(無限井戸型ポテンシャル系の第 1 励起状態における位置運動量不確定性関係) filename=potential-infinite-xp-uncirtainty-2nddstate-QA20150301A.tex 幅が位置座標 x = 0 から x = a(> √ 0) の無限井戸型ポテンシャルの中の量子的粒子の第 1 励起状態の波動関数が ψ2 (x) ≡ 2/a · sin(2πx/a) と与えられている。ディラック定数を h̄ として次の問に答えよ。 a. この状態における位置座標の不確定性 ∆x を計算せよ。 b. この状態における運動量の不確定性 ∆p を計算せよ。 c. この状態における位置と運動量の不確定性関係の値を計算し、h̄/2 と比較せよ。 (解答例) √ a. 位置座標の不確定性 ∆x は ∆x ≡ < x̂2 > − < x̂ >2 と定義される。期待値 < x̂ > と < x̂2 > をまず計算する。位置座標演算子 x̂ = x であり、位置座標演算子 x̂ の期待値 の定義より ∫ ( ) 2πx 2∫ a ≡ · x̂ · ψ2 (x)dx = x · sin2 dx a 0 a 0 )] ( ∫ a [ 1 4πx = dx x 1 − cos a 0 a < x̂ >2 a ψ2∗ (x) (1) となる。ここで、右辺最後の項の第 2 の積分(I1 とおく)の計算をする。そのため、 任意の関数 f = f (x), g = g(x) に対する部分積分の公式を使う。 ′ (f g) ′ ′ = f g + fg → ∫ ′ f gdx = f g − ∫ f g ′ dx. (2) ここで、式 (6) において、f ≡ cos(4πx/a), g ≡ x と置くと ∫ ( ) ( ) ( ) ∫ a 4πx a 4πx ′ ≡ x · cos dx = {sin } · x dx a 4π a 0 0 ( )[ ( ) ]x=a ( )∫ a ( ) a 4πx 4πx a = sin ·x − sin dx 4π a 4π 0 a x=0 ( ( ) [ )] a 2 4πx x=a = cos =0 4π a x=0 I1 a (3) となる。この I1 の値を式 (1) に代入すると < x̂ >2 = a 2 (4) が得られる。続いて ∫ 2 < x̂ >2 ( ) 2∫ a 2 2πx ≡ · x̂ · ψ2 (x)dx = x · sin2 dx a 0 a 0 [ ( )] 1∫ a 2 4πx = x 1 − cos dx a 0 a a ψ2∗ (x) 2 1 (5) となる。ここで、右辺最後の項の第 2 の積分(I2 とおく)の計算をする。そのため、 任意の関数 f = f (x), g = g(x) に対する部分積分の公式を使う。 ′ ′ ′ = f g + fg → (f g) ∫ ∫ ′ f gdx = f g − f g ′ dx. (6) ここで、式 (6) において、f ≡ cos(4πx/a), g ≡ x2 と置くと ∫ I2 ) ( ( ) ) ( ∫ a 4πx a 4πx ′ 2 ≡ x · cos dx = {sin } · x dx a 4π a 0 0 ( ( )[ ( ) ]x=a )∫ a ( ) a a 4πx 4πx 2 − = sin ·x sin · 2xdx 4π a 4π 0 a x=0 ( ( ) ) 4πx ′ a ∫a 4πx a2 ∫ a = − sin · xdx = 2 {cos } · xdx 2π 0 a 8π 0 a a 2 (7) 再び,式 (6) において、f ≡ cos(4πx/a), g ≡ x と置くと [ ( ) ] ∫ ( ) x=a a2 a a2 4πx 4πx · x − cos dx cos = 2 2 8π a 8π 0 a x=0 [ ( )] a3 4πx x=a a3 a3 = − sin . = 8π 2 32π 3 a 8π 2 x=0 I2 (8) この結果を式 (5) に代入すると < x̂2 >2 = a2 a2 − 2 3 8π (9) が得られる。従って、位置座標の不確定性 ∆x は次のようになる。 ( ) a 2 a2 a2 (∆x) = − 2− 3 8π 2 ( ) 1 1 = − 2 a2 12 8π √( ) 1 1 → ∆x = − · a. 12 8π 2 2 (10) b. 運動量演算子 p̂ = (h̄/i)d/dx であり、演算子の期待値の定義より ∫ →< p̂ >2 ( ) ( ) 2∫ a h̄ d 2πx 2πx sin · sin dx a 0 a i dx a 0 ( ) ( ) ( ) 2πx 4πh̄ ∫ a 1 4πh̄ ∫ a 2πx 4πx sin cos dx = 2 sin dx = ia2 0 a a ia 0 2 a [ ( )]x=a 2πh̄ a 4πx = − cos =0 2 ia 4π a x=0 = 0 (11) < p̂ >2 ≡ a ψ2∗ (x) · p̂ · ψ2 (x)dx = と求まる。同様に < p̂ >2 ≡ ∫ a 2 0 ψ2∗ (x) ( 2∫ a 2πx · p̂ · ψ2 (x)dx = sin a 0 a 2 2 ) ( )2 h̄ i ( ) d2 2πx sin dx dx2 a ( →< p̂2 >2 [ ) ( 4πx 8π 2 h̄2 ∫ a 2 2πx 4π 2 h̄2 ∫ a sin 1 − cos = dx = 3 3 a a a a 0 0 ( ) 2 2 2 2 ∫ a 4π h̄ 4π h̄ 4πx = [x]x=a cos dx x=0 − 3 3 a a a 0 4π 2 h̄2 = . a2 )] dx (12) よって 4π 2 h̄2 (∆p) ≡ < p̂ >2 −[< p̂ >2 ] = a2 2πh̄ → ∆p = . a 2 2 2 (13) c. 以上の結果より √( ∆x∆p = = → ∆x∆p = 1 1 − 2 12 8π ) v( ) u 2 u π 1 × 4π 2 h̄2 = t − · h̄ 3 v( ) u 2 h̄ u t 4π − 2 2 2 3 v( ) u u π2 1 h̄ t − · h̄ > 3 2 3 2 (14)
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