(無限井戸型ポテンシャル系の第 1 励起状態における位置運動量不確定

(無限井戸型ポテンシャル系の第 1 励起状態における位置運動量不確定性関係)
ﬁlename=potential-inﬁnite-xp-uncirtainty-2nddstate-QA20150301A.tex
幅が位置座標 x = 0 から x = a(>
√ 0) の無限井戸型ポテンシャルの中の量子的粒子の第 1
励起状態の波動関数が ψ2 (x) ≡ 2/a · sin(2πx/a) と与えられている。ディラック定数を
h̄ として次の問に答えよ。
a. この状態における位置座標の不確定性 ∆x を計算せよ。
b. この状態における運動量の不確定性 ∆p を計算せよ。
c. この状態における位置と運動量の不確定性関係の値を計算し、h̄/2 と比較せよ。
(解答例)
√
a. 位置座標の不確定性 ∆x は ∆x ≡ < x̂2 > − < x̂ >2 と定義される。期待値 < x̂ > と
< x̂2 > をまず計算する。位置座標演算子 x̂ = x であり、位置座標演算子 x̂ の期待値
の定義より
∫
(
)
2πx
2∫ a
≡
· x̂ · ψ2 (x)dx =
x · sin2
dx
a 0
a
0
)]
(
∫ a [
1
4πx
=
dx
x 1 − cos
a 0
a
< x̂ >2
a
ψ2∗ (x)
(1)
となる。ここで、右辺最後の項の第 2 の積分（I1 とおく）の計算をする。そのため、
任意の関数 f = f (x), g = g(x) に対する部分積分の公式を使う。
′
(f g)
′
′
= f g + fg →
∫
′
f gdx = f g −
∫
f g ′ dx.
(2)
ここで、式 (6) において、f ≡ cos(4πx/a), g ≡ x と置くと
∫
(
)
(
)
(
)
∫ a
4πx
a
4πx ′
≡
x · cos
dx =
{sin
} · x dx
a
4π
a
0
0
(
)[
(
)
]x=a
(
)∫ a
(
)
a
4πx
4πx
a
=
sin
·x
−
sin
dx
4π
a
4π 0
a
x=0
(
(
) [
)]
a 2
4πx x=a
=
cos
=0
4π
a
x=0
I1
a
(3)
となる。この I1 の値を式 (1) に代入すると
< x̂ >2 =
a
2
(4)
が得られる。続いて
∫
2
< x̂ >2
(
)
2∫ a 2
2πx
≡
· x̂ · ψ2 (x)dx =
x · sin2
dx
a 0
a
0
[
(
)]
1∫ a 2
4πx
=
x 1 − cos
dx
a 0
a
a
ψ2∗ (x)
2
1
(5)
となる。ここで、右辺最後の項の第 2 の積分（I2 とおく）の計算をする。そのため、
任意の関数 f = f (x), g = g(x) に対する部分積分の公式を使う。
′
′
′
= f g + fg →
(f g)
∫
∫
′
f gdx = f g −
f g ′ dx.
(6)
ここで、式 (6) において、f ≡ cos(4πx/a), g ≡ x2 と置くと
∫
I2
)
(
(
)
)
(
∫ a
4πx
a
4πx ′ 2
≡
x · cos
dx =
{sin
} · x dx
a
4π
a
0
0
(
(
)[
(
)
]x=a
)∫ a
(
)
a
a
4πx
4πx
2
−
=
sin
·x
sin
· 2xdx
4π
a
4π 0
a
x=0
(
(
)
)
4πx ′
a ∫a
4πx
a2 ∫ a
= −
sin
· xdx = 2
{cos
} · xdx
2π 0
a
8π 0
a
a
2
(7)
再び，式 (6) において、f ≡ cos(4πx/a), g ≡ x と置くと
[
(
)
]
∫
(
)
x=a
a2 a
a2
4πx
4πx
·
x
−
cos
dx
cos
=
2
2
8π
a
8π 0
a
x=0
[
(
)]
a3
4πx x=a
a3
a3
=
−
sin
.
=
8π 2 32π 3
a
8π 2
x=0
I2
(8)
この結果を式 (5) に代入すると
< x̂2 >2 =
a2
a2
− 2
3
8π
(9)
が得られる。従って、位置座標の不確定性 ∆x は次のようになる。
( )
a 2
a2
a2
(∆x) =
− 2−
3
8π
2
(
)
1
1
=
− 2 a2
12 8π
√(
)
1
1
→ ∆x =
−
· a.
12 8π 2
2
(10)
b. 運動量演算子 p̂ = (h̄/i)d/dx であり、演算子の期待値の定義より
∫
→< p̂ >2
(
)
(
)
2∫ a
h̄ d
2πx
2πx
sin
·
sin
dx
a 0
a
i dx
a
0
(
)
(
)
(
)
2πx
4πh̄ ∫ a 1
4πh̄ ∫ a
2πx
4πx
sin
cos
dx = 2
sin
dx
=
ia2 0
a
a
ia 0 2
a
[
(
)]x=a
2πh̄ a
4πx
=
− cos
=0
2
ia 4π
a
x=0
= 0
(11)
< p̂ >2 ≡
a
ψ2∗ (x) · p̂ · ψ2 (x)dx =
と求まる。同様に
< p̂ >2 ≡
∫
a
2
0
ψ2∗ (x)
(
2∫ a
2πx
· p̂ · ψ2 (x)dx =
sin
a 0
a
2
2
) ( )2
h̄
i
(
)
d2
2πx
sin
dx
dx2
a
(
→< p̂2 >2
[
)
(
4πx
8π 2 h̄2 ∫ a 2 2πx
4π 2 h̄2 ∫ a
sin
1 − cos
=
dx
=
3
3
a
a
a
a
0
0
(
)
2 2
2 2 ∫ a
4π h̄
4π h̄
4πx
=
[x]x=a
cos
dx
x=0 −
3
3
a
a
a
0
4π 2 h̄2
=
.
a2
)]
dx
(12)
よって
4π 2 h̄2
(∆p) ≡ < p̂ >2 −[< p̂ >2 ] =
a2
2πh̄
→ ∆p =
.
a
2
2
2
(13)
c. 以上の結果より
√(
∆x∆p =
=
→ ∆x∆p =
1
1
− 2
12 8π
)
v(
)
u
2
u
π
1
× 4π 2 h̄2 = t
−
· h̄
3
v(
)
u
2
h̄ u
t 4π − 2
2
2
3
v(
)
u
u π2
1
h̄
t
−
· h̄ >
3
2
3
2
(14)

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