磁場とローレンツ力と荷電粒子の運動静磁場とビオ・サヴァールの法則

磁場とローレンツ力と
荷電粒子の運動
静磁場とビオ・サヴァール
の法則
講義資料URL
https://www.sss.fukushimau.ac.jp/~kami/Lecture/EM/
1
磁場とは何か
静止している電荷（荷電粒
子）qに働く力
＝クーロン力
F=
速度vで運動している電荷（荷電粒子）
qに働く力
＝クーロン力 + ローレンツ力
qE
F=
E
+
qE
E
qv×B
v
外積
q
q
2
F
= qE
q
+
qv×B
q
E
E：電場
電荷に力を及ばす空間の性質
B
磁場（ H ）
B：磁束密度
1
H
B
0
運動している電荷に力を及ばす
空間の性質
3
ベクトルの外積
c=a×b
|c|= |a| |b| sinθ
c
b
θ
a
右ねじの進む向き
4
磁束密度が電流に及ぼす力
1
導線
v
－
n：単位長さ当たり
の電子の数
n
l
１個の自由電子に働くローレンツ力
＝ f1 = (-e) v×B
長さ l の導線に働く力
＝ n l f1 = l n (-e) v×B = l I ×B
I ：電流ベクトル
（断面積を単位時間に移
動する電荷）
5
磁場は仕事をしない
ローレンツ力は速度に垂直
FL  v
（力の働く方向への移動距離＝0）
vはyz平面上にある
と仮定
z
磁場は仕事をせず，磁場中で荷電粒子の
運動エネルギーは変わらない
B
v
v  v  一定
v//
θ
v//=vcosθ
速度vは向きだけを変える
q
v⊥
FL = qv×B
x
y
v⊥=vsinθ
W  FL  r  FL  vt  ( FL  v )t  0
6
磁束密度Bの真空中を質量m，電荷qの荷
電粒子が速度vで運動しているときの運動
FL
力＝加速度×質量
= qv×B
積分
加速度
積分
速度
微分
変位
微分
• 磁場に平行な成分と垂直な成分に分けて考えると
磁場に平行な運動＝等速度運動
磁場に垂直な面内の運動＝等速円運動
7
磁場に平行な運動---等速度運動
z
B = 一定のとき
B
v
v//
v＝一定だから，θ ＝一定
θ
v//=vcosθ
FLのB方向の成分は0
＝ B方向には力は働かない
＝ B方向には等速度運動
＝（ v//=vcosθ ）＝一定
FL  v
v⊥=vsinθ
q
FL
v⊥=vsinθ
v⊥
も一定
y
FL = qv×B
x
8
磁場に垂直な面内の運動---等速円運動
ローレンツ力 FL はv とBの作る平面
に垂直
z
v
B
θ
v//
∴ xy平面上でvのxy平面への射影
（ v⊥ ）はローレンツ力FLのxy平面へ
の射影FLと直角
（ローレンツ力はBに垂直なのでxy平
面上にあるのと同じ）
t=t q
q
t=0
θ
y
x
v⊥=vsinθ
FL=qvBsinθ=qv⊥B
9
y
v⊥
φ
q
φ
FL= q v⊥Bsin(π/2)= q v⊥B
q
x
B
vx  x  v cos 
Fx  qv B sin   qyB
v y  y  v sin 
Fy  qv B cos   qxB
10
荷電粒子の xy 平面上での運動方程式
mx  Fx  qyB
①
my  Fy  qxB
②
d
∴ mx  qyB  C
(mx  qyB )  0
dt
C 0
x  0，y  0
初期条件 t=0 で
①より
（初期条件 t=0 で荷電粒子は原点にあり速度が
y軸方向を向いていると仮定）
qyB
x 
m
③
②に代入して
d2y
(qB) 2
m 2 
y
dt
m
11
単振動の運動方程式
d2y
m 2  ky
dt
単振動の運動方程式の一般解
k
y  A sin(
t )
m
(qB)
k
m
2
周期
2
m
T
 2

k
y  A sin(t   )
qB

m
12
qB

m
y  A sin(t   )
y  A cos(t   )
初期条件 t = 0 で
y  0，y  v
0  A sin 
v  A cos 
v  A 
sin   0
 0
cos   1
v

13
y
v

sin t
④
これを③に代入して
vx  x  v sin t
初期条件 t=0 で x=0 より
t
t
0
0
x   vx dt   v sin tdt 

v

( cos t  1) 
v

v

 cos t 
(1  cos t )
t
0
⑤
14
v
y
④

⑤より
v
v
2
(
sin t

cos t 
v

x
2
v
中心
(r ,0)
) (sin t  cos t )  y  (  x) 2


v 2
v 2
2
(x  )  y  ( )
2
2

半径

mv
r


qB
回転周期は
v
2r
m
T

 2

v
qB
の等速円運動
2
15
荷電粒子全体としての運動
• 荷電粒子は磁場に平行な軸のまわりの等速ら
せん運動を行う
• １周する時間Tの間に粒子は磁場に沿って
mv
v//T  2
cos 
qB
だけ前進する
16
z
B
θ
v
q
x
FL
y
17
サイクロトロンの原理
E
v '
v '  v
E
T
2
-E
交流電場
交流電場
B
v
E
(x 
v

)  y (
2
2
v

)
2
・荷電粒子を加速する装置
・原子核/素粒子の実験に用いら
れるほか癌治療などにも応用
18
ウイーンの補償器
z
y
ローレンツ力
z
qvB
E
q
v
q
x
x
qE
B
クーロン力
qvB  qE
すなわち
E
v
B
のイオンだけ直進する
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【参考】単振動の運動方程式の一般解の導出
d2y
m 2  ky
dt
dy
の両辺に v 
dt
dv
dy
mv  ky
dt
dt
ここで，
dv
m  ky
dt
を掛けると
d 2
dv
(v )  2v
dt
dt
d 2
dy
(y )  2y
dt
dt
より
d m 2
d k 2
 v   y 
dt  2 
dt  2 
20
d m 2 k 2
 v  y 0
dt  2
2 
m 2 k 2
v  y  C (定数)
2
2
m
m 2
2
vu
v  y  C`
k
k
とおくと
u y A
2
2
2
21
u 2  y 2  A2
y
A
P(u,y)
y  A sin 
u  A cos 
dy
d
v
 A cos 
dt
dt
k
k

u
A cos 
m
m
φ
u
d
k

dt
m
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t=0で，φ=δ（デルタ）とすると
k

t 
m
y  A sin 
に代入して
 k

y  A sin
t   
 m

y  A sin(t   )
k

m
周期
とおくと
2
m
T
 2

k
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Flemingの左手の法則
電流 I ，磁場B，電流の受ける
力Fの方向関係について，
左手の親指，人差指，中指を
互いに直角に開き，それぞれ
F ， B ， Iの関係にある
左手
親指
人差指
中指
F
B
I
F
B
I
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アンペールの法則
• 右ねじの法則
電流があるとその周囲に磁場が発生するが，それ
らの方向について
– 電流が右ねじの進む方法に流れるとき，磁場はねじを回
す向きに発生し，
– 電流が右ねじを回す向きに環状に流れるとき，その内側
の磁場はねじの進む方法に発生する
I
B
B
I
25

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