(1) tan 5 12 (2)

年番号
1
3
次の問いに答えよ．
5
(1) tan
¼ の値を求めよ．
12
B
p
5
(2) n < tan
¼ < n + 1 を満たす自然数 n を求めよ．
12
氏名
m を実数とする．方程式
mx2 ¡ my2 + (1 ¡ m2 )xy + 5(1 + m2 )y ¡ 25m = 0
ÝÝ(¤)
を考える．このとき，次の問いに答えよ．
（富山大学 2015 ）
(1) xy 平面において，方程式 (¤) が表す図形は 2 直線であることを示せ．
(2) (1) で求めた 2 直線は m の値にかかわらず，それぞれ定点を通る．これらの定点を求めよ．
(3) m が ¡1 5 m 5 3 の範囲を動くとき，(1) で求めた 2 直線の交点の軌跡を図示せよ．
（富山大学 2015 ）
2
ひし形 D の 2 つの対角線の長さを 2a; 2b とする．D と同じ周の長さ，および同じ面積をもつ
長方形を R とし，その 2 辺の長さを x; y (x 5 y) とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1) D の周の長さ s を a; b を用いて表せ．
関数 f(x) = sin 3x ¡ cos 3x + 3 sin 2x (0 5 x 5 2¼) について，次の問いに答えよ．
(2) x; y を a; b を用いて表せ．
4
(3) R の対角線の長さ l と a + b の大小を比較せよ．
(1) t = sin x + cos x (0 5 x 5 2¼) とするとき，t のとりうる値の範囲を求めよ．
(4) a; b が s = 4 を満たしながら動くとき，l のとりうる値の範囲を求めよ．
(2) f(x) を t の関数として表せ．
（富山大学 2015 ）
(3) f(x) の最小値を求めよ．ただし，最小値をとるときの x の値は求めなくてよい．
（富山大学 2015 ）
5
6
次の問いに答えよ．
次の問いに答えよ．
(1) 関数 f(x) は区間 [a; b] で連続であり，区間 (a; b) で第 2 次導関数 f00 (x) をもつとする．さ
(1) 関数 f(x) は区間 [a; b] で連続であり，区間 (a; b) で第 2 次導関数 f00 (x) をもつとする．さ
らに，区間 (a; b) で f00 (x) < 0 が成り立つとする．y = g(x) を 2 点 (a; f(a))，(b; f(b))
らに，区間 (a; b) で f00 (x) < 0 が成り立つとする．y = g(x) を 2 点 (a; f(a))，(b; f(b))
を通る直線の方程式とするとき，区間 (a; b) で常に f(x) > g(x) であることを示せ．
を通る直線の方程式とするとき，区間 (a; b) で常に f(x) > g(x) であることを示せ．
(2) n を 2 以上の自然数とするとき，j = 1; 2; Ý; n ¡ 1 について
log j + log(j + 1)
<
2
Z
(2) n を 2 以上の自然数とするとき，j = 1; 2; Ý; n ¡ 1 について
j+1
j
log j + log(j + 1)
<
2
log x dx
が成り立つことを示せ．
j+1
j
log x dx
が成り立つことを示せ．
(3) n を 2 以上の自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
C
Z
(3) n を 2 以上の自然数とするとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
C
n!(n ¡ 1)! < n n e¡n+1
（富山大学 2015 ）
n!(n ¡ 1)! < n n e¡n+1
（富山大学 2015 ）
7
数列 fan g を
V
p
a1 = 2 2;
an > 0;
1
a1 n a2
1
n
1
Ý an¡1 n an
2
n
=8
(n = 2)
で定めるとき，次の問いに答えよ．
(1) bn = log2 an とおくとき，数列 fbn g の一般項を求めよ．
(2) cn = a1 a2 Ýan とおくとき，数列 fcn g の一般項を求めよ．
(3) 10k 5 c11 < 10k+1 となる整数 k を求めよ．ただし，log10 2 = 0:3010 とする．
（富山大学 2015 ）
8
f(x) = log x (x > 0) とし，曲線 C1 : y = f(x) 上の点 (t; f(t)) における接線を ` とする．
p 2
直線 ` と曲線 C2 : y = (x ¡ 2) で囲まれた図形の面積を S とする．このとき，次の問いに答
えよ．
(1) S を t を用いて表せ．
(2) S を最小にする t の値を求めよ．ただし，そのときの S の値は求めなくてよい．
（富山大学 2015 ）

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