17 埼玉工業大学学習支援センター平成28年度入学前教育（数学）第3

埼玉工業大学学習支援センター数学第３回課題
埼玉工業大学学習支援センター
平成２８年度入学前教育（数学）第３回課題
注意：分数は既約分数で答えること。
係数が 1 の場合は省略せずに 1 を記入すること。
No. 15
１
複素数平面
複素数について, 次の各問に答えなさい。
( 1 ) 複素数 z = 1 + √3 𝑖𝑖 を極形式で表すと
z =
1 − 1 ( cos
π
1−2
+ 𝑖𝑖 sin
π
1−3
)
( 2 ) 複素数 𝑧𝑧1 = −√3 − 𝑖𝑖 , 𝑧𝑧2 = 1 + 𝑖𝑖 について ,
𝑧𝑧1
𝑧𝑧2
の偏角は
2
1−4
12
π
( 3 ) 複素数平面上の点 z = √3 + 𝑖𝑖 を原点のまわりに 𝜋𝜋 だけ回転し
3
た点を表す複素数は
−� 1 − 5 + 1 − 6 𝑖𝑖
(4) ﾄﾞ･モアブルの定理を用いて計算すると
�−1 + √3 𝑖𝑖�
6
1−7
=
+
1 − 8 𝑖𝑖
( 5 ) 方程式 𝑧𝑧 3 = 8 𝑖𝑖 の解で , 複素数平面の第 1 象限にあるものは
�1−9 +
２
1 − 10 𝑖𝑖
複素数平面上に２点－ 2 + 3 𝑖𝑖 , 6 + 5 𝑖𝑖 があるとする。この２点を
直径とする円の円周上を動く点 z が満たす方程式を求めると
�𝑧𝑧 − ( 1 − 11 + 1 − 12 𝑖𝑖 )� = � 1 − 13
No. 16
１
式と曲線
放物線について, 次の各問に答えなさい。
( 1 ) 放物線 𝑦𝑦 2 = 8𝑥𝑥 の焦点は（ 1 − 14 , 0 ） ,
準線は x = − 1 − 15
この放物線のグラフを描きなさい。その際, 焦点と頂点の位置
17
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を示し , 準線も記入しなさい。（グラフは提出不要です。）
1
(2) 焦点が (0 ,
２
4
) , 準線が y=−
1
4
の放物線の方程式は 𝑦𝑦 = 1 − 16 𝑥𝑥 2
楕円について, 次の各問に答えなさい。
(1) 楕円
𝑥𝑥 2
𝑦𝑦 2
+ 32 = 1 の焦点は（ � 1 − 17 , 0 ）と（ −� 1 − 18 , 0 ）
42
長軸の頂点は（ 1 − 19 , 0 ）と（ − 1 − 20 , 0 ）
短軸の頂点は（0 ,
1 − 21 ）と（ 0 , − 1 − 22 ）
この楕円上の点から２焦点までの距離の和は 1 − 23
この楕円のグラフを描きなさい。その際, 焦点と頂点の位置を
示しなさい。（グラフは提出不要です。）
( 2 ) 焦点が（ 0 , √5 ）と（ 0 , −√5 ）の楕円で , この２焦点から楕円
上の点までの距離の和が 6 である楕円の方程式は
𝑥𝑥 2
1−24
2
+
𝑦𝑦 2
1−25
2
=1
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３
双曲線について, 次の各問に答えなさい。
(1) 双曲線
𝑥𝑥 2
𝑦𝑦 2
− 32 = 1 の焦点は（ 1 − 26 , 0 ）と（ − 1 − 27 , 0 ）
42
漸近線は 𝑦𝑦 =
1−28
1−29
𝑥𝑥 と 𝑦𝑦 = −
1−30
1−31
𝑥𝑥
この双曲線上の点から２焦点までの距離の差は 1 − 32
この双曲線のグラフを描きなさい。その際, 焦点と頂点の位置
を示し , 漸近線も記入しなさい。（グラフは提出不要です。）
( 2 ) 漸近線が 2𝑥𝑥 − 3𝑦𝑦 = 0 , 2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 = 0 で , 焦点が �√13 , 0� , (−√13 , 0) で
ある双曲線の方程式は
No.17
𝑥𝑥 2
1−33
2
−
𝑦𝑦 2
1−34
2
= 1
関数と極限
1
１
関数 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 2 + 3 ( 𝑥𝑥 ≧ 0) の逆関数は 𝑦𝑦 =
２
２つの関数 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 ) = 3𝑥𝑥 − 2 , 𝑔𝑔(𝑥𝑥 ) = 𝑥𝑥 2 + 3 について , 合成関数 𝑔𝑔( 𝑓𝑓(𝑥𝑥 ))
を求めると
３
𝑔𝑔( 𝑓𝑓 (𝑥𝑥 )) = 1 − 37 𝑥𝑥 2 –
1−35
�𝑥𝑥 − 1 − 36
1 − 38 𝑥𝑥 + 1 − 39
次の極限を求めなさい。収束しないときは解答欄に「 999」を
記入しなさい。
( 1 ) lim
5𝑛𝑛−3
𝑛𝑛→∞ 2𝑛𝑛+3
=
1−40
1−41
( 2 ) lim �√𝑛𝑛2 + 2𝑛𝑛 − 𝑛𝑛� =
𝑛𝑛→∞
1 − 42
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1 𝑛𝑛−1
( 3 ) ∑∞
𝑛𝑛=1 �− �
1−43
=
2
1−44
次の極限を求めなさい。収束しないときは解答欄に「 999」を
４
記入しなさい。
(1)
lim
𝑥𝑥→2
𝑥𝑥 2 −𝑥𝑥−2
𝑥𝑥 2 −4
=
1−45
1−46
( 2 ) lim {log10(2 + 𝑥𝑥 ) − log10 (1 + 𝑥𝑥 )} = 1 − 47
𝑥𝑥→∞
(3)
(4)
(5)
𝑥𝑥→0
lim
𝑥𝑥→0
𝑥𝑥 2
1
= − 1 − 49
lim 𝑥𝑥 cos = 1 − 50
𝑥𝑥
微分法
次の関数を微分しなさい。
(1)
(2)
(3)
(4)
２
cos 2𝑥𝑥−1
𝑥𝑥→0
No.18
１
1
lim 3𝑥𝑥 = 1 − 48
3
y ＝ √3𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 − 3
y ＝ sin3 2𝑥𝑥
y ＝ 𝑒𝑒 −3𝑥𝑥
2 +𝑥𝑥+1
y = log|𝑥𝑥 3 + 2|
関数 𝑦𝑦 = 2𝑒𝑒 −3𝑥𝑥
2
y'＝
1
2−1
� 2 − 2 𝑥𝑥 2 + 2 − 3 �(3𝑥𝑥 3 + 𝑥𝑥 − 3)
y ' ＝ 2 − 6 sin2 2𝑥𝑥 cos 2𝑥𝑥
y ' ＝ �− 2 − 7 𝑥𝑥 + 2 − 8 �𝑒𝑒 −3𝑥𝑥
y'＝
−
2−4
2−5
2 +𝑥𝑥+1
2−9 𝑥𝑥 2−10
𝑥𝑥 3 +2
の増減, 極値, 曲線の凹凸を調べて, グラフを描
きなさい。（増減・凹凸の表とグラフは提出不要です。）
増減・凹凸の表は次の通り。
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x
y'
y''
y
x = 2 − 11 のとき , 極大値 2 − 12 をとる。
変曲点の座標は (−
1
,
� 2−13
2−14
√𝑒𝑒
) と (
以上からグラフは次の通り。
(1)
(2)
(3)
(4)
2−16
√𝑒𝑒
)
次の積分の計算をしなさい。（ 𝐶𝐶 は積分定数）
1
１
∫ (𝑥𝑥+3)(𝑥𝑥+1) 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
2−17
∫ sin(2𝑥𝑥 + 3) 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −
3
∫ 𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
3
1
2−21
∫0 √9 − 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
𝜋𝜋
log �
1
2−20
3
𝑥𝑥+ 2−18
𝑥𝑥+ 2−19
𝑒𝑒 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶
2−22
2−23
𝜋𝜋
∫0 sin 𝑥𝑥 cos 3 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2 − 24
(6)
∫1 𝑥𝑥 log 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
𝑒𝑒
1
� + 𝐶𝐶
cos(2𝑥𝑥 + 3) + 𝐶𝐶
(5)
２
� 2−15
,
積分法
No.19
１
1
2−25
𝑒𝑒 2 +
1
2−26
積分法を用いて次の極限値を求めなさい。
21
埼玉工業大学学習支援センター数学第３回課題
lim
𝑛𝑛→0
３
13 +23+33 + ････ +𝑛𝑛3
0 ≦ 𝑥𝑥 ≦
𝑛𝑛4
𝜋𝜋
2
2−27
2−28
の範囲内で２つの曲線 𝑦𝑦 = sin 2𝑥𝑥 と 𝑦𝑦 = sin 𝑥𝑥
部分の面積は
４
=
に囲まれた
1
2−29
関数 y = 𝑒𝑒 𝑥𝑥 ( 0 ≦ 𝑥𝑥 ≦ 1 ) のグラフが x 軸の周りに 1 回転してできる
立体の体積は
1
2−30
�𝑒𝑒 2−31 − 2 − 32 �𝜋𝜋
22

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