(1) n = 4 (2)

年番号
1
2 つの箱 A と B に，自然数が 1 つ記されたカードが何枚かずつ入っている．箱 A，B からカー
3
氏名
棚に包装された製品が n 個（ n = 4 ）並んでいるが，そのうち 2 個が不良品だということがわ
ドを 1 枚ずつ，合計 2 枚のカードを取り出す試行を行う．自然数 n に対し，取り出された 2 枚の
かっている．n 個の製品はすでに包装されているため，外見からはどれが不良品かどうかを区別
カードに記された自然数の和が n である確率を Pn とする．
することはできない．今，どの 2 個が不良品かを見つけるために，n 個の製品のうち 1 個を取り
出し，包装を解き，中身をチェックする．中身が不良品だった場合は，別に置いてあったすでに
(1) 箱 A に数字 2; 3 が記されたカードがそれぞれ 1 枚ずつ，箱 B に数字 1; 2; 3 が記されたカー
ネ
ドがそれぞれ 1 枚ずつ入っているとき，P4 =
ノ
ハ
ドに記された 2 つの自然数の和の期待値は
包装された良品と交換し，もとにあった場所に戻す．中身が不良品でなかった場合は，製品を包
である．また，取り出された 2 枚のカー
装し直した上でもとにあった場所に戻す．1 個目の製品のチェックが終わったら，棚の別の製品
である．
ヒ
も同様にチェックし，この作業を 2 個の不良品が見つかるまで繰り返し，2 個目の不良品を交換
(2) 箱 A にカードが 3 枚，箱 B にカードが 5 枚入っていて，
P2 =
1
;
15
P3 =
1
;
5
P4 =
1
;
3
P5 =
した時点で終了する．包装された良品と交換する費用は製品 1 個につき 1000 円，製品を包装し
直す費用は製品 1 個につき 100 円である．
2
5
(1) n = 4 のとき，この作業全体の費用が 2200 円になる確率は
が成立している．このとき，箱 B に入っているカードのうち，最も枚数が多いのは
う数字が記されたカードであり，その枚数は
ヘ
フ
とい
枚である．
（早稲田大学 2015 ）
2
(2) n = 4 のとき，この作業全体の費用の期待値は !2000 +
(3) この作業全体の費用の期待値を n の関数で表すと !2000 +
セ
ソ
タ
である．
9 円である．
9 円である．
（早稲田大学 2015 ）
n を 2 以上の自然数とし，1 から n までの自然数 k に対して，番号 k をつけたカードをそれぞれ
k 枚用意する．これらすべてを箱に入れ，箱の中から 2 枚のカードを同時に引くとき，次の問い
に答えよ．
4
確率 p (0 < p < 1) で「当たり」が出るくじを繰り返して引く．2 回目の「当たり」が出たと
きにこの試行を終える．n = 2 として，n 回目でこの試行を終える確率を pn とする．次の問い
に答えよ．
(1) 用意したカードは全部で何枚か答えよ．
(2) 引いたカード 2 枚の番号が両方とも k である確率を n と k の式で表せ．
(1) p2 ; p3 ; p4 を求めよ．
(3) 引いたカード 2 枚の番号が一致する確率を n の式で表せ．
(2) pn を求めよ．
(4) 引いたカード 2 枚の番号が異なっている確率を pn とする．不等式 pn = 0:9 を満たす最小の自
(3) N = 2 として，
N
P
k=2
然数 n の値を求めよ．
pk を求めよ．
（琉球大学 2015 ）
（岡山大学 2015 ）
5
正方形の 4 個の頂点を，時計回りに順に A，B，C，D とする．頂点 A から出発して頂点上を時
計回りに点 P を進めるゲームを行う．硬貨を 1 回投げるごとに，表が出たときには頂点 1 つ分
だけ点 P を進め，裏が出たときには頂点 2 つ分だけ点 P を進めるものとする．ただし，点 P が
頂点 D にとまった時点でゲームは終わるものとする．
硬貨を n 回投げ終えた時点で点 P が頂点 A に到達する確率を pn とするとき，次の問に答えよ．
(1) p2 ; p3 を求めよ．
(2) p4 ; p5 を求めよ．
(3) p12 を求めよ．
（佐賀大学 2015 ）
6
1 個のさいころをくり返し投げ，3 の倍数の目が出る回数を数える．いま，さいころを n 回投げ
るとき，3 の倍数の目が奇数回出る確率を Pn とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) P2 および P3 を求めよ．
(2) Pn+1 を Pn で表せ．
(3) Pn を n の式で表せ．
（中央大学 2015 ）
7
n を自然数とする．白玉 4 個と赤玉 8 個が入っている袋から，玉を 1 個取り出し，色を見てから
もとにもどす試行を n 回繰り返すとき，白玉が偶数回出る確率を pn とする．ただし，0 は偶数
と考える．
(1) pn+1 を pn で表せ．
(2) 数列 fpn g の一般項を求めよ．
(3) 極限 lim pn を求めよ．
n!1
（日本女子大学 2015 ）

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