新 微分積分 I 問題集
4 章 積分の応用 § 2 いろいろな応用 (p.58∼p.)
BASIC
1 dt
2
cos
t
0
·
¸ π4
√
= ( 2 − 1) + tan t
〔別解〕 （積分計算の途中から）
1
Z
t(t − 1)2 dt
0<
=t<
= 1 において，t(t − 1) >
= 0 であるから
Z 1
S = 2 t(t − 1)2 dt
2
1
(t3 − 2t2 + t) dt
0
¸1
2
1
1
3
3
2
t − t + t
=2
4
3
2
0
³
´
1
2
1
=2
−
+
4
3
2
1
3
−
8
+
6
=
=2·
12
6
dx = 1
（2） dt
cos2 t
π において， 1
0<t<
> 0 で，符号は一定である
4
cos2 t
·
から
Z
π
4
S =
1
dt
cos2 t
(sin t + 1) ·
π
4
sin t + 1 dt
cos2 t
0
π
sin t + 1
0<
= 0 であるから
=t<
= 4 において， cos2 t >
π
Z 4
sin t + 1 dt
S=
cos2 t
0
Z π4 ³
´
sin t + 1
dt
=
cos2 t
cos2 t
0
Z π4
Z π4
sin t dx +
1 dt
=
2
2
cos
t
cos
t
0
0
Z π4
sin t dx において，cos t = u とおくと，− sin t dt =
2
cos
t
0
du であるから，sin t dt = −du
=
また，t と u の対応は
t
0
→
u
1
→
0
π
4
π
4
dt
dx = − sin t
dt
π において，− sin t < 0 で，符号は一定である
0<t<
2
sin t dx =
cos2 t
から
Z
π
2
S =
Z
π
2
=
Z
(cos 2t + 1) · (− sin t) dt
0
− sin t(1 − 2 sin2 t + 1) dt
0
π
2
=
−2(sin t − sin3 t) dt
0
Z
π
2
=2
sin t − sin3 t dt
0
π
3
2
0<
=t<
= 2 において，sin t − sin t = sin t(1 − sin t) >
=0
であるから
Z
π
2
S=2
(sin t − sin3 t) dt
0
ÃZ
π
4
√1
2
よって
Z
½
´
（3） 0
Z
0
sin t + 1
cos2 t
cos2 t
¾
−(cos t)0
1
+
dt
=
cos2 t
cos2 t
0
· ³
¸ π4
´
1
= − −
+ tan t
cos t
0
·
¸ π4
1 + tan t
=
cos t
0
³
´
1 + tan 0
= 1 π + tan π −
4
cos 0
cos
4
= 1 +1− 1
1
√1
2
√
√
= 2+1−1= 2
Z
0
=2
³
π
4
S =
0
Z
0
³
´
= ( 2 − 1) + tan π − tan 0
4
√
√
= ( 2 − 1) + 1 = 2
√
0
=2
π
4
S = ( 2 − 1) +
226 求める面積を S とする．
dx = 2t
（1） dt
0 < t < 1 において，2t > 0 で，符号は一定であるから
Z 1
S =
(t2 − 2t + 1) · 2t dt
Z
Z
√
π
2
=2
÷
Z
1
√
2
1
Z
=−
Z
1 · (−du)
u2
1
√
2
1
1 du
u2
1
1 du
u2
·
¸1
= − 1
u √1
2
=
1
√
2
√
= − 1 − 1 = 2 − 1
1
1
√
2
=2
Z
sin t dt −
0
0
¸ π2
− cos t
0
π
2
!
3
sin t dt
!
− 2
3
n ³
o
´
= 2 − cos π − cos 0 − 2
2
3
o
n
2
= 2 −(0 − 1) −
3
2
=2· 1 =
3
3
227 求める曲線の長さを l とする．
dx = 6t
（1） dt
dy
= 3 − 3t2
dt
よって
したがって
とどろき英数塾
新 微分積分 I 問題集
p
√
3p
Z
(6t)2 + (3 − 3t2 )2 dt
l =
0
Z
√
3p
36t2 + 9 − 18t2 + 9t4 dt
=
0
Z
√
3p
9t4 + 18t2 + 9 dt
=
0
Z
√
3p
9(t2 + 1)2 dt
=
0
Z
√
3
=3
(t2 + 1) dt
0
¸√3
1
3
t +t
=3
3
0
n
o
√ 3 √
1
=3
· ( 3) + 3 − 0
3
√
√
=3·2 3=6 3
·
dx = − sin t + sin t + t cos t = t cos t
dt
dy
= cos t − (cos t − t sin t) = t sin t
dt
（2） よって
l =
Z πp
{2(sin 2t − sin t)}2 + {2(cos t − cos 2t)}2
r ³
´2
³
´2
= 4 2 cos 2t + t sin 2t − t
+ 4 −2 sin t + 2t sin t − 2t
2
2
2
2
r ³
´2
³
´2
= 2 4 cos 3t sin t
+ 4 sin 3t sin −t
2
2
2
2
r
³
´2
= 4 cos2 3t sin2 t + sin2 3t − sin t
2
2
2
2
r
³
´
= 4 sin2 t cos2 3t + sin2 3t
2
2
2
r
= 4 sin2 t
2
228（ 1 ） この楕円は，x 軸，y 軸について対称であるから，求める面
π
積は，0 <
=t<
= 2 における部分の面積の 4 倍である．
π
dx
0<
= 0 で，符号は一定
=t<
= 2 において， dt = −a sin t <
であるから，求める面積を S とすると
Z π2
S = 4
b sin t(−a sin t) dt
Z
Z
0
←0<
=t<
= π で，t >
=0
t dt
·
=
0
1 t2
2
¸π
=
0
1 2
π
2
dx = −2 sin t − (− sin 2t · 2) = 2(sin 2t − sin t)
dt
dy
= 2 cos t − cos 2t · 2 = 2(cos t − cos 2t)
dt
（3） よって
l =
Z πp
sin2 t dt
0
π
（ 2 ） この楕円は，x 軸，y 軸について対称であり，0 <
=t<
=
2
dx
<
において，
= −a sin t = 0 で，符号は一定であるから，求
dt
める体積を V とすると
Z π2
(b sin t)2 −a sin t dt
V = 2π
0
Z
= 2π
Z πq
π
2
0
= 2πab
ab2 sin3 t dt
Z
2
π
2
sin3 t dt
0
{2(sin 2t − sin t)}2 + {2(cos t − cos 2t)}2 dt
4
= 2πab2 · 2 = πab2
3
3
0
=
π
2
= 4ab · 1 · π = πab
2 2
π
=
Z
t2 dt
0
Z
← −ab sin2 t <
=0
ab sin2 t dt
= 4ab
0
=
π
2
=4
(t cos t)2 + (t sin t)2 dt
−ab sin2 t dt
0
t2 (cos2 t + sin2 t) dt
=
Z π√
π
2
=4
0
Z πq
0
4{(cos2 2t + sin2 2t) + (cos2 t + sin2 t)
0
− (2 sin 2t sin t + 2 cos t cos 2t)} dt
229 求める体積を V とする．
（1） y
Z πp
1 + 1 − 2(cos 2t cos t + sin 2t sin t) dt
=2
0
Z πp
=2
2 − 2 cos(2t − t) dt
O
1
x
0
=2
Z πp
2(1 − cos t) dt
0
Z πr
2 · 2 sin2 t dt
2
0
Z π
t
=4
sin t dt
←0<
=t<
= π で，sin 2 >
=0
2
0
·
¸π
= 4 − 2 cos t
2 0
³
´
= −8 cos π − cos 0
2
= −8 · (−1) = 8
=2
※ 根号内の計算の別解
0 < t < 1 において，
ある．
Z
1
√
( t − t)2
dx = √
1 > 0 で，符号は一定で
dt
2 t
1
√
dt
2 t
Z 1
√
= 1 π (t − 2t t + t2 ) · √1 dt
2 0
t
Z 1
1
3
= 1 π (t 2 − 2t + t 2 ) dt
2 0
·
¸
√
√ 1
1
2
2
2
2
= π
t t−t + t t
2
3
5
0
´
³
= 1π 2 −1+ 2
2
3
5
1
= 1 π · 10 − 15 + 6 =
π
2
15
30
V =π
0
とどろき英数塾
新 微分積分 I 問題集
（2） （2） r =
y
p
(−2)2 + 02
=2
また，cos θ =
−2 = −1,
2
sin θ = 0 = 0 より
2
θ = π
O
1
x
よって，(2, π)
q
√
(−3)2 + (− 3)2
√
√
= 12 = 2 3
（3） r =
π において， dx = cos t > 0 で，符号は一定で
2
dt
0<t<
ある．
Z
π
2
V =π
(sin 2t)2 cos t dt
0
Z
π
2
=π
sin2 2t · cos t dt
0
Z
π
2
=π
(2 sin t cos t)2 cos t dt
0
Z
= 4π
π
2
√
3
−3
√
また，cos θ =
=−
,
2
2 3
7
り，θ = π
6µ
¶
√
7
よって， 2 3,
π
6
232（ 1 ） 任意の θ について，r = 1 であるから，原点を中心とする
半径 1 の円を表す．
2
√
−√ 3
sin θ =
=−1 よ
2
2 3
y
3
sin t cos t dt
1
(1, θ)
O
1
0
Z
= 4π
π
2
(1 − cos2 t) cos3 t dt
−1
0
Z
= 4π
π
2
(cos3 t − cos5 t) dt
1
0
³
´
= 4π 2 − 4 · 2
3
5 3
10
−
8
= 4π ·
15
8
2
π
= 4π ·
=
15
15
230（ 1 ） x = 2 · cos 3 π
4
µ
¶
√
1
=2· −√
=− 2
2
3
y = 2 · sin π
4
√
1
=2· √ = 2
2
√ √
よって，(− 2,
2)
π であるから，原点を通
6
π
り x 軸の正の向きとのなす角が −
である半直線を表す．
6
y
（ 2 ） 任意の r (> 0) について，θ = −
³
θ
r
よって，(0, 3)
4π
3
³
´
= 4 · − 1 = −2
2
y = 4 · sin 4 π
3
µ √ ¶
√
3
= −2 3
=4· −
2
√
よって，(−2, − 2 3)
π
6
11π
6
0
2π
=
p
7π
6
5π
6
5π
4
3π
4
2 ¶
µ
√
π
よって，
2,
4
π
3
5π
3
π
2
3π
2
2π
3
4π
3
3π
4
5π
4
5π
6
7π
6
4π
3
2π
3
3π
2
π
2
5π
3
π
3
7π
4
π
4
11π
6
π
6
sin θ = √1 より，θ = π
4
2
π
π
2π
0
2.62 2.36 2.09 1.57 1.05 0.79 0.52
3π
4
2π
3
π
2
π
3
0
π
4
π
6
5π
6
π
2π
0
11π
6
5π
4
2
1
また，cos θ = √ ,
π
4
7π
4
7π
6
12 + 12
√
´
6.28 5.76 5.50 5.23 4.71 4.19 3.93 3.66 3.14
（ 3 ） x = 4 · cos
231（ 1 ） r =
r, − π
6
233（ 1 ） θ のいろいろな値に対する r の値を求めると
r
y = 3 · sin π
2
=3·1=3
x
π
6
O
θ
π
（ 2 ） x = 3 · cos
2
=3·0=0
x
4π
3
3π
2
5π
3
7π
4
とどろき英数塾
新 微分積分 I 問題集
（ 2 ） θ のいろいろな値に対する r の値を求めると
Z πp
l =
r2 + (r0 )2 dθ
0
θ
0
r
1
π
√6
3
2
π
√4
2
2
π
2
π
3
1
2
π
2
0
Z π√
=
2e2θ dθ
0
√ Z πq
(eθ )2 dθ
= 2
0
π
3
√ Z π θ
= 2
e dθ
π
4
0
π
6
1
=
0
=
√
√
·
¸π
2
e
θ
0
π
2(e − e0 ) =
√
2(eπ − 1)
（ 2 ） r0 = − sin θ であるから
r2 + (r0 )2 = (cos θ)2 + (− sin θ)2
※ 直交座標に変換してみると
p
x2 + y 2 , cos θ = x = p x
を代入して
r
x2 + y 2
p
x
x2 + y 2 = p
x2 + y 2
´
³
1 2 + y2 = 1
これより，x2 + y 2 = x であるから， x −
2
4
π
ただし，0 <
=θ<
= 0, y >
= 2 より，x >
=0
r=
（ 2 ） S =
1
2
= 1
2
= 1
2
= 1
2
= 1
4
= 1
4
= 1
4
2π
2π
2π
2π
0
Z
π
2
√
r2 + (r0 )2 dθ
0
Z
=
1 dθ
0
Z
π
2
0
dθ
¸ π2
θ
Z
2+ε
ε→+0
2+ε
√
√
= lim 2( 1 − 2 + ε − 2)
ε→+0
√
= lim 2(1 − ε)
ε→+0
= 2(1 − 0) = 2
〔別解〕 ·
¸3
√
与式 = 2 x − 2
√
= 2( 1 −
(cos θ + 2)2 dθ
(cos2 θ + 4 cos θ + 4) dθ
´
1 + cos 2θ + 4 cos θ + 4 dθ
2
2π
2π
(cos 2θ + 8 cos θ + 9) dθ
0
1 sin 2θ + 8 sin θ + 9θ
2
¸2π
0
9
= 1 {(0 + 0 + 9 · 2π) − 0} = π
4
2
（ 1 ） r0 = eθ であるから
√
2
0)
= 2(1 − 0) = 2
Z 3−ε
√ dx
（ 2 ） 与式 = lim
ε→+0 0
9 − x2
·
¸3−ε
= lim sin−1 x
ε→+0
3 0
³
´
= lim sin−1 3 − ε − sin−1 0
ε→+0
3
−1 3 − ε
= lim sin
ε→+0
3
π
−1
= sin 1 =
2
〔別解〕 与式 =
·
sin
= sin
235 それぞれの曲線の長さを l とする．
3
√ dx
x−2
·
¸3
√
= lim 2 x − 2
r2 dθ
³
π
2
=
ε→+0
(1 + cos 2θ + 8 cos θ + 8) dθ
·
p
236（ 1 ） 与式 = lim
0
Z
π
2
0
0
Z
l =
·
0
Z
Z
=
0
Z
よって
=
234 それぞれの図形の面積を S とする．
Z π2
1
r2 dθ
（ 1 ） S =
2 0
Z π2
1
=
(θ2 )2 dθ
2 0
Z π2
= 1
θ4 dθ
2 0
·
¸ π2
= 1 1 θ5
2 5
0
³ ´5
1
1
=
·
· π
2 5
2
5
π5
= 1 · π =
10 32
320
Z
= cos2 θ + sin2 θ = 1
−1
−1
x
3
¸3
0
1 − sin−1 0
π
= π −0=
2
2
r2 + (r0 )2 = (eθ )2 + (eθ )2
= e2θ + e2θ = 2e2θ
よって
とどろき英数塾
新 微分積分 I 問題集
Z
1
ε→+0
ε
Z
1
= lim
x
ε→+0
·
−
ε
4 x 34
3
= lim
ε→+0
Z
dx
√
4
x
（ 3 ） 与式 = lim
1
4
b→∞
·
dx
ε
=
（ 4 ） 与式 =
ε →+0
Z
−ε
= lim
与式 =
ε→+0
−1
Z 1
dx + lim
dx
ε0 →+0 ε0 x4
x4
ここで，
Z
−ε
lim
ε→+0
〔別解〕 ¸1
4
4√
3
x
3
0
√
4
4
4 (√
13 − 03 )
3
4 (1 − 0) = 4
3
3
µZ 0−ε
¶
Z 1
dx
dx
lim
+
4
ε→+0
x4
−1
0+ε0 x
0
=
−1
dx = lim
ε→+0
x4
Z
−ε
x−4 dx
−1
·
¸−ε
− 1 x−3
ε→+0
3
−1
·
¸−ε
= lim − 1 3
ε→+0
3x −1
·
¸−ε
1
1
= − lim
3 ε→+0 x3 −1
³
´
= − 1 lim − 13 + 1
3 ε→+0
ε
= lim
この極限値は存在しないので，広義積分も存在しない．
237 求める面積を
Z a Spとすると
b a2 − x2 dx
S =
−a a
Z ap
= 2b
a2 − x2 dx
a 0
· ³ p
´ ¸a
2b
1
−1 x
2
2
2
x a − x + a sin
=
a
2
a 0
= b (a2 sin−1 1 − a2 sin−1 0)
a
1
= ab · π = πab
2
2
Z b
238（ 1 ） 与式 = lim
x−5 dx
b→∞
2
¸b
1
b→∞
4x4 2
´
³
1 − 1
= − 1 lim
4
4 b→∞ b
16
³
´
1
1
1
0−
=
=−
4
16
64
·
= lim
〔別解〕 −
¸∞
1
与式 = −
4x4 2
³
´
1
=0− − 1 =
64
64
·
¸b
0
= − 1 lim (e−2b − e0 )
2 b→∞
1
= − 1 (0 − 1) =
2
2
·
与式 =
− 1 e−2x
2
b→∞
¸1
√
4
4
3
= lim
x
ε→+0 3
ε
√
√
4
4
4
= lim ( 13 − ε3 )
ε→+0 3
4
= 4 (1 − 0) =
3
3
〔別解〕 e−2x dx
0
= lim
¸1
·
b
（ 2 ） 与式 = lim
·
− 1 e−2x
2
¸∞
0
= − 1 (0 − e0 )
2
1
= − 1 (0 − 1) =
2
2
Z b
2
（ 3 ） 与式 = lim
x− 3 dx
b→∞
·
= lim
0
3x
b→∞
1
3
¸b
0
√
3
= 3 lim ( b −
b→∞
√
3
= 3 lim b
√
3
0)
b→∞
この極限値は存在しないので，広義積分も存在しない．
Z
b
（ 4 ） 与式 = lim
b→∞
xe−x dx
0
÷
= lim
¸b
− xe
b→∞
−x
·
b
−be − e
b→∞
!
b
+
0
Ã
= lim
Z
e
−x
dx
0
¸b !
−x
0
µ
¶
b
−b
0
= lim − b − e + e
b→∞
e
µ
¶
b
1
= lim − b − b + 1
b→∞
e
e
= −0 − 0 + 1 = 1
b = lim b0 = lim 1 = 0
b→∞ eb
b→∞ (eb )0
b→∞ eb
※ lim
239 時刻 t における点 P の速度を v(t)，位置を x(t) とする．
Z t
（ 1 ） v(t) = v(0) +
α(t) dt
0
Z tn
´o
³
dt
=0+
−18 sin 3t + π
4
0
·
´ ¸t
³
1
π
= −18 − cos 3t +
3
4
0
n
³
´
o
π
π
= 6 cos 3t +
− cos
4
4
½
√ ¾
´
³
2
= 6 cos 3t + π −
4
2
µ
¶
√
π
= 6 cos 3t +
−3 2
4
Z t
（ 2 ） x(t) = x(0) +
v(t) dt
0
Z tn
³
´
√ o
=0+
6 cos 3t + π − 3 2 dt
4
0
¸
·
´
³
√ t
= 6 · 1 sin 3t + π − 3 2t
3
4
0
´
³
√
π
− 3 2t − 2 sin π
= 2 sin 3t +
4
4
¶
µ
√
√
π
− 3 2t − 2
= 2 sin 3t +
4
とどろき英数塾
新 微分積分 I 問題集
240 −x0 (t) が x(t) に比例するので
よって
−x0 (t) = kx(t)
Z 1p
(3t2 )2 + (6t)2 dt
l =
0
x(t) は物質の質量だから，x(t) > 0 なので，両辺を −x(t) で割
ると
Z 1p
9t4 + 36t2 dt
=
x0 (t)
= −k
x(t)
この両辺を t で積分すると
Z 0
Z
x (t)
dt = − k dt
x(t)
log x(t) = −kt + C
0
Z 1p
=
Z
p
1
=
t2 + 4 dt
3t
0
Z
よって
1
=3
x(t) = e−kt+C
p
t t2 + 4 dt
0
← 0<
=t<
= 1 で，t >
=0
t2 + 4 = u とおくと，2t dt = du であるから，t dt =
= eC e−kt
eC は定数なので，これを C 0 とおくと，x(t) = C 0 e−kt
t = 0 のとき，x(0) = x0 であるから
x0 = C 0 e0
t
0
→ 1
u
4
→ 5
Z
4
Z
= 3
2
241 求める面積を S とする．
dx = 3t2
（1） dt
0 < t < 2 において，3t2 > 0 で，符号は一定であるから
Z 2
S =
(t − 2)2 · 3t2 dt
0
2
t2 (t − 2)2 dt
5
u · 1 du
2
1
u 2 du
4
¸5
2 u√u
3
4
√
√
2
3
· (5 5 − 4 4)
=
2 3
√
=5 5−8
CHECK
=3
5√
l = 3
よって，x(t) = x0 e−kt
1 du
2
また，t と u の対応は
よって
x0 = C 0
Z
9t2 (t2 + 4) dt
0
·
= 3
2
dx = −e−t cos t − e−t sin t = −e−t (cos t + sin t)
dt
dy
= −e−t sin t + e−t cos t = e−t (cos t − sin t)
dt
（2） 0
よって
t2 (t − 2)2 >
= 0 であるから
Z 2
S = 3 t2 (t − 2)2 dt
Z
=3
2
Z
(t4 − 4t3 + 4t2 ) dt
0
·
1 t5 − t4 + 4 t3
5
3
0
´
³
32
32
=3
− 16 +
5
3
16
96
−
240
+
160
=3·
=
15
5
dx = et
dt
et > 0 で，符号は一定であるから
Z 1
(e2t + 1) · et dt
S =
（2） 0
1
e3t + et dt
=
0
e3t + et >
= 0 であるから
Z 1
S=
(e3t + et ) dt
·
0
{e−2t (1 + 2 cos t sin t)}
0
+ {e−2t (1 − 2 cos t sin t)} dt
Z
2π √
=
2e−2t dt
0
=
√ Z
2
2π
e−t dt
0
=
√
·
¸2π
2 − e−t
√
0
= − 2(e
− e0 )
¶
µ
√
1
= 2 1 − 2π
e
−2π
243 求める体積を V とする．
（1） y
−1
¸1
1 e3t + et
3
0
´ ³
´
³
1
3
e +e − 1 +1
=
3
3
4
1 3
= e +e−
3
3
2π p
=
¸2
=3
Z
{−e−t (cos t + sin t)}2 + {e−t (cos t − sin t)}2 dt
0
0
Z
2π p
l=
O
1
x
=
242 求める曲線の長さを l とする．
dx = 3t2
（1） dt
dy
= 6t
dt
−1
−1 < t < 1 において，
dx = 3t2 > 0 で，符号は一定であ
dt
る．
とどろき英数塾
新 微分積分 I 問題集
Z
1
3π
2
=1·0=0
（ 3 ） x = 1 · cos
(t2 − 1)2 3t2 dt
V =π
−1
Z
1
t2 (t4 − 2t2 + 1) dt
= 3π
y = 1 · sin 3 π
2
= 1 · (−1) = −1
−1
Z
1
= 6π
(t6 − 2t4 + t2 ) dt
0
·
= 6π 1 t6 − 2 t4 + 1 t3
7
5
3
³
´
= 6π 1 − 2 + 1
7
5
3
15
−
42
+
35
= 6π ·
7·5·3
16
8
= 2π ·
=
π
35
35
（2） よって，(0, − 1)
¸1
0
p
(−2)2 + 22
√
√
= 8=2 2
245（ 1 ） r =
−2
√ = − √1 ,
2 2
2
また，cos θ =
3π
4µ
り，θ =
よって， 2
y
（2） r =
√
3
2,
π
4
sin θ =
2 = √1 よ
√
2 2
2
¶
p
32 + 02
=3
また，cos θ =
1
3 = 1, sin θ = 0 = 0 より
3
3
θ = 0
1
O
x
よって，(3, 0)
q
dx = 2t > 0 で，符号は一定である．
0 < t < 1 において，
dt
Z 1
t 2
V =π
(e ) 2t dt
0
Z
1
= 2π
√
12 + (− 3)2
（3） r =
=
√
4=2
また，cos θ =
µ
te2t dt
0
!
1
2t
−
e dt
= 2π
0 2
0
(
·
¸1 )
1
1
1
2
2t
= 2π
(e − 0) −
e
2
2 2
0
n
o
1
1
= 2π
e2 − (e2 − e0 )
2
4
´
³
= 2π 1 e2 − 1 e2 + 1
2
4
4
´
³
= 2π 1 e2 + 1
4
4
2
π 2
= 2π · e + 1 =
(e + 1)
4
2
244（ 1 ） x = 4 · cos 5 π
4
¶
µ
√
1
= −2 2
=4· −√
2
5
y = 4 · sin π
4
µ
¶
√
= 4 · − √1
= −2 2
2
√
√
よって，(−2 2, − 2 2)
÷
1 te2t
2
¸1
Z
よって， 2, −
π
3
√
− 3
π
より，θ = −
2µ
3
¶
5
π
または， 2,
3
sin θ =
¶
1
246（ 1 ） θ のいろいろな値に対する r の値を求めると
θ
π
6
0
r
π
4
π
1.52 1.79 2.05 2.57 3.09 3.36 3.62 4.14
+1
π
2
2π
3π
5π
3
4
6
2π
3π
5π
+1
+1
3
4
6 +1
1
+1
π
3
π
2
1
+1
π
4
π
3
π
6
+1
π+1
7π
5π
4π
3π
5π
7π
11π
2π
6
4
3
2
3
4
6
7π
5π
4π
3π
5π
7π
11π
6 +1 4 +1 3 +1 2 +1 3 +1 4 +1 6 +1 2π+1
θ
r
4.66
4.93
3π
4
5.19
5.71
6.23
6.50
π
2
2π
3
π
3
6.76
π
6
2π + 1
π
5π
6
µ √ ¶
√
3
=2· −
=− 3
2
7.28
π
4
5π
6
1
0
11π
6
7π
6
（ 2 ） x = 2 · cos
y = 2 · sin 5 pi
6
1
=1
=2·
2 √
よって，(− 3, 1)
1,
2
5π
4
4π
3
5π
3
3π
2
7π
4
（ 2 ） θ のいろいろな値に対する r の値を求めると
θ
r
0
π
6
1
2
0
0.5
0
π
4
√1
2
π
√3
3
2
0.71 0.87
π
2
1
1
2π
√3
3
2
3π
4
√1
2
0.87 0.71
5π
6
1
2
π
0.5
0
0
とどろき英数塾
新 微分積分 I 問題集
π
2
2π
3π 3
4
Z
π
3
1
π
4
l =
π
p
π
2
√
r2 + (r0 )2 dθ
0
Z
π
6
5π
6
π
2
=
·
0
0
=
1 dθ
¸ π2
θ
0
247 それぞれの図形の面積を S とする．
Z π2
1
r2 dθ
（ 1 ） S =
2 0
Z π2
1
=
(1 + θ)2 dθ
2 0
Z π2
1
(1 + 2θ + θ2 ) dθ
=
2 0
·
¸ π2
1
1
3
2
=
θ+θ + θ
2
3
0
½µ
¶
¾
2
π + π + 1 · π3 − 0
= 1
2
2
4
3
8
µ
¶
2
3
= 1 π + π + π
2
2
4
24
π
= π −0=
2
2
θ · 1 · cos θ = sin3 θ cos θ であるから
（ 2 ） r0 = 4 sin3
4 4
4
4
4
³
´2 ³
´2
θ
θ
r2 + (r0 )2 = sin4
+ sin3 cos θ
4
4
4
= sin8 θ + sin6 θ cos2 θ
4
4
4
³
´
= sin6 θ sin2 θ + cos2 θ
4
4
4
6 θ
= sin
4
よって
4π p
r2 + (r0 )2 dθ
0
Z
4π
=
0
π
π2
π3
+
+
4
8
48
=
Z
l =
Z
4π
=
0
（ 2 ） 求める面積は，曲線と，θ = 0, θ =
π で囲まれた部分の
4
面積の 8 倍である．
π
1
2
S =8·
Z
=4
π
4
3π
2
=4
π
4
dθ
→
t
0
→
π
2
0
=2
1
→
−1
−1
π
2
π
4
π
2
cos2 t · 1 dt
2
(1 − t2 ) · (−4 dt)
1
(1 − t2 ) dt
−1
Z
0
Z
t
=4
cos 2θ, dθ
θ
Z
4π
1
2
また，θ と t の対応は
S=4
→
Z
2θ = t とおくと，2dθ = dt より，dθ =
よって
0
l=
0
θ
Z
0
Z
4π
以上より
0
cos 2θ
sin3 θ dθ
4
sin θ · sin2 θ dθ
4
4
0
Z 4π
³
´
=
sin θ 1 − cos2 θ dθ
4
4
0
θ
1
cos
= t とおくと，− sin θ dθ = dt であるから，
4
4
4
θ
sin dθ = −4 dt
4
また，θ と t の対応は
r2 dθ
2
4π
=
r = cos 2θ
π
4
Z
Z
1 0
Z
sin3 θ dθ
4
したがって
0
π
4
sin6 θ dθ
4
π
θ
0 <
= π であるから，sin 4 >
=0
=θ<
= 4π のとき，0 <
= 4 <
l =
π
2
r
1 dt
2
=8
1
(1 − t2 ) dt
0
·
¸1
= 8 t − 1 t3
3
0
³
´
1
=8 1−
3
16
2
=8·
=
3
3
cos2 t dt
0
π
=2· 1 · π =
2 2
2
248 それぞれの曲線の長さを l とする．
（ 1 ） r0 = − sin θ であるから
r2 + (r0 )2 = (cos θ)2 + (− sin θ)2
= cos2 θ + sin2 θ = 1
よって
とどろき英数塾
新 微分積分 I 問題集
Z
8
249（ 1 ） 与式 = lim
ε→+0
0+ε
Z
8
= lim
x
ε→+0
·
Z
dx
√
3
x
−
1
3
v(t) dt
1
Z
2
=
dx
2 sin πt dt
1
ε
¸8
√
3
3
2
= lim
x
ε→+0 2
ε
√
√
3
3
3
=
lim ( 82 − ε2 )
2 ε→+0
p
= 3 ( 3 (22 )3 − 0)
2
= 3 · 22 = 6
2
〔別解〕 2
s=
Z
= −2
2
sin πt dt
1
·
¸2
= −2 − 1 cos πt
π
1
= 2 (cos 2π − cos π)
π
4
= 2 {1 − (−1)} =
π
π
·
与式 =
=
=
=
（ 2 ） 与式 =
¸8
3
3√
x2
2
0
√
3
3
3 (√
2
8 − 02 )
2
3 ·p
3
(22 )3
2
3 ·4=6
2
Z b
lim
x−4 dx
b→∞
STEP UP
251 時刻 t における点 P の速度を v(t) とする．このとき，題意より，
v(0) = 0
= lim
〔別解〕 ·
〔別解〕 −
−
Z
√x
3
¸b
0
0
¶
√b − tan−1 0
3
π
√
2 3
·
2
v(t) dt
0
2
·
=
e−t dt
0
−e
¸2
−t
0
= −(e−2 − e0 ) = 1 −
9
Z
Z 9³
³
´
´
3
3
t − 2 t 2 dt
t − 2 t 2 dt −
3
9
3
0
4
¸ 49
·
5
= 1 t2 − 2 · 2 t 2
2
3 5
0
¸9
·
5
2
2
1
2
2
−
t −
· t
2
3 5
9
v(t) dt =
−t
（1） 0 <
=t<
= 2 において，e > 0 で，v の符号は一定なので，
移動距離を s とすれば
=
√
以上より，動いた道のりは
250 Z
t) dt
t = 3 より，t = 9 であるから
2
4
9
0 <
=t<
=0
= 4 のとき，v(t) >
9 < t < 9 のとき，v(t) < 0
=
4
¸∞
¸∞
√1 tan−1 √x
3
3 0
³
´
π
π −0 = √
= √1
3 2
2 3
Z
√
ときである．
与式 =
s=
(1 −
·
¸
√ t
=0+ t− 2t t
3
0
√
2
=t− t t
3
³√
´
2
=− t
t− 3
3
2
√
3 の
これより，v(t) = 0 となるのは，t = 0 または， t =
2
1
1
3x3 1
³
´
1
=0− −1 =
3
3
Z b
dx
（ 3 ） 与式 = lim
b→∞ 0 3 + x2
·
= lim √1 tan−1
b→∞
3
µ
1
= √ lim tan−1
3 b→∞
³
´
π −0 =
= √1
3 2
与式 =
t
0
¸b
1
b→∞
3x3 1
³
´
1 − 1
= − 1 lim
3
3
3 b→∞ b
1
1
1
= − (0 − 1) =
3
3
·
Z
（ 1 ） v(t) = v(0) +
1
e2
（2） 1 <
=t<
= 2 において，sin πt < 0 で，v の符号は一定なの
で，移動距離を s とすれば
9
4
4
1 t 2 − 4 t 2 √t
2
15
¸ 94
·
¸
√ 9
1
4
2
2
−
t −
t t
=
2
15
9
0
4
r ¶
µ
9 −0
= 1 · 81 − 4 · 81
2 16
15 16
4
n³
´
1 · 81 − 4 · 81√9
−
2
15
r ¶¾
µ
9
− 1 · 81 − 4 · 81
2 16
15 16
4
·
= 81 − 27 · 3
32
20 2
´o
´ ³
n³
81 − 12 · 3 − 81 − 27 · 3
−
2
5
32
20 2
³
´ ³
´
81
81
81
324
=2
−
−
−
32
40
2
5
81
81
81
324
=
−
−
+
16
20
2
5
405
−
324
−
3240
+
5184
=
80
405
2025
=
=
80
16
とどろき英数塾
新 微分積分 I 問題集
Z
´
π t dt
2
0
·
³
´ ¸t
2
π
=0+
sin
t
π
2
0
³
´
2
π
=
sin
t
π
2
π
3
これより，0 <
=t<
= 3，すなわち，0 <
= 2t<
= 2 π におい
π
π
て，v(t) = 0 となるのは， t = 0 または， t = π のとき
2
2
（ 2 ） v(t) = v(0) +
³
t
cos
である．
π t = π より，t = 2 であるから
2
0 <
=t<
= 2 のとき，v(t) >
=0
2 < t <
= 3 のとき，v(t) < 0
1
−πr 2 · 2x 2 = kt + C
以上より，動いた道のりは
Z
Z
Z 3
³
´
³
´
2 sin π t dt −
2 sin π t dt
2
2
0 π
2 π
·
³
´ ¸2
= 2 − 2 cos π t
π
π
2
0
·
³
´ ¸3
− 2 − 2 cos π t
π
π
2
2
9
2
v(t) dt =
0
253 時刻 t における水の深さの変化率（減少率）は dx であり，この
dt
dx
2
ときの流れ出る水の量は，−πr ·
となる．
dt
√
dx = k x
よって，−πr 2 ·
dt
√
両辺を x で割ると
1 dx = k
−πr 2 · √
x dt
両辺を t Zで積分すると Z
1 dx dt = k dt
−πr 2 √
x dt
Z
1
−πr 2 x− 2 dx = kt + C
(C は積分定数)
= − 42 (cos π − cos 0)
π
³
´
+ 42 cos 3 π − cos π
2
π
4
= − 2 {(−1 − 1) − (0 − (−1))}
π
12
= − 42 · (−3) = 2
π
π
252 t 時間後の細菌の数を，N = N (t) とすると，増加率は dN で
dt
あり，これが現在の数に比例するので，比例定数を k (> 0) とすれ
−2πr
√
2
x = kt + C
ここで，題意より，t = 0 のとき，x = h であるから
√
−2πr 2 h = C
k t + √h
2πr2
µ
¶
√ 2
k
よって，x = −
t
+
h
2πr 2
Z ∞
2
254 左辺 =
xn−1 · xe−x dx
√
これより， x = −
0
Z
∞
=
xe
−x2
dx は，−x2 = t とおくことによって，−2x dx = dt で
あるから
Z
xe−x dx = − 1
2
2
よって
·
左辺 =
·
=
(C は積分定数)
·
は定数であるから，改めて e
C
0
(ek )2 = 4
ek > 0 なので，ek = 2
これを，°
1 に代入して，C 0 23 = 10000
10000 = 1250
8
以上より，N (t) = 1250e2t · · · °
3 となる．
これより，C 0 =
最初の細菌の数は，°
3 において，t = 0 として
N (0) = 1250 · e0 = 1250
よって，1250 個
0
+ 1
2
Z
∞
2
(xn−1 )0 e−x dx
0
¸∞
0
·
¸∞
= lim
0
b→∞
2
− 1 xn−1 e−x
2
(xn−1)
= − 1 lim
2 b→∞ (eb2 )0
···°
1
C 0 e5k = 40000 · · · °
2
°
1, °
2 の辺々を割ると
0 5k
Ce
40000
0 3k =
10000
Ce
2k
e = 4
¸∞
¸b
0
n−1
= − 1 lim x 2
2 b→∞ eb
= C とおけば，
題意より，N (3) = 10000, N (5) = 40000 なので
C 0 e3k = 10000
2
− 1 xn−1 e−x
2
2
− 1 xn−1 e−x
2
N (t) = C 0 ekt
2
− 1 xn−1 e−x
2
ここで，
= eC · ekt
(
et dt
Z ∞
2
(n − 1)xn−2 e−x dx
+ 1
2 0
·
¸∞
Z ∞
2
1
n−1 −x2
= − x
xn−2 e−x dx
e
+ n−1
2
2
0
0
N (t) = ekt+C
ここで，e
Z
2
= − 1 et = − 1 e−x
2
2
N > 0 であるから，log N = kt + C となるので
C
2
xn−1 · (xe−x ) dx
0
Z
ば
dN = kN
dt
両辺を N で割ると
1 dN = k
N dt
両辺を
Z t で積分すると
Z
1
dN
dt = k dt
N dt
Z
1 dN = kt + C
N
これより，log N = kt + C
√
√
よって，−2πr 2 x = kt − 2πr 2 h
= − 1 lim
2 b→∞
0
(n − 1)xn−2
2
2xex
n−3
= − n − 1 lim x 2
4
b→∞ ex
= ······ = 0
Z ∞
Z ∞
2
n
−
1
n −x2
xn−2 e−x dx
以上より，
x e
dx =
2
0
0
255（ 1 ） 4OAB において，OA =r1 , OB =r2 , ∠AOB = θ2 − θ1
であるから
1 OA · OB · sin ∠AOB
2
1
= r1 r2 sin(θ2 − θ1 )
2
4OAB =
とどろき英数塾
新 微分積分 I 問題集
Z
（ 2 ） 直交座標と極座標の関係より
x1 = r1 cos θ1 , y1 = r1 sin θ1
Z
=
=
=
(−y + 1) dy
0
Z
h
=π
1 r r sin(θ − θ )
2
1
2 1 2
1 r r (sin θ cos θ − cos θ sin θ )
2
1
2
1
2 1 2
1 (r r sin θ cos θ − r r cos θ sin θ )
2
1
1 2
2
1
2 1 2
1 (r cos θ · r sin θ − r sin θ · r cos θ )
1
2
2
1
1
2
2
2 1
1
(x1 y2 − x2 y1 )
2
256（ 1 ） h
(y + 1) dy + π
(y − 1) dy
0
したがって
=
h
(y + 1) dy − π
0
x2 = r2 cos θ2 , y2 = r2 sin θ2
4OAB =
Z
h
π
0
·
¸h
·
¸h
1
1
2
2
=π
y +y +π
y −y
2
2
0
0
´ ³
´o
n³
1
1
=π
h2 + h − 0 +
h2 − h − 0
2
2
= πh2 (cm3 )
( ii ) h > 1 のとき
y
y
h
1
h
−1 O
求める水量は
x
O
Z
Z
h
π
Z
Z
h
(−y + 1) dy
π
h
x2 dy = π
0
0
1 y2
2
(y − 1) dy
¸h
·
¸1
1 y2 + y + π 1 y2 − y
2
2
0
0
n³
´ ³
´o
1
1
2
=π
h +h−0 +
−1−0
2
2
³
´
1
1
2
=π
h +h−
2
2
π 2
=
(h + 2h − 1) (cm3 )
2
=π
¸h
0
1
= πh2 (cm3 )
2
2
（ 2 ） x2 − 1 >
= 0，すなわち，x <
= −1, 1 <
= x のとき，y = x − 1
x2 − 1 < 0，すなわち，−1 < x < 1 のとき，y = −(x2 − 1)
よって，y = x2 − 1 のグラフは，次のようになる．
y
（ 3 ） t 秒後の，注がれた水の量は，V t であり，水の上昇速度は，
dh で表される．
dt
(i) 0<
=h<
= 1 のとき
V t = πh2 であるから，この両辺を t で微分すると
dh
V = π · 2h ·
dt
dh
V
これより，
=
dt
2πh
1
−1 O
x
1
( ii ) h > 1 のとき
π (h2 + 2h − 1) であるから，この両辺を t で
Vt =
2
微分すると
y = x2 − 1 のとき，x2 = y + 1
π (2h + 2) · dh
2
dt
dh
V = π(h + 1) ·
dt
V
dh
=
これより，
dt
π(h + 1)
V =
y = −x2 + 1 のとき，x2 = −y + 1
(i) 0<
=h<
= 1 のとき
y
257（ 1 ） y
y = 1 (ex + e−x )
2
1
1
h
−1 O
1
x
O
求める水量は
h
0
·
y dy
·
(y + 1) dy + π
0
0
=π
Z
h
=π
Z
1
(y + 1) dy − π
0
求める水量は
x
1
1
x
y = 1 − x2
とどろき英数塾
新 微分積分 I 問題集
Z
o
1 (ex + e−x ) − (1 − x2 ) dx
2
0
·
¸1
1
1
x
−x
3
=
(e − e ) − x + x
2
3
0
n
o
o n
1
1
=
(e − e−1 ) − 1 +
− 1 (e0 − e0 ) − 0
2
3
2
µ
¶
1
1
2
=
e−
−
2
e
3
1
n
S=
（2） y
A
°
1
°
3
°
2
O
y = 1 (ex + e−x )
2
x
1
y = 1 − x2
1 x
−x
(i) 0<
=x<
= 1 における，y = 2 (e + e ) の曲線の長さ
1
y 0 = (ex − e−x ) より
2
n
o
1 (ex − e−x ) 2
1 + (y 0 )2 = 1 +
2
1
= 1 + (e2x − 2 + e−2x )
4
1
= (4 + e2x − 2 + e−2x )
4
= 1 (e2x + 2 + e−2x )
4
o2
n
= 1 (ex + e−x )
2
したがって，°
1 の部分の曲線の長さを l1 とすると
Z 1p
l1 =
1 + (y 0 )2 dx
l2 =
Z 1p
1 + (y 0 )2 dx
0
=
Z 1p
1 + 4x2 dx
0
Z 1r ³
´
4 x2 + 1 dx
4
0
r
· r
¸1
= 2 · 1 x x2 + 1 + 1 log x + x2 + 1
2
4
4
4 0
r
r
r
5 − 1 log
1
= 1 5 + 1 log 1 +
4
4
4
4
4
½ µ
¾
√ ¶
√
5
5
+ 1 log 1 +
− log 1
=
2
4
2
2
½ µ
¾
√
√ ¶
5
5
=
+ 1 log 1 +
− log 2−1
2
4
2
½ µ
¾
√
√ ¶
5
5
1
=
+
log 1 +
+ log 2
2
4
2
½µ
¾
√ ¶
√
5
5
+ 1 log
1+
×2
=
2
4
2
√
√
5
=
+ 1 log(2 + 5)
2
4
³
´
(iii) 点 A の y 座標は，y = 1 (e1 + e−1 ) = 1 e + 1
2
2
e
よって，°
3 ³の部分の線分の長さを
l3 とすれば
´
1 e+ 1
l3 =
2
e
=
以上より
L = l1 + l2 + l3
¾
√
5
+ 1 log(2 + 5)
2
4
³
´
+ 1 e+ 1
2
e
√
√
5
1
=e+
+
log(2 + 5)
2
4
= 1
2
³
e− 1
e
½√
´
+
0
Z 1 rn
=
0
Z
1 (ex + e−x )
2
o2
dx
1
1 (ex + e−x ) dx
2
¸1
·
= 1 ex − e−x
2
0
=
0
= 1 {(e − e−1 ) − (e0 − e0 )}
2
³
´
= 1 e− 1
2
e
2
( ii ) 0 <
=x<
= 1 における，y = 1 − x の曲線の長さ
y 0 = −2x より
1 + (y 0 )2 = 1 + (−2x)2
= 1 + 4x2
したがって，°
2 の部分の曲線の長さを l2 とすると
258 x = 5 のとき，t + 1 = 5 より，2t2 − 5t + 2 = 0
2
t
2
1
これを解くと，(2t − 1)(t − 2) = 0 より，t = , 2
2
1 <
=t<
= 3 であるから，t = 2
1 = 0 とし
曲線と x 軸との交点に対応する t の値は，y = t −
t
て，これを解くと，t2 − 1 = 0 より，t = ±1
1 <
=t<
= 3 であるから，t = 1
dx = 1 − 1 > 0 で符号は一定で
また，1 < t < 3 において，
dt
t2
ある．
〔補足〕 ※ これだけではイメージがつかみにくい（かもしれない）ので，ど
のようなグラフになるのかを調べてみます．
まずは，1 <
=t<
= 3 のいろいろな t の値に対応する x, y の値を実
際に求めてグラフを描く方法です．
t
x
y
2
2
3
2
13
6
5
2
5
2
29
10
10
3
2
2.17
2.5
2.9
3.33
0
5
6
3
2
21
10
8
3
0
0.83
1.5
2.1
2.67
1
3
とどろき英数塾
新 微分積分 I 問題集
y
t=3
（ 2 ） log r = t とおくと，
また，r と t の対応は
t=2
t=1
O
2
1 dr = dt
r
x
2.5
r
e
→ ∞
t
1
→ ∞
以上より
Z
∞
1 dt
2
t
1
·
¸∞
1
= −
t 1
与式 =
次に，媒介変数 t を消去する方法です．
1 より，x2 = t2 + 2 +
t
1
y = t −
より，y 2 = t2 − 2 +
t
x = t +
1
t2
1
t2
= 0 − (−1) = 1
···°
1
···°
2
°
1 −°
2 より，x2 − y 2 = 4 であるから，
x2 − y 2 = 1
4
4
すなわち，双曲線であることがわかります．
5 や，y = 0 として t を求めたとき，条件に合わなかった t
2
x=
の値は，下図のような位置にあります．
y
t = −1
O
2.5
t=
x
1
2
〔補足終了〕 1 > 0 であるから，求める面積は
1<
=t<
=
= 3 において，y = t −
Z
5
2
t
Z
2
y dx dt
dt
1
Z 2 ³
´³
´
=
t − 1 1 − 12
dt
t
t
1
Z 2³
´³
´
t − 1 1 − 12 dt
=
t
t
1
Z 2³
´
=
t − 1 − 1 + 13 dt
t
t
t
1
Z 2³
´
=
t − 2 + 13 dt
t
t
1
·
¸2
1
1
2
=
t − 2 log t − 2
2
2t 1
´ ³
´
³
1
1
− 1 −0− 1
=
· 4 − 2 log 2 −
2
8
2
2
= 2 − 2 log 2 − 1
8
15
− 2 log 2
= 16 − 1 − 2 log 2 =
8
8
y dx =
0
259 ※ 極限を用いた解法は省略しました。
1
（ 1 ） log r = t とおくと， dr = dt
r
また，r と t の対応は
r
1
→
e
t
0
→
1
以上より
Z
1
√1 dt
t
0
·
¸1
√
= 2 t
与式 =
√
0
=2 1−0=2
とどろき英数塾
© Copyright 2024 ExpyDoc
