品の山から 的を矢で射るとき，普段 【問 】 二項分布 求めよ。 個を無作為に取り出したときの不良品の個数 回中 回命中する人が， に確率変数 回中に命中する回数 が従うとき， を 二項分布 例題 サイコロを 回投げるとき， の目が出る回数を とする。このとき である。各 に対する のときの のときの の値を求めると下の表のようになる。 の値の折れ線グラフを描け。 の値の折れ線グラフを描け。グラフを見てわかることを記述しなさい。 【問 】 例題 サイコロを サイコロを 【問 をもとに，次の問に答えよ。 回投げて 回投げて 】 次の表は の目が の目が 回以上出る確率を求めよ。 回以上出る確率を求めよ。 の値を計算した表である。これをもとに各 の値に対する折れ線グラフを 右の図に同時に表せ。またそこからどのようなことがわかるか記しなさい。 【問 】 次の表は の値を計算した表である。これをもとに各 の値に対する折れ線グラフ を右の図に同時に表せ。またそこからどのようなことがわかるか記しなさい。 的を矢で射るとき，普段 回中 回命中する人が， の平均値を求めよ。 ○，×で答える問題が 問与えられている。いま，この解答をするのに，考えないででたらめに○， とする。 の平均値を求めよ。 の標準偏差を求めよ。 において， を求めよ。 二項分布 とする。 の標準偏差を求めよ。 ×をつけるとき，そのうちの正解数を 二項分布 回中に命中する回数を を求めよ。分母の有理化をして答えよ。 に確率変数 を求めよ。 が従うとき， を求めよ。 正規分布 正規分布 例題 下の表は の値を計算した表で，これを折れ線グラフに表したのが右のグラフである。平 均と標準偏差を求めよ。また，グラフからわかることをいいなさい。 【問 】 例題 で， とするとき， の値を求めたあと，次の値を求めよ。 グラフからわかるように， の値が大きくなるにしたがって，グラ フは次第に左右対称な山型の曲線に近づいていく。実はこのような傾 向は，一般の二項分布 に対しても成り立つ。こうした連続分布を 正規分布といい，その平均値は これを記号 ，標準偏差は になる。 で表し，このグラフを正規分布曲線という。 自然現象や社会現象の中には観測される変量の分布が正規分布に 近いものが少なくない。例えば，身長の分布は正規分布になると言 われている。 正規分布曲線の特徴 曲線は直線 関して対称であり，曲線の値は で最大となる。 軸を漸近線とする。 標準偏差 が大きくなると，曲線の山が低くなって横に広がり， が小さくなると曲線の山は高く なって対称軸 の周りに集まる。 上の式は平均を中心として左右に標準偏差 つ分， つ分， つ分の範囲にそれぞれ ％が入ることを意味している。 ％， ％， 標準正規分布 正規分布 は，平均値が 標準偏差 となる。 グラフは右図のようになり，平均値を軸に左右対称なグラフで ある。また，平均値を中心として が成り立つ。これを平均値や標準偏差によらず，常に一定の値を 得ることができるように，次の手順で標準化する。 こうした確率変数を変換することで，平均値 ，標準偏差 の正規分布を考えるようにすると，様々な計 算をするときに便利になる。平均値 ，標準偏差 の正規分布 標準正規分布 に従う確率変数 な の値を表にまとめたものが次のページの正規分布表である。 の値に対する に対して，確率 を標準正規分布という。 を で表すとき，いろいろ 例題 確率変数 【問 が 】 確率変数 に従うとき，正規分布表を使って次の確率を求めなさい。 が に従うとき，正規分布表を使って次の確率を求めなさい。 例題 確率変数 【問 が正規分布 】 確率変数 に従うとき，確率 が正規分布 を求めよ。 に従うとき，次の確率を求めよ。 例題 ある高校で 年男子 る。このとき身長が 【問 】 ある県における 人の身長が，平均 から ，標準偏差 の正規分布にだいたい従うとす までの生徒の人数はおよそ何人か。 歳の女子高校生の身長が，平均 ，標準偏差 の正規分布にだいた い従うとする。このとき，次の問いに答えよ。 身長 以上の生徒は， 身長 の生徒は， 人中何人くらいか。答えは小数点以下を切り捨てにせよ。 人の中で身長の高い方からおよそ何番目くらいか。答えは小数点以下を切 り上げにせよ。 人中，身長の低い方から 上げにせよ。 人の中に入るのは，約何 以下の生徒か。答えは小数点以下を切り 二項分布と標準正規分布 二項分布 のグラフは， が大きくなるにつれて，正規分布曲線と似てくる。そこで，次のように 二項分布は正規分布により近似することができることがわかっています。 二項分布から標準正規分布への変換 二項分布 だし に従う確率変数 は が大きいときに，近似的に正規分布 に従う。た である。 例題 サイコロを 回投げるときに， の目が出る回数 【問 】 枚の硬貨を 【問 】 ある国において，血液型の割合は 無作為に 【問 回以下となる確率を求めよ。 回投げるとき，表の出る回数が 人を選ぶとき， 】 ある高校の が 年 型の人が 型 ％， 人以上 人の身長は，平均値 回以上， 型 ％， 型 回以下である確率を求めよ。 ％， 型 ％である。 人以下となる確率を求めよ。 ，標準偏差 の正規分布に従うものと する。このとき次の問いに答えよ。 身長が の男子は 身長が高い方から 人中高い方から約何番目の高さであるか。 人の中に入るには，約何 以上あればよいか。小数点以下を切り上げにせよ。 確率変数 が 確率変数 が に従うとき，正規分布表を用いて，次の確率を求めなさい。 に従うとき，次の確率を求めよ。 ある学校でテストを行ったところ，その成績は平均 ある生徒の点数が 成績の上位 点の正規分布になった。 点以上である確率を求めよ。 ％に入るためには何点以上必要か。小数第 枚の硬貨を ある高校の 点，標準偏差 回投げるとき，表の出る回数が 年 人の体重は，平均値 位を四捨五入して答えよ。 回以上， ，標準偏差 回以下である確率を求めよ。 の正規分布に従うものとする。このと き次の問いに答えよ。 体重が の男子は 体重が重い方から えよ。 人中重い方から数えて約何番目か。小数第 人の中に入るには，約何 位を切り上げして答えよ。 以上あればよいか。小数第 位を切り上げして答
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