1 次のような，一辺の長さが 1 の正八面体を考える

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次のような，一辺の長さが 1 の正八面体を考える．ただし，M は辺 BC の中点である．
2
3 辺の長さが a; b; c である 4ABC の面積を S，内接円の半径を r とする．以下の問に答えよ．
(1) a = 3，b = 7，c = 8 のとき S を求めよ．
1
r(a + b + c) を証明せよ．
(2) S =
2
(3) a = 3，b = 7，c = 8 のとき r を求めよ．
（北星学園大学 2015 ）
(1) cos ÎAMD を求めよ．
(2) 4AMD の面積を求めよ．
（京都教育大学 2015 ）
3
4
次の方程式を解け．
a > 0 とし，2 次関数 f(x) = x2 ¡ 2ax + 2a (0 5 x 5 2) の最小値を m(a) とする．このと
き，m(a) の最大値と，そのときの a の値を求めよ．
x2 + 5 x ¡ 6 = 0
（富山県立大学 2015 ）
（倉敷芸術科学大学 2015 ）
5
袋の中に白玉 3 個，黒玉 2 個，赤玉 5 個が入っている．この袋から，玉を 1 個取り出して袋に
戻す試行を 4 回繰り返したとき，黒玉が少なくとも 2 回取り出される確率は
である．ま
6
4 個の数字 1; 2; 3; 4 を使ってできる 5 桁の整数について，以下の個数を求めよ．ただし，同
じ数字を重複して使ってよいものとする．
た，この袋から 4 個の玉を同時に取り出すとき，赤玉が少なくとも 2 個含まれる確率は
(1) 2 の倍数の個数
である．
(2) 9 の倍数の個数
（福岡大学 2015 ）
(3) 22000 以上の整数の個数
（鳥取大学 2015 ）
7
次の各問の空欄に当てはまる最も適切な数値を記入せよ．
F
540
は n = 48 のとき最大の自然数
(1) n を自然数とする．
n
(2) 積が 640，最大公約数が 8 である 2 つの自然数の和は
50
<
51
58
51
である．但し
52
<
である．
(2) a; b を定数とする．整式 P(x) = x3 + 2x2 + ax + b は x ¡ 2 で割り切れるが，x + 3 で割る
と 5 余る．このとき a =
，b =
である．
(3) x2 y + y2 z + z2 x + xy2 + yz2 + zx2 + 3xyz を因数分解すると
54
52
;
53
)と (
54
;
55
56
である．
)
（神戸薬科大学 2013 ）
とする．
(4) 3 進数 1221(3) を 10 進数で表すと
57
または
50
次の問いに答えよ．
(1) 72013 の 1 の位の数字は
になる．
49
とする．
(3) 3x + 7y = 49 を満たす自然数 x と y の組 (x; y) は (
である．但し
8
である．また，3 進数 0:1221(3) を 10 進数で表すと
である．
（広島経済大学 2015 ）
9
10 4ABC において，辺 AB を 5 : 2 に内分する点を P，辺 AC を 7 : 2 に外分する点を Q，直線 PQ
以下の問いに答えなさい．
(1) 任意の整数 m に対して，m2 を 3 で割ると余りは 0 または 1 になることを示しなさい．
と辺 BC の交点を R とする．このとき，BR : CR =
(2) 整数 a; b; c が a2 + b2 = c2 を満たしているとすると，積 ab は 12 で割り切れることを示し
は 4ABC の面積の
なさい．
ハ
ネ
:
ノ
であり，4BPR の面積
倍である．
（神戸薬科大学 2015 ）
（首都大学東京 2010 ）

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